RKI 
Долгожитель
|
   
Цитата: vma22 написал 16 июня 2009 20:04
Найти общее решение дифференциального уравнения
y''ctg(2x) + 2y' = 0
(ctg2x)y'' + 2y' = 0
z(x) = y'
y'' = z'(x)
(ctg2x)z' + 2z = 0
(ctg2x)(dz/dx) + 2z = 0
(ctg2x)(dz/dx) = -2z
dz/z = - 2dx/(ctg2x)
dz/z = - 2(sin2x)dx/(cos2x)
**
int - 2(sin2x)dx/(cos2x) = int d(cos2x)/(cos2x) =
= ln|cos2x| + const
**
dz/z = - 2(sin2x)dx/(cos2x)
ln|z| = ln|cos2x| + const
z = C(cos2x)
y' = C(cos2x)
y(x) = (C/2)(sin2x) + D
y(x) = A(sin2x) + D
A,D - произвольные константы
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 июня 2009 20:36 | IP
|
|
vma22
Новичок
|
 
СПАСИБО ОГРОМНОЕ RKI!!!!!!!!
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 16 июня 2009 21:30 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: vma22 написал 16 июня 2009 20:08
Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
y'' + y' - 5y =50*cos(x); y(0)=3; y'(0)=5.
Вы уверены в левой части уравнения? Меня несколько она смущает
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 июня 2009 22:15 | IP
|
|
vma22
Новичок
|
RKI, да, именно такое:
y'' + y' - 5y = 50cos(x); y(0)=3, y'(0)=5.
(Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям).
|
Всего сообщений: 21 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 16 июня 2009 22:25 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: vma22 написал 16 июня 2009 20:19
Помогите пожалуйста с дз по дифф.уравнениям:
Условие:
Выполнить действия в алгебраической и тригонометрической формах:
a) z1*z2 б) z1/z2 в) (z1)^1/n где z1 = 9-9i ; z2=5 ; n=4
z1 = 9 - 9i
z1 = 9sqrt(2)(cos(-П/4) + isin(-П/4))
z2 = 5
z2 = 5(cos0 + isin0)
а) z1*z2 = 5(9-9i) = 45 - 45i
z1*z2 = 5*9sqrt(2)(cos(-П/4+0) + isin(-П/4+0)) =
= 45sqrt(2)(cos(-П/4) + isin(-П/4))
б) z1/z2 = (9 - 9i)/5 = (9/5) - (9/5)i
z1/z2 = (9/5)sqrt(2)(cos(-П/4-0) + isin(-П/4-0)) =
= (9/5)sqrt(2)(cos(-П/4) + isin(-П/4))
в) z1 = 9sqrt(2)(cos(-П/4) + isin(-П/4))
(z1)^(1/4) = {a0; a1; a2; a3}
a0 = [(9sqrt(2))^(1/4)]*[cos(-П/16) + isin(-П/16)]
a1 = [(9sqrt(2))^(1/4)]*[cos(7П/16) + isin(П/16)]
a2 = [(9sqrt(2))^(1/4)]*[cos(15П/16) + isin(15П/16)]
a3 = [(9sqrt(2))^(1/4)]*[cos(23П/16) + isin(23П/16)]
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 июня 2009 22:29 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: vma22 написал 16 июня 2009 22:25
y'' + y' - 5y = 50cos(x); y(0)=3, y'(0)=5.
y'' + y' - 5y = 0
(a^2) + a - 5 = 0
a = (-1-sqrt(21))/2; a = (-1+sqrt(21))/2
y(одн) = C(e^((-1-sqrt(21))x/2)) + D(e^((-1+sqrt(21))x/2))
y'' + y' - 5y = 50cosx
y(частн) = Asinx + Bcosx
y'(частн) = Acosx - Bsinx
y''(частн) = - Asinx - Bcosx
y'' + y' - 5y = 50cosx
- Asinx - Bcosx + Acosx - Bsinx - 5Asinx - 5Bcosx = 50cosx
(-6A-B)sinx + (-6B+A)cosx = 50cosx
при sinx: - 6A - B = 0
при cosx: - 6B + A = 50
A = 50/37; B = - 300/37
y(частн) = Asinx + Bcosx
y(частн) = (50/37)(sinx - 6cosx)
y(x) = y(одн) + y(частн)
y(x) = C(e^((-1-sqrt(21))x/2)) + D(e^((-1+sqrt(21))x/2)) +
+ (50/37)(sinx - 6cosx)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 16 июня 2009 23:06 | IP
|
|
Olegmath2
Полноправный участник
|
Цитата: vma22 написал 16 июня 2009 20:19
Помогите пожалуйста с дз по дифф.уравнениям:
Условие:
Выполнить действия в алгебраической и тригонометрической формах:
a) z1*z2 б) z1/z2 в) (z1)^1/n где z1 = 9-9i ; z2=5 ; n=4
в) II способ. При решении данного задания будем пользоваться следующей формулой:
sqrt(a+bi)={+,-}(sqrt((sqrt(a^2+b^2)+a)/2)+sign(b)* sqrt((sqrt(a^2+b^2)-a)/2)*i), где b<>0.
Найдём сначала значения квадратного корня из числа z1=9-9i.
(z1)^(1/2)={y1;y2}.
y1,2=(9-9i)^(1/2)=[a=9, b=-9, sqrt(a^2+b^2)=9sqrt(2)]=
={+,-}(sqrt((sqrt(9sqrt(2))+9)/2)- sqrt((sqrt(9sqrt(2))-9)/2)*i)=
={+,-}(3*sqrt((sqrt(sqrt(2))+1)/2)- 3*sqrt((sqrt(sqrt(2))-1)/2)*i).
(y1)^(1/2)={w1;w2}.
w1,2={+,-}(sqrt((3*2^(1/4)+3*sqrt((sqrt(2)+1)/2)))/2)-sqrt((3*2^(1/4)-
-3*sqrt((sqrt(2)+1)/2)))/2)*i).
(y2)^(1/2)={w3;w4}.
w3,4={+,-}(sqrt((3*2^(1/4)-3*sqrt((sqrt(2)+1)/2)))/2)+sqrt((3*2^(1/4)+
+3*sqrt((sqrt(2)+1)/2)))/2)*i).
(z1)^(1/4)={w1;w2;w3;w4}.
(Сообщение отредактировал Olegmath2 16 июня 2009 23:29)
|
Всего сообщений: 235 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 16 июня 2009 23:27 | IP
|
|
Dgon
Новичок
|
Помогите решить пример
y''+4y=xsin2x
|
Всего сообщений: 10 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 17 июня 2009 16:13 | IP
|
|
p1caso
Новичок
|
помогите к завтра надо очень, консультация вечером!!
найти решение задачи коши:
y''+4y=4/sin2x y(п/4)=2; y'(п/4)=п
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 17 июня 2009 23:10 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: p1caso написал 17 июня 2009 23:10
помогите к завтра надо очень, консультация вечером!!
найти решение задачи коши:
y''+4y=4/sin2x y(п/4)=2; y'(п/4)=п
y'' + 4y = 0
(a^2) + 4 = 0
a^2 = - 4
a = -2i; a = 2i
y1(x) = sin2x
y2(x) = cos2x
y1(x) и y2(x) образуют фундаментальную систему решений
(y1)' = 2cos2x
(y2)' = - 2sin2x
y'' + 4y = 4/(sin2x)
y(x) = C(x)sin2x + D(x)cos2x
C(x) и D(x) находятся из системы
C'y1 + D'y2 = 0; C'y1' + D'y2' = 4/(sin2x)
C'(sin2x) + D'(cos2x) = 0; 2C'(cos2x) - 2D'(sin2x) = 4/(sin2x)
C' = - D'(cos2x)/(sin2x)
2C'(cos2x) - 2D'(sin2x) = 4/(sin2x)
C'(cos2x) - D'(sin2x) = 2/(sin2x)
- D'((cos2x)^2)/(sin2x) - D'(sin2x) = 2/(sin2x)
- D'((cos2x)^2) - D'((sin2x)^2) = 2
D'((cos2x)^2 + (sin2x)^2) = - 2
D' = - 2
D(x) = - 2x + A
C' = - D'(cos2x)/(sin2x) = 2(cos2x)/(sin2x)
C(x) = int 2(cos2x)dx/(sin2x) = int d(sin2x)/(sin2x) =
= ln|sin2x| + B
y(x) = C(x)sin2x + D(x)cos2x
y(x) = (ln|sin2x| + B)(sin2x) + (-2x + A)(cos2x)
y(П/4) = 2
2 = (ln1 + B)*1 + (-П/2 + A)*0
2 = 0 + B
2 = B
y(x) = (ln|sin2x| + B)(sin2x) + (-2x + A)(cos2x)
y(x) = (ln|sin2x| + 2)(sin2x) + (-2x + A)(cos2x)
y'(x) = 2cos2x + 2(ln|sin2x| + 2)(cos2x) - 2cos2x -
- 2(-2x + A)(sin2x) =
= 2(ln|sin2x| + 2)(cos2x) + (4x - 2A)(sin2x)
y'(П/4) = П
П = 2(ln1 + 2)*0 + (П - 2A)*1
П = П - 2A
A = 0
y(x) = (ln|sin2x| + 2)(sin2x) + (-2x + A)(cos2x)
y(x) = (ln|sin2x| + 2)(sin2x) + - 2x(cos2x)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 июня 2009 12:44 | IP
|
|
Форум
2.3.1 Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)
