lolechka
Начинающий
|
   
Здравствуйте, помогите исследовать функцию на экстремум,
u=xy+ 2/x+3/y
я нахожу производные,
du/dx=y-2/x^2=0
du/dy=x-3/x^2=0
но решая систему, получаю что-попало, не могу решить, запуталась, очень нуждаюсь в вашей помощи
помогите, пожалуйста
|
Всего сообщений: 54 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 марта 2009 12:53 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
u(x,y) = xy + 2/x + 3/y
du/dx = y - 2/(x^2)
du/dy = x - 3/(y^2)
du/dx=0; du/dy=0
y - 2/(x^2) = 0; x - 3/(y^2) = 0
y = 2/(x^2); x - 3/(y^2) = 0
y = 2/(x^2); x - 3(x^4)/4 = 0
y = 2/(x^2); (4x-3(x^4))/4 = 0
y = 2/(x^2); 4x - 3(x^4) = 0
y = 2/(x^2); x(4-3(x^3)) = 0
x=0 не принадлежит области определения функции
Следовательно, x отличен от нуля
y = 2/(x^2); 4 - 3(x^3) = 0
y = 2/(x^2); x^3 = 4/3
y = 2/(x^2); x = (4/3)^(1/3)
x = (4/3)^(1/3)
y = 2*(4/3)^(-2/3)
Это точка, подозрительная на точку экстремума
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 марта 2009 13:05 | IP
|
|
lolechka
Начинающий
|
спасибо большое, доделала
|
Всего сообщений: 54 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 марта 2009 14:23 | IP
|
|
lolechka
Начинающий
|
и ещё помогите с задачкой, её вообще даже незнаю совсем как делать
Найти на гиперболе x^2/2-y^2=1 точку, ближайшую к точке A(3;0).
я так поняла тоже нужно как то через производные... экстремумы... так как она в этой контрольной... но как, для меня сложновато
|
Всего сообщений: 54 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 марта 2009 22:21 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Пусть (x,y) - точка, лежащая на гиперболе, ближайшая к точке A(3; 0)
Расстояние от искомой точки до точки A:
sqrt((x-3)^2 + y^2)
Необходимо найти минимум функции
sqrt((x-3)^2 + y^2)
при условии, что (x^2)/2 - (y^2) = 1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 апр. 2009 14:23 | IP
|
|
lolechka
Начинающий
|
RKI, что-то здесь я всё равно ни бумбум, если не трудно, не могли бы вы дорешать?
(Сообщение отредактировал lolechka 1 апр. 2009 15:38)
|
Всего сообщений: 54 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 1 апр. 2009 15:37 | IP
|
|
Neznaika
Новичок
|
Помогите исследовать функцию: y=e^x/2x . первая производная получилась: y`=2xe^x-2e^x/4x^2 вторая: y``=e^x(x^2-2x-2)/2x^3 .Нужно еще найти точки экстремума,интервалы монотонности,точки перегиба.и выпуклость вогнутость,и построиь график
|
Всего сообщений: 17 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 2 апр. 2009 13:14 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
sqrt((x-3)^2 + y^2) -> min
(x^2)/2 - (y^2) = 1
Корень и подкоренное выражение достигают минимума в одних и тех же точках. Поэтому (для упрощения вычислений) задачу запишем в следующей эквивалентной форме:
(x-3)^2 + y^2 -> min
(x^2)/2 - y^2 - 1 = 0
Это задача на условный экстремум.
Можно использовать метод исключения переменных или метод Лагранжа.
Я буду использовать первый метод. Разрешаем уравнение связи относительно y:
(x^2)/2 - y^2 - 1 = 0
y^2 = (x^2)/2 - 1
Подставляем полученное выражение в минимизируемую функцию.
u(x) = (x-3)^2 + y^2 = (x-3)^2 + (x^2)/2 - 1
Исследуем функцию u(x) на безусловный экстремум.
u'(x) = 2(x-3) + x = 2x - 6 + x = 3x - 6
u'(x) = 0
3x - 6 = 0
x = 2 - стационарная точка
u' _ +
______________________________________x
2
x = 2 - точка минимума
y^2 = (x^2)/2 - 1 = 4/2 - 1 = 2 - 1 = 1
Таким образом, получаем две точки минимума (2; -1) и (2; 1).
Посчитаем расстояние от точки A до точки (2; -1)
sqrt((x-3)^2 + y^2) = sqrt(1+1) = sqrt(2)
Посчитаем расстояние от точки A До точки (2; 1)
sqrt((x-3)^2 + y^2) = sqrt(2)
Ответ: две ближайшие точки (2; -1) и (2; 1)
(Сообщение отредактировал RKI 2 апр. 2009 13:32)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 апр. 2009 13:31 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Neznaika написал 2 апр. 2009 13:14
Помогите исследовать функцию: y=e^x/2x . первая производная получилась: y`=2xe^x-2e^x/4x^2 вторая: y``=e^x(x^2-2x-2)/2x^3 .Нужно еще найти точки экстремума,интервалы монотонности,точки перегиба.и выпуклость вогнутость,и построиь график
N.B. Это вопрос темы "Исследование функций"
y(x) = (e^x)/2x = (1/2)(e^x)(x^(-1))
y'(x) = (1/2)(e^x)(x^(-1)) - (1/2)(e^(x))(x^(-2)) =
= (1/2)(e^x)(x^(-2))*(x - 1) = (e^x)(x-1)/2(x^2)
y'(x) = 0
(e^x)(x-1)/2(x^2) = 0
x-1 = 0
x = 1
y' _ _ +
__________________________________________x
0 1
x = 1 - точка минимума
y(1) = e/2 - минимум функции
Функция убывает на промежутке
(-бесконечность; 0) U (0; 1)
Функция возрастает на промежутке
(1; +бесконечность)
y'(x) = (e^x)(x-1)/2(x^2) = (1/2)(e^x)(x-1)(x^(-2))
y''(x) = (1/2)(e^x)(x-1)(x^(-2)) + (1/2)(e^x)(x^(-2)) -
- (e^x)(x-1)(x^(-3)) =
= (1/2)(e^x)(x^(-3))*((x-1)x + x - 2(x-1)) =
= (1/2)(e^x)(x^(-3))*(x^2 - x + x - 2x + 2) =
= (1/2)(e^x)(x^(-3))*(x^2 - 2x + 2) =
= (e^x)(x^2 - 2x + 2)/2(x^3)
y''(x) = 0
(e^x)(x^2 - 2x + 2)/2(x^3) = 0
x^2 - 2x + 2 = 0
нет решений
y'' _ +
______________________________________x
0
Точек перегиба нет.
Функция выпукла вниз на промежутке (0; +бесконечность)
Функция выпукла вверх на промежутке (-бесконечность; 0)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 2 апр. 2009 13:49 | IP
|
|
Neznaika
Новичок
|
Спасибо.Подскажите пожалуйста еще-график функции не упирается в ноль слева?
|
Всего сообщений: 17 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 2 апр. 2009 14:25 | IP
|
|
Форум
Нахождение производных. Дифференцирование
