Форум - 2.3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) [38]

Форум	» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация \| Профиль \| Войти \| Забытый пароль \| Присутствующие \| Справка \| Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация

	Форум Математика 2.3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
	Отметить все сообщения как прочитанные [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>

Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise

RKI

Долгожитель

Цитата: Fenja544 написал 31 окт. 2009 15:56

1. Найти общее решение дифференциального уравнения:
а) y' *sinx - y*cosx = 1

$y'sinx - ycosx = 1$

$y'sinx - ycosx = 0$

$y'sinx = ycosx$

$\frac{sinx dy}{dx} = ycosx$

$\frac{dy}{y} = \frac{cosx dx}{sinx}$

**
$\int \frac{dy}{y} = ln|y| + const$

$\int \frac{cosx dx}{sinx} = \int \frac{d(sinx)}{sinx} = ln|sinx| + const$
**

$ln|y| = ln|sinx| + const$

$y = Csinx$

$y(x) = C(x)sinx$

$y'(x) = C'(x)sinx + C(x)cosx$

$y'sinx - ycosx = 1$

$C'(x)sin^{2}x + C(x)cosxsinx - C(x)sinxcosx = 1$

$C'(x)sin^{2}x = 1$

$C'(x) = \frac{1}{sin^{2} x}$

$C(x) = \int \frac{dx}{sin^{2}x} = - ctgx + D$

$y(x) = C(x)sinx = (- ctgx + D)sinx = Dsinx - cosx$

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 нояб. 2009 11:22 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Fenja544 написал 31 окт. 2009 15:56

б) y' = (x+2y)/(2x-y)

$y' = \frac{x+2y}{2x-y}$

$y(x) = xz(x)$
$y' = z + xz'$

$z + xz' = \frac{x + 2xz}{2x - xz}$

$z + xz' = \frac{x(1+2z)}{x(2-z)}$

$z + xz' = \frac{1 + 2z}{2 - z}$

$xz' = \frac{1 + 2z}{2 - z} - z$

$xz' = \frac{1 + z^{2} }{2 - z}$

$\frac{xdz}{dx} = \frac{1 + z^{2} }{2 - z}$

$\frac{(2-z)dz}{1 + z^{2} } = \frac{dx}{x}$

**
$\int \frac{(2-z)dz}{1 + z^{2} } = \int \frac{2dz}{1 + z^{2} } - \int\frac{zdz}{1 + z^{2} } =$

$= 2arctg(z) - \frac{1}{2}\int\frac{d(1 + z^{2})}{1 + z^{2} } = 2arctg(z) - \frac{1}{2}ln(1 + z^{2}) + const$
**

$2arctg(z) - \frac{1}{2}ln(1 + z^{2}) = ln|x| + const$

$2arctg(z) - \frac{1}{2}ln(1 + z^{2}) - ln|x| = const$

$2arctg(z) - \frac{1}{2}(ln(1 + z^{2}) + 2ln|x|) = const$

$2arctg(z) - \frac{1}{2} (ln(1 + z^{2}) + lnx^{2}) = const$

$2arctg(z) - \frac{1}{2} lnx^{2}(1 + z^{2}) = const$

$2arctg\frac{y}{x} - \frac{1}{2}lnx^{2}(1 + \frac{y^{2} }{x^{2} }) = const$

$2arctg\frac{y}{x} - \frac{1}{2}ln(x^{2} + y^{2}) = const$

$2arctg\frac{y}{x} - ln\sqrt{x^{2} + y^{2} } = const$

(Сообщение отредактировал RKI 2 нояб. 2009 11:35)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 нояб. 2009 11:34 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Fenja544 написал 31 окт. 2009 15:56

2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
y' - (2*y)/(x+1) = (x+1)^3 , y(0) = 1/2

$y' - \frac{2y}{x+1} = (x+1)^{3}$

$y' - \frac{2y}{x+1} = 0$

$y' = \frac{2y}{x+1}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{2y}{x+1}$

$\frac{dy}{y} = \frac{2dx}{x+1}$

$ln|y| = 2ln|x+1| + const$

$ln|y| = ln(x+1)^{2} + const$

$y = C(x+1)^{2}$

$y(x) = C(x)(x+1)^{2}$

$y'(x) = C'(x)(x+1)^{2} + 2C(x)(x+1)$

$y' - \frac{2y}{x+1} = (x+1)^{3}$

$C'(x)(x+1)^{2} + 2C(x)(x+1) - 2C(x)(x+1) = (x+1)^{3}$

$C'(x)(x+1)^{2} = (x+1)^{3}$

$C'(x) = x+1$

$C(x) = \frac{(x+1)^{2} }{2} + D$

$y(x) = C(x)(x+1)^{2}$

$y(x) = D(x+1)^{2} + \frac{(x+1)^{4} }{2}$

$y(0) = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} = D + \frac{1}{2}$

$D = 0$

$y(x) = \frac{(x+1)^{4} }{2}$

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 нояб. 2009 11:47 | IP

itgtktdf

Новичок
помогите пожалуйста решить уравнение...
xy'-e^y-2y'=0
очень надо....плизззззз....в среду экзамен

(Сообщение отредактировал itgtktdf 2 нояб. 2009 16:49)

Всего сообщений: 22 | Присоединился: ноябрь 2009 | Отправлено: 2 нояб. 2009 15:16 | IP

vovancheg

Новичок
помогите решить
наити частное решение д.у. увледотваряющее начальным условиям
xy'-y=x(в квадрате)*(cosx) нач условие y(п/2)=п/2
или хоть подскажите каким способом решать его(((

Всего сообщений: 6 | Присоединился: ноябрь 2009 | Отправлено: 2 нояб. 2009 15:27 | IP

Fenja544

Новичок
Спасибо огромное!!!!
если не сложно, может поможете еще...:-[
1. y''= y' *lny' , y(0)=0,y'(0)=1

2.y''+ 2*y'+5*y = -17*sin2x (найти общее решение)

3. y'' - 6*y' + 9*y = e^(3*x), y(0)=1, y'(0)=0

Буду вечно благодарна @>---

Всего сообщений: 40 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 2 нояб. 2009 18:54 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: vovancheg написал 2 нояб. 2009 15:03

xy'-y=x(в квадрате)*(cosx) нач условие y(п/2)=п/2

$xy' - y = x^{2}cosx$

$xy' - y = 0$

$xy' = y$

$\frac{xdy}{dx} = y$

$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$

$ln|y| = ln|x| + const$

$y = Cx$

$y(x) = C(x)x$

$y'(x) = C'(x)x + C(x)$

$xy' - y = x^{2}cosx$

$C'(x)x^{2} + C(x)x - C(x)x = x^{2}cosx$

$C'(x)x^{2} = x^{2}cosx$

$C'(x) = cosx$

$C(x) = sinx + D$

$y(x) = C(x)x$

$y(x) = Dx + xsinx$

$y(\frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2} = D\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}$

$D = 0$

$y(x) = xsinx$

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 нояб. 2009 20:17 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: itgtktdf написал 2 нояб. 2009 15:16
помогите пожалуйста решить уравнение...
xy'-e^y-2y'=0

$xy' - e^{y} - 2y' = 0$

$(x-2)y' - e^{y} = 0$

$(x-2)y' = e^{y}$

$\frac{(x-2)dy}{dx} = e^{y}$

$\frac{dy}{e^{y} } = \frac{dx}{x-2}$

$e^{-y}dy = \frac{dx}{x-2}$

$- e^{-y} = ln|x-2| + const$

$ln|x-2| + e^{-y} = const$

$ln|x-2| + \frac{1}{e^{y} } = const$

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 нояб. 2009 20:22 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Fenja544 написал 2 нояб. 2009 18:54

1. y''= y' *lny' , y(0)=0,y'(0)=1

$y'' = y'lny'$

$z(x) = y'(x)$
$y''(x) = z'(x)$

$z' = zlnz$

$\frac{dz}{dx} = zlnz$

$\frac{dz}{zlnz} = dx$

**
$\int \frac{dz}{zlnz} = [t = lnz \ \ dt = \frac{dz}{z}] = \int\frac{dt}{t} = ln|t| + const = ln|lnz| + const$
**

$ln|lnz| = x + const$

$lnz = Ce^{x}$

$lny' = Ce^{x}$

$y'(0) = 1$

$0 = C$

$lny' = 0$

$y' = 1$

$y = x + D$

$y(0) = 0$

$0 = D$

$y(x) = x$

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 нояб. 2009 20:30 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Fenja544 написал 2 нояб. 2009 18:44

2.y''+ 2*y'+5*y = -17*sin2x (найти общее решение)

$y'' + 2y' + 5y = - 17sin2x$

$y'' + 2y' + 5y = 0$

$\lambda^{2} + 2\lambda + 5 = 0$

$\lambda^{2} + 2\lambda + 1 + 4 = 0$

$(\lambda + 1)^{2} + 4 = 0$

$(\lambda + 1)^{2} = -4$

$\lambda + 1 = - 2i \ \ \ \lambda + 1 = 2i$

$\lambda = - 1 - 2i \ \ \ \lambda = - 1 - 2i$

$y_{0} = e^{-x}(Csin2x + Dcos2x)$

$y'' + 2y' + 5y = - 17sin2x$

$y_{1} = Asin2x + Bcos2x$

$y'_{1} = 2Acos2x - 2Bsin2x$

$y''_{1} = - 4Asin2x - 4Bcos2x$

$y''_{1} + 2y'_{1} + 5y = - 17sin2x$

$- 4Asin2x - 4Bcos2x + 4Acos2x - 4Bsin2x + 5Asin2x + 5Bcos2x = - 17sin2x$

$(sin2x)(- 4A - 4B + 5A) + (cos2x)(- 4B + 4A + 5B) = - 17sin2x$

$(A - 4B)sin2x + (B + 4A)cos2x = - 17sin2x$

$A - 4B = - 17 \ \ \ B + 4A = 0$

$A = - 1 \ \ \ B = 4$

$y_{1} = - sin2x + 4cos2x$

$y(x) = y_{0} + y_{1}$

$y(x) = e^{-x} (Csin2x + Dcos2x) - sin2x + 4cos2x$

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 нояб. 2009 20:41 | IP