Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        2.6.2 Теория вероятностей в примерах
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

RKI



Долгожитель

ПРИМЕР114.
Случайная величина X подчинена закону Лапласа с параметром a (a>0):
f(x) = C*e^(-a|x|). Найти коэффициент C; записать плотность распределения и функцию распределения; найти M(X) и D(X); найти вероятности событий
{|X|<sqrt(D(X))} и {|X|<3sqrt(D(X))}.
РЕШЕНИЕ.
f(x) = C*e^(-a|x|)

1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} C*e^(-a|x|) dx =
= int_{-бесконечность}^{0} C*e^(-a|x|) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} C*e^(-a|x|) dx =
= int_{-бесконечность}^{0} C*e^(ax) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} C*e^(-ax) dx =
во втором интеграле сделаем замену t=-x
= int_{-бесконечность}^{0} C*e^(ax) dx -
- int_{0}^{-бесконечность} C*e^(at) dt =
= int_{-бесконечность}^{0} C*e^(ax) dx +
+ int_{-бесконечность}^{0} C*e^(at) dt =
= 2 * int_{-бесконечность}^{0} C*e^(ax) dx =
= 2*С*int_{-бесконечность}^{0} e^(ax) dx =
= (2C/a)*e^(ax) |_{-бесконечность}^{0} =
= (2C/a)*(1 - lim{x->-бесконечность} e^(ax) ) =
= (2C/a)*(1-0) = 2C/a

1=2C/a   =>   C=a/2

f(x) = (a/2)*e^(-a|x|)
-------------------------------------------------------------------
F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt = (*)

Если x<0, то
(*) = int_{-бесконечность}^{x} (a/2)*e^(-a|t|) dt =
= (a/2)*int_{-бесконечность}^{x} e^(-a|t|) dt =
= (a/2)*int_{-бесконечность}^{x} e^(at) dt =
= (1/2)*e^(at) |_{-бесконечность}^{x} =
= (1/2)*(e^(ax) - lim{t->-бесконечность} e^(at) ) =
= (1/2)*(e^(ax) - 0) = (1/2)*e^(ax)

Если x>=0, то
(*) = int_{-бесконечность}^{x} (a/2)*e^(-a|t|) dt =
= (a/2)*int_{-бесконечность}^{x} e^(-a|t|) dt =
= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} e^(-a|t|) dt +
+ int_{0}^{x} e^(-a|t|) dt] =
= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} e^(at) dt +
+ int_{0}^{x} e^(-at) dt] =
= (1/2)*[e^(at) |_{-бесконечность}^{0} - e^(-at) |_{0}^{x}] =
= (1/2)*[1 - lim{t->-бесконечность} e^(at) - e^(-ax) + 1] =
= (1/2)*[1 - 0 - e^(-ax) + 1] = (1/2)*[2 - e^(-ax)] =
= 1 - (1/2)*e^(-ax)

F(x) = {(1/2)*e^(ax), x<0
         {1 - (1/2)*e^(-ax), x>=0
--------------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{0} xf(x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} xf(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{0} x*(a/2)*e^(-a|x|) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} x*(a/2)*e^(-a|x|) dx =

= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} x*e^(-a|x|) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} x*e^(-a|x|) dx ] =

= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} x*e^(ax) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} x*e^(-ax) dx ] =

во втором интеграле сделаем замену t=-x

= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} x*e^(ax) dx +
+ int_{-бесконечность}^{0} (-t)*e^(at) dt ] =

= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} x*e^(ax) dx -
- int_{-бесконечность}^{0} t*e^(at) dt ] =

= (a/2)*0 = 0

M(X) = 0
---------------------------------------------------------------------
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*(a/2)*e^(-a|x|) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (x^2)*(a/2)*e^(-a|x|) dx =

= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*e^(-a|x|) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (x^2)*e^(-a|x|) dx ] =

= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*e^(ax) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (x^2)*e^(-ax) dx ] =

во втором интеграле сделаем замену t=-x

= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*e^(ax) dx +
+ int_{-бесконечность}^{0} (t^2)*e^(at) dt ] =

= a*int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*e^(ax) dx =

(**) int (x^2)*e^(ax) dx = (1/a) int (x^2) d(e^(ax)) =
= (1/a)*(x^2)*e^(ax) - (2/a)*int x*e^(ax) dx =
= (1/a)*(x^2)*e^(ax) - (2/a^2)*int x*d(e^(ax)) =
= (1/a)*(x^2)*e^(ax) - (2/a^2)*x*e^(ax) +
+ (2/a^2) int e^(ax) dx =
= (1/a)*(x^2)*e^(ax) - (2/a^2)*x*e^(ax) +
+ (2/a^3)*e^(ax) (**)

= a*(2/a^3) = 2/a^2

D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 2/(a^2) - 0 = 2/(a^2)
-------------------------------------------------------------------------
P(|X|<sqrt(D(X))) = P(|X|<sqrt(2)/a) =
= (-sqrt(2)/a<X<sqrt(2)/a) = F(sqrt(2)/a) - F(-sqrt(2)/a) =
= 1 - (1/2)*e^(-sqrt(2)) - (1/2)*e^(-sqrt(2)) =
= 1 - e^(-sqrt(2)) = 0.7569

P(|X|<3sqrt(D(X))) = P(|X|<3sqrt(2)/a) =
= (-3sqrt(2)/a<X<3sqrt(2)/a) = F(3sqrt(2)/a) - F(-3sqrt(2)/a) =
= 1 - (1/2)*e^(-3sqrt(2)) - (1/2)*e^(-3sqrt(2)) =
= 1 - e^(-3sqrt(2)) = 0.9856

(Сообщение отредактировал RKI 25 янв. 2009 17:41)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 25 янв. 2009 17:39 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР115.
Плотность распределения случайной величины X имеет вид
f(x) = {C*(1-x^2), |x|<=1
         {0, |x|>1
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), M(X),
D(X) и вероятность P(|X-(1/2)|<1/4).
РЕШЕНИЕ.
f(x) = {C*(1-x^2), -1<=x<=1
        {0, x<-1, x>1

1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{-1} f(x)dx + int_{-1}^{1} f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} f(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{-1} 0*dx +
+ int_{-1}^{1} C*(1-x^2) dx +
int_{1}^{+бесконечность} 0*dx =

= 0 + int_{-1}^{1} C*(1-x^2) dx + 0 =
= C*int_{-1}^{1} (1-x^2) dx =
= C*(x - (x^3)/3) |_{-1}^{1} = C*(1 - 1/3) - C*(-1 + 1/3) =
= C*(1 - 1/3 +1 - 1/3) = (4/3)*C

1 = (4/3)*C   =>   C = 3/4

f(x) = {(3/4)*(1-x^2), -1<=x<=1
        {0, x<-1, x>1
--------------------------------------------------------------------
F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt

Если x<-1, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0

Если -1<=x<=1, то F(x) - int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} f(t)dt + int_{-1}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} 0*dt +
+ int_{-1}^{x} (3/4)*(1-t^2) dt =
= 0 + (3/4)*int_{-1}^{x} (1-t^2) dt =
= (3/4)*(t - (t^3)/3) |_{-1}^{x} =
= (3/4)*(x - (x^3)/3) - (3/4)*(-1 + 1/3) =
= (3/4)*(x - (x^3)/3 +1 - 1/3) =  
= (3/4)*(x - (x^3)/3 + 2/3) = (1/4)*(3x - (x^3) + 2)

Если x>1, то F(x) = int_{-бесконечность}^{1} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} f(t)dt + int_{-1}^{1} f(t)dt +
+ int_{1}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} 0*dt +
+ int_{-1}^{1} (3/4)*(1 - t^2) dt + int_{1}^{x} 0*dt =
= 0 + (3/4)*int_{-1}^{1} (1 - t^2)dt + 0 =
= (3/4)*(t - (t^3)/3) |_{-1}^{1} =
= (3/4)*(1 - 1/3) - (3/4)*(-1 + 1/3) =
= (3/4)* (1 - 1/3 + 1 - 1/3) = (3/4)*(4/3) = 1

F(x) = {0, x<-1
         {(1/4)*(3x - (x^3) +2), -1<=x<=1
         {1, x>1
---------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{-1} xf(x)dx + int_{-1}^{1} xf(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} xf(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{-1} x*0*dx +
+ int_{-1}^{1} x*(3/4)*(1-x^2)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} x*0*dx =

= 0 + (3/4)*int_{-1}^{1} x(1-x^2)dx + 0 =
= (3/4)*int_{-1}^{1} (x - x^3) dx =
= (3/4)*( (x^2)/2 - (x^4)/4 ) |_{-1}^{1} =
= (3/4)*( 1/2 - 1/4 ) - (3/4)*( 1/2 - 1/4 ) = (3/4)*0 = 0

M(X) = 0
-----------------------------------------------------------------
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{-1} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{-1}^{1} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{-1} (x^2)*0*dx +
+ int_{-1}^{1} (x^2)*(3/4)*(1-x^2)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =

= 0 + (3/4)*int_{-1}^{1} (x^2)*(1-x^2)dx + 0 =
= (3/4)*int_{-1}^{1} ( (x^2) - (x^4) ) dx =
= (3/4)*( (x^3)/3 - (x^5)/5 ) |_{-1}^{1} =
= (3/4)*( 1/3 - 1/5 ) - (3/4)*( - 1/3 + 1/5 ) =
= (3/4)*( 1/3 - 1/5 + 1/3 - 1/5 ) = (3/4)*(4/15) = 1/5

D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (1/5) - 0 = 1/5
------------------------------------------------------------------
P(|X - (1/2)| < 1/4) = P( -1/4 < X - (1/2) < 1/4 ) =
= P( 1/4 < X < 3/4 ) = F(3/4) - F(1/4) =
= (1/4)*( 9/4 - 27/64 + 2 ) - (1/4)*( 3/4 - 1/64 + 2 ) =
= (1/4)*(245/64) - (1/4)*(175/64) = (1/4)*(70/64) = 35/128

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 13:14 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР116.
Случайная величина X имеет функцию распределения
F(x) = {0, x<0
         {x^2, 0<=x<=1
         {1, x>1
Найти функцию распределения случайной величины
Y = 1/(1-X).
РЕШЕНИЕ.
Функция распределения случайной величины X имеет вид:
F(x) = {0, x<0
         {x^2, 0<=x<=1
         {1, x>1
Тогда плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {0, x<0, x>1
        {2x, 0<=x<=1

Y = 1/(1-X)
F(y) = P(Y<y) = P( 1/(1-X) < y )

Если y<0, то F(y) = int_{1}^{1-(1/y)} f(x)dx =
= int_{1}^{1-(1/y)} 0*dx = 0

Если y = 0, то F(y) = int_{1}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{1}^{+бесконечность} 0*dx = 0

Если y>0, то F(y) = int_{-бесконечность}^{1-(1/y)} f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1-(1/y)} f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} 0*dx =
= int_{-бесконечность}^{1-(1/y)} f(x)dx + 0 =
= int_{-бесконечность}^{1-(1/y)} f(x)dx = (*)

Если 0<y<1 (=> 1-(1/y) <0 ), то
(*) = int_{-бесконечность}^{1-(1/y)} 0*dx = 0

Если y>=1 (=> 1-(1/y) >= 0 ), то
(*) = int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx +
+ int_{0}^{1-(1/y)} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx +
+ int_{0}^{1-(1/y)} 2xdx =
= 0 + (x^2)|_{0}^{1-(1/y)} = (1-(1/y))^2

Функция распределения случайной величины Y имеет вид:
F(y) = {0, y<1
         {(1-(1/y))^2, y>=1

Плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {0, y<1
         {(2/(y^2))*(1-(1/y)), y>=1

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 13:39 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР117.
Найти плотность распределения суммы двух случайных величин, имеющих равномерное распределение на [0;a].
РЕШЕНИЕ.
Случайные величины X и Y  равномерно распределены на отрезке [0;a]. Следовательно, точка (X;Y) равномерно распределена в квадрате [0;a]x[0;a].

Z = X+Y
F(z) = P(Z<z) = P(X+Y<z)

Если z<=0, то F(z)=0

Если 0<z<=a, то F(z) = (1/2)*(z^2)/(a^2)

Если a<z<=2a, то F(z) = ((a^2) - (1/2)*(2a-z)^2)/(a^2) =
= 1 - (1/2)*((2a-z)^2)/(a^2)

Если z>2a, то F(z) = 1

F(z) = {0, z<=0
         {(1/2)*(z^2)/(a^2), 0<z<=a
         {1 - (1/2)*((2a-z)^2)/(a^2), a<z<=2a
         {1, z>2a

f(z) = {0, z<=0, z>2a
         {z/(a^2), 0<z<=a
         {(2a-z)/(a^2), a<z<=2a

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 14:40 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР118.
Найти плотность распределения разности двух случайных величин, имеющих равномерное распределение на [0;a].
РЕШЕНИЕ.
Случайные величины X и Y  равномерно распределены на отрезке [0;a]. Следовательно, точка (X;Y) равномерно распределена в квадрате [0;a]x[0;a].

Z = X-Y
F(z) = P(Z<z) = P(X-Y<z)

Если z<=-a, то F(z)=0

Если -a<z<=0, то F(z) = (1/2)*((a+z)^2)/(a^2)

Если 0<z<=a, то F(z) = ((a^2) - (1/2)*(a-z)^2)/(a^2) =
= 1 - (1/2)*((a-z)^2)/(a^2)

Если z>a, то F(z) = 1

F(z) = {0, z<=-a
         {(1/2)*((a+z)^2)/(a^2), -a<z<=0
         {1 - (1/2)*((a-z)^2)/(a^2), 0<z<=a
         {1, z>a

f(z) = {0, z<=-a, z>a
        {(a+z)/(a^2), -a<z<=0
        {(a-z)/(a^2), 0<z<=a

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 17:18 | IP
pavlin


Новичок

вот задачка-как говорят довльно легкая
заранее Благодарен за решение и помощь!

в партии из 10 изделий 4 бракованных.
Наудачу и без возвращения извлекают 3 изделия.
Пусть Х-число бракованных изделий в выборке.
Описать закон распределения Х и вычислить Fx(3)

Всего сообщений: 12 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 18:16 | IP
RKI



Долгожитель

Pavlin
Перенесите вопрос в "Теория вероятностей-2"

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 18:22 | IP
pavlin


Новичок

перенес,тогда это сообщение удалите

Всего сообщений: 12 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 18:31 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР119.
Функция распределения случайной величины X имеет вид
F(x) = {0, x<=0
         {2x - (x^2), 0<x<1
         {1, x>=1
Найдите числовые характеристики данной величины: M(X) и
D(X).
РЕШЕНИЕ.
Функция распределения случайной величины X имеет вид:
F(x) = {0, x<=0
         {2x - (x^2), 0<x<1
         {1, x>=1

Тогда плотность распределения случайной величины X имеет вид:

f(x) = {0, x<=0, x>=1
        {2 - 2x, 0<x<1
-------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{0} xf(x)dx + int_{0}^{1} xf(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} xf(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{0} x*0*dx +
+ int_{0}^{1} x*(2 - 2x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} x*0*dx =

= 0 + int_{0}^{1} (2x - 2(x^2)) dx + 0 =

= ((x^2) - (2/3)*(x^3)) |_{0}^{1} = 1 - (2/3) = 1/3

M(X) = 1/3
-----------------------------------------------------------------
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{0}^{1} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =

= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*0*dx +
+ int_{0}^{1} (x^2)*(2 - 2x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =

= 0 + int_{0}^{1} (2(x^2) - 2(x^3)) dx + 0 =

= ((2/3)*(x^3) - (1/2)*(x^4)) |_{0}^{1} = (2/3) - (1/2) = 1/6

D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (1/6) - (1/9) = 1/18

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 янв. 2009 13:10 | IP
RKI



Долгожитель

ПРИМЕР120.
Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром a. Найти функции плотности распределения случайных величин:
а) Y = aX;
б) Z = X^2.
РЕШЕНИЕ.
Так как случайная величина X имеет показательное распределение с параметром a, то плотность распределения данной случайной величины имеет вид:
f(x) = {ae^(-ax), x>=0
        {0, x<0

а) Y = aX

F(y) = P(Y<y) = P(aX<y) = P(X<y/a) =
= int_{-бесконечность}^{y/a} f(x)dx

Если y<0 (=> (y/a)<0 ), то
F(y) = int_{-бесконечность}^{y/a} 0*dx = 0

Если y>=0 (=> (y/a)>=0), то
F(y) = int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx + int_{0}^{y/a} f(x)dx
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx + int_{0}^{y/a} ae^(-ax)dx
= -e^(-ax) |_{0}^{y/a} = -(e^(-y) - 1) = 1 - e^(-y)

F(y) = {0, y<0
         {1 - e^(-y), y>=0

g(y) = {0, y<0
         {e^(-y), y>=0
-------------------------------------------------------------------
б) Z = X^2

F(z) = P(Z<z) = P((X^2)<z)

Если z<=0, то F(z) = 0

Если z>0, то F(z) = int_{-sqrt(z)}^{sqrt(z)} f(x)dx =
= int_{-sqrt(z)}^{0} f(x)dx + int_{0}^{sqrt(z)} f(x)dx =
= int_{-sqrt(z)}^{0} 0*dx + int_{0}^{sqrt(z)} ae^(-ax)dx =
= -e^(-ax) |_{0}^{sqrt(z)} = -(e^(-a*sqrt(z)) - 1) =
= 1 - e^(-a*sqrt(z))

F(z) = {0, z<=0
         {1 - e^(-a*sqrt(z)), z>0

h(z) = {0, z<=0
         {(a/2sqrt(z))*e^(-a*sqrt(z)), z>0

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 янв. 2009 13:26 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com