Anna90
Новичок
|
   
Помогите! Нужно решить систему и перейти из полярной системы координат в декартову. Подскажите лучше не решение, а алгоритм решения:
r'=(r-1)*(4-r)
q'=1
(r - полярный радиус; q - угол)
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 21:30 | IP
|
|
Roman Osipov 
Долгожитель
|
   
Это обыкновенные ДУ с разделяющимися переменными.
Для перевода в декартову систему координат примените уравнения связи:
x=r*cos(q)
y=r*sin(q).
Если есть вопросы, задавайте.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 18 сен. 2009 21:43 | IP
|
|
|
|
Anna90
Новичок
|
Проблема в том, что после перевода в декартову нужно построить фазовые траектории, так что по идее относительно x,y должна получиться линейная система, а она не получается. Если в первом уравнении r'=dr/dq, то во втором за q' что брать?
PS: простите, поздно заметила второе сообщение. Перехожу.
(Сообщение отредактировал Anna90 18 сен. 2009 21:49)
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 21:46 | IP
|
|
Njutochka27
Новичок
|
Помогите, пожалуйста, понять, в правильном ли направлении двигаюсь?
Найти общее решение или общий интеграл ДУ второго порядка:
y'(1+y'^2)=y''
y'=p(y) y''=p'p
dp/(1+p^2)=dy
1/2ln|1+p^2|=y+C
lnsqrt(1+p^2)=y+C
И как отсюда выразить y?
|
Всего сообщений: 26 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 21:57 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Integral[dp/(1+p^2)]=arctg(p)+C
Отсюда:
arctg(p)+C=y<=>p=tan(y+С)<=>dy/dx=tan(y+С)<=>
<=>dy/tan(y+C)=dx
Integral[dy/tan(y+C)]=ln[sin(y+С)]+С1
Отсюда:
dy/tan(y+C)=dx<=>ln[sin(y+С)]+С1=x<=>
<=>ln[sin(y+С1)]=x+C2<=>sin(y+С1)=exp[x+C2]<=>
<=>y=C1+arcsin(exp[x+C2])
И еще решение p=0<=>y'=0<=>y=C.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 18 сен. 2009 22:12 | IP
|
|
Njutochka27
Новичок
|
Ой, ну надо ж было так стормозить с интегралом! Спасибо, Roman Osipov! Тогда
x-C1=ln|sin(y-C2)|
это общий интеграл?
|
Всего сообщений: 26 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 22:43 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Да.
Но еще есть решение, о котором я написал. Вы его потеряли, т. к. поделили обе части равенства на p, потеряв таким образом решение p=0. Я написал об этом выше.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 18 сен. 2009 22:50 | IP
|
|
Njutochka27
Новичок
|
Здравствуйте! Посмотрите, пожалуйста, правильно ли я решила, или опять все напутала? Заранее огромное спасибо!
Найти общее решение или общий интеграл ДУ второго порядка
yy''+y'^2=0
y'=p(y) y''=p'p
распадается на два
p=0, откуда y'=0 y=C
ydp/dy+p=0
dp/p=-dy/y
ln|p|=-ln|y|+lnC1
p=-C1y
dy/y=-C1dx
ln|y|=-C1x+C2
y=-exp[C1x+C2]
(Сообщение отредактировал Njutochka27 22 сен. 2009 13:09)
|
Всего сообщений: 26 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 22 сен. 2009 11:11 | IP
|
|
Trushkov
Долгожитель
|
Njutochka27, всё гораздо проще.
Проинтегрируем уравнение раз. Получим yy'=c1.
Проинтегрируем уравнение два. Получим y^2/2=c1x+c2.
|
Всего сообщений: 273 | Присоединился: январь 2006 | Отправлено: 22 сен. 2009 11:16 | IP
|
|
Форум
2.3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
