Revli8
Новичок
|
      
RKI Cпасибо большое!  буду знать
|
Всего сообщений: 46 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 июля 2009 13:27 | IP
|
|
Graf de la Kruf
Новичок
|
помогите с решением
Найти общий интеграл ДУ с разделяющимися переменными:
а) (y^2+y)*y'+cos(x)=x
б) x^8*y^2*y'=(x^3+1)*(y^2+1)
заранее спасибо))
|
Всего сообщений: 25 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 24 авг. 2009 16:06 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
Цитата: Graf de la Kruf написал 24 авг. 2009 16:06
помогите с решением
Найти общий интеграл ДУ с разделяющимися переменными:
а) (y^2+y)*y'+cos(x)=x
б) x^8*y^2*y'=(x^3+1)*(y^2+1)
заранее спасибо))
а) (y^2 + y)y' + cosx = x
(y^2 + y)y' = x - cosx
(y^2 + y)dy/dx = x - cosx
(y^2 + y)dy = (x- cosx)dx
(1/3)(y^3) + (1/2)(y^2) = (1/2)(x^2) - sinx + const
(1/3)(y^3) + (1/2)(y^2) - (1/2)(x^2) + sinx = const
б) (x^8)(y^2)y' = (x^3 + 1)(y^2 + 1)
(x^8)(y^2)dy/dx = (x^3 + 1)(y^2 + 1)
(y^2)dy/(y^2 + 1) = (x^3 + 1)dx/(x^8)
**
int (y^2)dy/(y^2 + 1) = int (y^2 + 1 - 1)dy/(y^2 + 1) =
= int (1 - 1/(y^2 + 1))dy = int dy - int dy/(y^2 + 1) =
= y - arctg(y) + const
int (x^3 + 1)dx/(x^8) = int (1/(x^5) + 1/(x^8))dx =
= int dx/(x^5) + int dx/(x^8) = - 1/4(x^4) - 1/7(x^7) + const
**
(y^2)dy/(y^2 + 1) = (x^3 + 1)dx/(x^8)
y - arctg(y) = - 1/4(x^4) - 1/7(x^7) + const
y - arctg(y) + 1/4(x^4) + 1/7(x^7) = const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 авг. 2009 16:20 | IP
|
|
Graf de la Kruf
Новичок
|
RKI
Спасибо огромное))))))))
|
Всего сообщений: 25 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 24 авг. 2009 18:59 | IP
|
|
Graf de la Kruf
Новичок
|
приветствую!!!
помогите еще парочку решить если не затруднит!)))
Найти общий интеграл ДУ первого порядка:
а) x*y'+x*2*exp(y/x)=y
б) sin(x)*y'=(1-y)*cos(x)
|
Всего сообщений: 25 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 25 авг. 2009 12:30 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Graf de la Kruf написал 25 авг. 2009 12:30
Найти общий интеграл ДУ первого порядка:
а) x*y'+x*2*exp(y/x)=y
б) sin(x)*y'=(1-y)*cos(x)
а) xy' + 2x(exp(y/x)) = y
Сделаем замену y(x) = z(x)*x
y' = xz' + z
xy' + 2x(exp(y/x)) = y
x(xz' + z) + 2x(exp(z)) = xz | : x
xz' + z + 2exp(z) = z
xz' + 2exp(z) = 0
xz' = - 2exp(z)
xdz/dx = - 2exp(z)
dz/exp(z) = - 2dx/x
exp(-z)dz = - 2dx/x
- exp(-z) = - 2ln|x| + const
exp(-z) = 2ln|x| + const
1/exp(z) = ln(x^2) = const
1/exp(y/x) - ln(x^2) = const
б) (sinx)y' = (1-y)(cosx)
(sinx)dy/dx = (1-y)(cosx)
dy/(1-y) = (cosx)dx/(sinx)
**
int (cosx)dx/(sinx) = int d(sinx)/(sinx) = ln|sinx| + const
**
dy/(1-y) = (cosx)dx/(sinx)
- ln|1-y| = ln|sinx| + const
- ln|1-y| - ln|sinx| = const
ln|1-y| + ln|sinx| = const
ln|(1-y)(sinx)| = const
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 авг. 2009 12:06 | IP
|
|
Graf de la Kruf
Новичок
|
RKI спасибо!!! с меня бутылка!!!)))))))))
|
Всего сообщений: 25 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 26 авг. 2009 12:34 | IP
|
|
Graf de la Kruf
Новичок
|
Найти частное решение линейного ДУ второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Задача решается дважды: классическим и операционным методами.
y"-4*y'+13*y=26*x+5; y(0)=1 y'(0)=0
заранее благодарю))))
|
Всего сообщений: 25 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 27 авг. 2009 12:45 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Graf de la Kruf написал 27 авг. 2009 12:45
Найти частное решение линейного ДУ второго порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Задача решается дважды: классическим и операционным методами.
y"-4*y'+13*y=26*x+5; y(0)=1 y'(0)=0
Классический метод.
y'' - 4y' + 13y = 26x + 5
Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее исходному неоднородному уравнению:
y'' - 4y' + 13y = 0.
Характеристическое уравнение имеет вид:
(a^2) - 4a + 13 = 0.
Найдем корни характеристического уравнения:
(a^2) - 4a + 13 = 0
(a^2) - 4a + 4 + 9 = 0
(a^2) - 4a + 4 = - 9
(a - 2)^2 = -9
a - 2 = -3i; a - 2 = 3i
a = 2 - 3i; a = 2 + 3i
Тогда решение однородного уравнения, соответствующего исходному неоднородному уравнению, имеет вид:
y(одн) = (e^(2x))(Csin3x + Dcos3x).
Найдем частное решение исходного неоднородного уравнения.
y'' - 4y' + 13y = 26x + 5
Частное решение имеет вид:
y(частн) = ax + b, где коэффициенты a и b необходимо найти.
Коэффициенты a и b будем искать методом неопределенных коэффициентов.
y(частн) = ax + b
y'(частн) = a
y''(частн) = 0
y''(частн) - 4y'(частн) + 13y(частн) = 26x + 5
0 - 4a + 13(ax + b) = 26x + 5
- 4a + 13ax + 13b = 26x + 5
13a = 26; - 4a + 13b = 5
a = 2; - 4a + 13b = 5
a= 2; - 8 + 13b = 5
a = 2; 13b = 13
a = 2; b = 1
y(частн) = 2x + 1
Решением исходного неоднородного уравнения является
y = y(одн) + y(частн)
y = (e^(2x))(Csin3x + Dcos3x) + 2x + 1
y(0) = 1
1 = D + 1
D = 0
y(x) = C(e^(2x))sin3x + 2x + 1
y'(x) = 2C(e^(2x))sin3x + 3C(e^(2x))cos3x + 2
y'(0) = 0
0 = 3C + 2
C = - 2/3
y(x) = - (2/3)(e^(2x))sin3x + 2x + 1
(Сообщение отредактировал RKI 27 авг. 2009 14:46)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 авг. 2009 14:40 | IP
|
|
Nice
Новичок
|
не знаю, как квадратный корень обозначить, т.ч. я буду просто слово корень писать и в скобочки брать подкоренное выражение
Посмотрите, пожалста, верно ли решено и если нет, помогите в решении, буду очень признательна
корень(y^2 + 1)dx=xydy
dx/x=ydy/корень(y^2 + 1)
int dx/x=unt ydy/корень(y^2 + 1)
ln |x| = arcsiny + c
ln |x| - arcsiny = c
|
Всего сообщений: 6 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 29 авг. 2009 13:49 | IP
|
|
Форум
2.3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
