Trushkov
Долгожитель
|
      
Hxox, умножьте уравнение на y' и проинтегрируйте.
А еще лучше возьмите "Мат. методы классической механики" академика Арнольда и почитайте эту увлекательнейшую книгу.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 20 июня 2009 22:08 | IP
|
|
DREAMME
Новичок
|
Пожалуйста, посмотрите уравнения. Если можно, то решите пожалуста:
1. найти общее решение диффер.уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y''cosx + y' sinx = 0, y(0)=-1/4, y'(0)=2
2. Найти общее решение системы диффер.уравнений:
dx1/dt = 2x1 - 4x2
dx2/dt = x1 - 3x2.
3. Найти частное решение уравнения с помощью операционного исчисления:
y'' + 2y' + 10y = - sin 2x , y(0)= 0, y'(0)= 3/4.
4. Найти общее решение дифференциального уравнения:
xy(1+x^2) y' = y^2 +1
|
Всего сообщений: 12 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 21 июня 2009 15:10 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
Цитата: DREAMME написал 21 июня 2009 15:10
1. найти общее решение диффер.уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y''cosx + y' sinx = 0, y(0)=-1/4, y'(0)=2
y''(cosx) + y'(sinx) = 0
z(x) = y'
y'' = z'
y''(cosx) + y'(sinx) = 0
z'(cosx) + z(sinx) = 0
z'(cosx) = - z(sinx)
(dz/dx)(cosx) = - z(sinx)
dz/z = - (sinx)dx/(cosx)
dz/z = d(cosx)/(cosx)
ln|z| = ln|cosx| + const
z = C(cosx), C - произвольная константа
y' = C(cosx)
y'(0) = 2
2 = C(cos0) = C
y' = C(cosx)
y' = 2(cosx)
dy/dx = 2(cosx)
dy = 2(cosx)dx
y = 2(sinx) + D, D - произвольная константа
y(0) = - 1/4
- 1/4 = 2(sin0) + D = 0 + D = D
y = 2(sinx) + D
y(x) = 2(sinx) - 1/4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 июня 2009 16:32 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: DREAMME написал 21 июня 2009 15:10
4. Найти общее решение дифференциального уравнения:
xy(1+x^2) y' = y^2 +1
xy(1 + x^2)y' = y^2 + 1
xy(1 + x^2)(dy/dx) = y^2 + 1
ydy/(1 + y^2) = dx/x(1 + x^2)
**
int ydy/(1 + y^2) = (1/2)*int d(1 + y^2)/(1 + y^2) =
= (1/2)*ln(1 + y^2) + const
int dx/x(1 + x^2) = int (1 + x^2 - x^2)dx/x(1 + x^2) =
= int dx/x - int xdx/(1 + x^2) =
= int dx/x - (1/2)*int d(1 + x^2)/(1 + x^2) =
= ln|x| - (1/2)*ln(1 + x^2) + const
**
ydy/(1 + y^2) = dx/x(1 + x^2)
(1/2)*ln(1 + y^2) = ln|x| - (1/2)*ln(1 + x^2) + const
ln(1 + y^2) = 2ln|x| - ln(1 + x^2) + const
ln(1 + y^2) = ln(x^2) - ln(1 + x^2) + const
ln(1 + y^2) - ln(x^2) + ln(1 + x^2) = const
ln((1 + y^2)(1 + x^2)/(x^2)) = const
(1 + y^2)(1 + x^2)/(x^2) = const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 июня 2009 16:42 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: DREAMME написал 21 июня 2009 15:10
2. Найти общее решение системы диффер.уравнений:
dx1/dt = 2x1 - 4x2
dx2/dt = x1 - 3x2.
{d(x1)/dt = 2(x1) - 4(x2); d(x2)/dt = x1 - 3(x2)
Рассмотрим второе уравнение исходной системы.
d(x2)/dt = x1 - 3(x2)
x1 = d(x2)/dt + 3(x2)
x1 = (x2)' + 3(x2)
d(x1)/dt = (x1)' = (x2)'' + 3(x2)'
Рассматриваем первое уравнение системы.
d(x1)/dt = 2(x1) - 4(x2)
(x2)'' + 3(x2)' = 2(x2)' + 6(x2) - 4(x2)
(x2)'' + (x2)' - 2(x2) = 0
Характеристическое уравнение
(a^2) + a - 2 = 0
(a+2)(a-1) = 0
a+2 = 0; a-1 = 0
a = -2; a = 1
x2(t) = C(e^t) + D(e^(-2t))
x1 = (x2)' + 3(x2) =
= C(e^t) - 2D(e^(-2t)) + 3C(e^t) + 3D(e^(-2t)) =
= 4C(e^t) + D(e^(-2t))
Ответ
x1(t) = 4C(e^t) + D(e^(-2t))
x2(t) = C(e^t) + D(e^(-2t))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 июня 2009 16:51 | IP
|
|
AmericanIron
Новичок
|
Здравствуйте, вот уже третью неделю борюсь с эти уравнением.
Все что выходит либо невозможно проинтегрировать, либо после интегрирования получается например в левой части арктангенс, в правой логарифм и очень сложно выразить корень
В общем вот моя последняя попытка, надеюсь вы поможете мне довести ее до конца
Заранее спасибо!
(Сообщение отредактировал AmericanIron 21 июня 2009 17:40)
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 21 июня 2009 17:38 | IP
|
|
Helpmeplzz
Новичок
|
Здраствуйте, очень нужна срочная помощь.
3.Найти общее решение дифф.ур. и частное решение, удовлетворяющее начальному условию y=y(нулевое) x=x(нулевое)
y'=y/(2ylny+y-x), y(нулевое)=1, х(нулевое)=1
4. Найти общее решение дифф. ур. и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
2xy''=y'. y(9)=8, y'(9)=3
6. Найти общее решение системы дифф. ур-й:
{ dx(первое)/dt=x(первое)-2х(второе),
{ dx(второе)/dt=х(первое)-х(второе).
|
Всего сообщений: 13 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 22 июня 2009 19:51 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Helpmeplzz написал 22 июня 2009 19:51
4. Найти общее решение дифф. ур. и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
2xy''=y'. y(9)=8, y'(9)=3
2xy'' = y'
z(x) = y'
y'' = z'
2xy'' = y'
2xz' = z
2x(dz/dx) = z
dz/z = dx/2x
ln|z| = (1/2)ln|x| + const
ln|z| = ln(sqrt(x)) + const
z = Csqrt(x)
y' = Csqrt(x)
y'(9) = 3
3 = Csqrt(9) = 3C
C = 1
y' = sqrt(x)
dy/dx = sqrt(x)
dy = sqrt(x)dx
y = (2/3)xsqrt(x) + D
y(9) = 8
8 = (2/3)*9*sqrt(9) + D = 18 + D
D = - 10
y(x) = (2/3)xsqrt(x) - 10
(Сообщение отредактировал RKI 22 июня 2009 20:09)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 июня 2009 20:08 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Helpmeplzz написал 22 июня 2009 19:51
6. Найти общее решение системы дифф. ур-й:
{ dx(первое)/dt=x(первое)-2х(второе),
{ dx(второе)/dt=х(первое)-х(второе).
{d(x1)/dt = x1 - 2(x2); d(x2)/dt = x1 - x2
Рассмотрим второе уравнение исходной системы
d(x2)/dt = x1 - x2
x1 = d(x2)/dt + x2
x1 = (x2)' + x2
d(x1)/dt = (x2)'' + (x2)'
Рассматриваем первое уравнение исходной системы
d(x1)/dt = x1 - 2(x2)
(x2)'' + (x2)' = (x2)' + x2 - 2(x2)
(x2)'' = - (x2)
(x2)'' + x2 = 0
Характеристическое уоавнение
(a^2) + 1 = 0
(a^2) = - 1
a = -i; a = i
x2(t) = Csint + Dcost
x1 = (x2)' + x2 =
= Ccost - Dsint + Csint + Dcost =
= (C-D)sint + (C+D)cost
ответ.
x1(t) = (C-D)sint + (C+D)cost
x2(t) = Csint + Dcost
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 июня 2009 20:16 | IP
|
|
Helpmeplzz
Новичок
|
Спасибо RKI! что бы мы рядовые двоишники без тебя делали)))
|
Всего сообщений: 13 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 22 июня 2009 20:39 | IP
|
|
Форум
2.3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
