Форум - 2.1.6 Первообразная (неопределенный интеграл) [53]

Форум	» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация \| Профиль \| Войти \| Забытый пароль \| Присутствующие \| Справка \| Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация

	Форум Математика 2.1.6 Первообразная (неопределенный интеграл)
	Отметить все сообщения как прочитанные [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>

Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise

sharm

Новичок
То есть я так понял ответ - интеграл не берется?
так p - не целое число и нет условий соответствующих случаям

Всего сообщений: 20 | Присоединился: декабрь 2011 | Отправлено: 15 марта 2012 20:40 | IP

MEHT

Долгожитель
Да, правильно поняли - не берётся в элементарных функциях.
И дело не только в нецелочисленности p.
Интегрируемость

$x^m\left ( a+bx^n \right )^p dx$

возможна лишь если какое-нибудь из трёх чисел
p или (m+1)/n или (m+1)/n + p
целое.

В рассматриваемой форме биномиального дифференциала
m=2/3, n=1, p=1/9. Соорудив из них требуемые числа легко видеть, что ни одно из них не цело.

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 15 марта 2012 21:18 | IP

sharm

Новичок
Хм... сегодня был на консультации
мне сказали что..(дословно) "... с чего вы взяли?? Все интегралы берутся, но только разными методами. Смотрите внимательно!"

То есть если "...не берётся в элементарных функциях." то есть методы другие
P:S: профессура меня в тупик загоняет

Всего сообщений: 20 | Присоединился: декабрь 2011 | Отправлено: 17 марта 2012 23:29 | IP

MEHT

Долгожитель

Цитата: sharm написал 17 марта 2012 23:29
Хм... сегодня был на консультации
мне сказали что..(дословно) "... с чего вы взяли?? Все интегралы берутся, но только разными методами. Смотрите внимательно!"

Тогда, должно быть, в записи исходного интеграла вкралась опечатка.

В противном случае препод ошибается (видать сам проверить не удосужился, а утверждает с непоколебимой уверенностью). Интеграл не берётся и это следует из теоремы Чебышева.

Цитата: sharm написал 17 марта 2012 23:29

То есть если "...не берётся в элементарных функциях." то есть методы другие

Есть безусловно, но они Вам могут не понравиться

Представив предварительно подынтегральную функцию как

$\sqrt[3]{x^2 \left (8\sqrt[3]{x-1} \right )} = \begin{cases} -2x^{\frac{2}{3}} \left ( 1-x \right )^{\frac{1}{9}} , & 0 < x < 1 \\ 2x^{\frac{2}{3}} \left ( x-1 \right )^{\frac{1}{9}} , & x > 1 \\ -2\left (-x \right )^{\frac{2}{3}} \left ( 1-x \right )^{\frac{1}{9}} , & x < 0 \end{cases}$

можно записать первообразную

$\int \sqrt[3]{x^2 \left (8\sqrt[3]{x-1} \right )} dx = \begin{cases} -2\int_{0}^{x}\tau^{\frac{2}{3}} \left ( 1-\tau \right )^{\frac{1}{9}} d\tau , & 0 < x < 1 \\\\ 2\int_{1}^{x }\tau^{\frac{2}{3}} \left ( \tau -1 \right )^{\frac{1}{9}} d\tau , & x > 1 \\\\ -2\int_{-\infty}^{x} \left (- \tau \right )^{\frac{2}{3}} \left ( 1- \tau \right )^{\frac{1}{9}} d\tau , & x < 0 \end{cases}$

(постоянную интегрирования не пишу)

Первый из интегралов представляет собой неполную бета-функцию от заданных значений a и b:

$B_{x}\left ( a,b \right ) = \int_{0}^{x}\tau^{a-1} \left ( 1-\tau \right )^{b-1} d\tau , \qquad 0< x< 1, \quad \textbf{Re} \, a>0, \quad \textbf{Re} \, b>0$

Другие два интеграла тоже можно попытаться (с помощью замены переменной) свести к бета-функции. И не исключено, что для этого придётся воспользоватся и формулами приведения (для полученных биномиальных интегралов), ввиду того, что бета-функция определена не для всех a и b.

Также можно попробовать записать первообразную в виде ряда. Нужно смотреть в справочниках по спец-функциям. Но большого смысла в этом не вижу - ради одного неберущегося интеграла

(Сообщение отредактировал MEHT 18 марта 2012 19:58)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 18 марта 2012 19:56 | IP

sharm

Новичок
Спасибо, но это уже другая тема а нуно в неопределяемых интегралах
Вопрос вот другой:
$\int {{{\cos }^4}3xdx = \left\{ \begin{gathered} u = 3x, \hfill \\ du = 3dx \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int {{{\cos }^4}(u)du} }$

Дальше развилка ...

(Сообщение отредактировал sharm 19 марта 2012 18:36)

Всего сообщений: 20 | Присоединился: декабрь 2011 | Отправлено: 19 марта 2012 18:33 | IP

ustam

Долгожитель

Цитата: sharm написал 19 марта 2012 18:33

Вопрос вот другой:
$\int {{{\cos }^4}3xdx = \left\{ \begin{gathered} u = 3x, \hfill \\ du = 3dx \hfill \\ \end{gathered} \right\} = \int {{{\cos }^4}(u)du} }$

Здесь надо пользоваться формулами из школьной тригонометрии:
cos^4(3x) = [(1/2)(1+cos6x)]^2 = (1/4)[1+2cos6x + cos^2(6x)] = 1/4 + (1/2)cos6x + (1/8)(1+cos12x) =3/8 + (1/2)cos6x +(1/8)cos12x
А дальше интегрирование

Всего сообщений: 420 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 20 марта 2012 1:59 | IP

sharm

Новичок
хм...
все понимаю, что cos^2(x)+sin^2(x)=1 => cosx=(1+sin^2(x))^(1/2)
но как можно привести cos^4(3x) к (1+cos6x)^2

p.s: или у Вас (1/2) - это корень??

Всего сообщений: 20 | Присоединился: декабрь 2011 | Отправлено: 20 марта 2012 13:01 | IP

kahraba

Долгожитель
sharm, в тригонометрии есть формулы преобразования алгебраических сумм тригонометрических функций в произведение и обратно. В школе надо было лучше уроки учить, тогда не задавал бы таких вопросов.

Всего сообщений: 896 | Присоединился: август 2011 | Отправлено: 20 марта 2012 13:19 | IP

ustam

Долгожитель

Цитата: sharm написал 20 марта 2012 13:01
хм...
все понимаю, что cos^2(x)+sin^2(x)=1 => cosx=(1+sin^2(x))^(1/2)
но как можно привести cos^4(3x) к (1+cos6x)^2

p.s: или у Вас (1/2) - это корень??

Нет, это не корень.
Скачай Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике, есть в сети. Очень полезная книга для освежения школьных знаний

Всего сообщений: 420 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 20 марта 2012 13:51 | IP

sharm

Новичок

Цитата: kahraba написал 20 марта 2012 13:19
В школе надо было лучше уроки учить, тогда не задавал бы таких вопросов.

Да вроде 4-5 было (хотя очень давно, лет 25 назад )
жизнь заставила в институт поступить вот и освежаю, но на критику реагирую положительно

Всего сообщений: 20 | Присоединился: декабрь 2011 | Отправлено: 20 марта 2012 21:01 | IP

Отправка ответа:

Имя пользователя Вы зарегистрировались?
Пароль Забыли пароль?
Сообщение
Использование HTML запрещено
Использование IkonCode разрешено
Смайлики разрешены

Опции отправки
Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да Нет

Переход к теме
<< Назад Вперед >> Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 ]