Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Алгебраические уравнения
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

undeddy



Долгожитель

Найдите все значения параметра а, при которых  уравнение  sqrt( 4 + 2a - x ) = x - 2 имеет хотя бы один корень.

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 19 мая 2006 15:15 | IP
KMA



Долгожитель

Уравнение с параметром, эта штука интересная, она требует довольно хорошего понимания всех элементарных математических вещей.
Такое уравнение имеет слудеющую логику.

Пытаемся привести данное выражение к виду какой-нибудь элементарной функции. Итак возведем все в квадрат, перенесем все в одну часть в итоге получим следующие:
x^2-3x+2a=0;
Теперь можно просто разглядеть что это параболла. Вспоминаем, что у параболлы возможны два действительных корня, значит но есть случай, когда они совпадают, т. е. имееют одно значение. Такой случай возможен только при дискрименанте равном единице.
Итак, последнюю запись обводим в кружок и ставим цифорку один. Один вариант рассмотрели.
1)D=0, это уравнение довольно банально, поэтому ты его решишь сам.

Теперь поговорим о случае, когда дискриминант величина сугубо положительная. Это значит, что уравнение имеет два РАЗЛИЧНЫХ КОРНЯ. Как же так, можешь спросить ты, ведь ищем то одно решение. Правильно, ищем одно, но в самом начале, мы делали очень важную операцию, возводили в квадрат, а это значит что у нас появилось условие в виде:
4+2а-х>0; (1)
Это важно. А теперь, самое главное, нужно найти такие значения а, при которых только одно значение х будет удовлетворять данному условие, а второе нет. Тогда и получим решение. Уже полное.
Осталось разобраться только с одним как его грамотно записать. Итак, мое предложение: вспоминаешь за что отвечает коэффициент с в уравнении вида ax^2+bx+c=0, потом почертишь графики параболлы, нарисуешь область в которой выполняется условие (1), и выбираешь такие а, для которых существует только один корень, вот и все.

-----
Gentoo, FreeBSD 7.2, PHP, JavaScript (jQuery), Python, Shell
Помогаю с задачами только на форуме.
Все мои действия четко согласуются с правилами раздела. Поэтому никаких претензий и обид.

Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 20 мая 2006 2:38 | IP
MEHT



Долгожитель

Уважаемый КМА! Уравнение с параметром действительно итрересная вещь, но всех элементарных математических вещей тут можно и не знать - достаточно знания только некоторых из них
По поводу задачи:
Что-то не очень понятен ход ваших рассуждений. К примеру почему Вы применяете условие
4+2а-х>0, а условие
x-2>0 у Вас отсутствует?
Ну и соотв. опечатки:

Итак возведем все в квадрат, перенесем все в одну часть в итоге получим следующие:
x^2-3x+2a=0

и

Такой случай возможен только при дискрименанте равном единице.
с чем нельзя согласиться.


Можно решить это задачу стандартными методами. Как обычно, при возведении в квадрат и при перенесении всего в левую часть получится следующее уравнение
x^2-3x-2a=0,
откуда дискриминант D=9+8a, и для существования хотя бы одного корня он должен быть больше или равен нулю, т.е.
D >= 0

Теперь корни уравнения
x1=(3-sqrt(D))/2,
x2=(3+sqrt(D))/2.

Эти корни должны удовлетворять неравенствам
4+2а-х >= 0,
x-2 >= 0.

Легко убедиться, что корень x1 не удовлетворяет 2-му неравенству, следовательно ур. может иметь не более одного корня.
Подставим x2 в данные неравенства, получим
4+2а-(3+sqrt(D))/2 >= 0,
(-1+sqrt(D))/2 >= 0,
или, упростив,

sqrt(D) >= 1,
sqrt(D) <= 4a+5.

Теперь вся проблема разрешить эту систему неравенств и найти а.
Решим 1-е:
sqrt(9+8a) >= 1,
9+8a >= 1,
a >= -1;

решим 2-е:
sqrt(9+8a) <= 4a+5,
9+8a <= 16*a^2+40*a+25,
16*a^2+32*a+16 >= 0,
a^2+2*a+1 >= 0, или (a+1)^2 >= 0 - справедливо при всех a,
следовательно второе неравество выполняется при любых действительных а,
при которых sqrt(9+8a) имеет смысл, т.е.
9+8a >= 0 и 4a+5 >= 0, откуда a >= -9/8

Совместное решение системы (пересечение промежутков a >= -1 и a >= -9/8) будет
a >= -1.
Это и есть решение, т.е. при
a >= -1
уравнение
sqrt( 4 + 2a - x ) = x - 2
имеет 1 действительный корень.


(Сообщение отредактировал MEHT 22 мая 2006 3:16)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 22 мая 2006 3:14 | IP
KMA



Долгожитель

Извеняюсь, МЕНТ ты абсолютно прав. Главное, суть объяснить, и по поводу второй опечатки я не согласен. Я говорил про случай, когда Д=0, рассматривая его отдельно, а дальше, рассматривал отдельно, когда Д>0, и один из корней уравнения не удовлетворяет двум неравенствам.
Вот... Мне больше нравиться графический метод решения, он более нагляден, поэтому я и предложил почертить. Если бы все выполнилось, то, конечно можно было бы сказать, что удовлетворяет только один корень, для Д=0. Вот и все...
Еще раз извеняюсь.  

-----
Gentoo, FreeBSD 7.2, PHP, JavaScript (jQuery), Python, Shell
Помогаю с задачами только на форуме.
Все мои действия четко согласуются с правилами раздела. Поэтому никаких претензий и обид.

Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 22 мая 2006 19:45 | IP
MEHT



Долгожитель


Цитата: KMA написал 22 мая 2006 19:45
...и по поводу второй опечатки я не согласен. Я говорил про случай, когда Д=0, рассматривая его отдельно...

Я только лишь указал описку в строчке. Вы пишите

Такой случай возможен только при дискрименанте равном единице.
а рассматриваете D=0...
Понимаю, что лишний раз цепляюсь к словам, но все же...

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 22 мая 2006 20:00 | IP
KMA



Долгожитель

Простите, действительно тупость написал... Блин, мысли вперед бегут, чем руки печатают. Конечно, вы абсолютно правы.

-----
Gentoo, FreeBSD 7.2, PHP, JavaScript (jQuery), Python, Shell
Помогаю с задачами только на форуме.
Все мои действия четко согласуются с правилами раздела. Поэтому никаких претензий и обид.

Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 23 мая 2006 11:40 | IP
Guest



Новичок

Помогите решить такую задачу: определить коэфициенты
m и n из уравнения X^4 - 10X^3 + 37X^2 + mX + n=0, если известно, что уравнение имеет две пары одинаковых корней.


Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 7 июня 2006 4:00 | IP
Genrih


Удален

m=-60
n=36

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 7 июня 2006 4:53 | IP
attention



Долгожитель


Цитата: Guest написал 7 июня 2006 4:00
Помогите решить такую задачу: определить коэфициенты
m и n из уравнения X^4 - 10X^3 + 37X^2 + mX + n=0, если известно, что уравнение имеет две пары одинаковых корней.


Guest, если интересует само решение, то у меня получилось такое решение: сначала представить уравнение с помощью неопределённых коэффициентов в виде произведения двух уравнений второй степени, каждое из которых пусть имеет один кратный корень; затем раскрыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях Х:

Q(X)=X^4--10X^3+37X^2+mX + n=(X^2+A*X+B)*(X^2+C*X+D)=
=X^4+(A+C)*X^3+(AC+B+D)*X^2+(AD+BC)*X+BD=0 =>
        A+C=-10,
=> AC+B+D=37,
     AD+BC=m,
         BD=n.
  Так как уравнение Q(X), по условию, имеет два кратных корня, то, следовательно, уравнения (X^2+A*X+B)=0 и (X^2+C*X+D)=0 имеют дискриминанты, равные нулю:
  D1=A^2--4B=0,  => B=A^2/4,
  D2=C^2--4D=0.  => D=С^2/4.
 
  В результате получим систему двух уравнений:
A+C=-10,                      A+C=-10,                    A+C=-10,
AC+A^2/4+C^2/4=37; A^2+4AC+C^2=148;  (A+C)^2+2AC=148;

A+C=-10,  A=-(C+10),             A1=-6 и C1=-4,
AC=24;    C^2+10C+24=0;   A1=-4 и C2=-6.

  Далее подставляем найденные значения А и С в B=A^2/4 и соответственно в D=С^2/4 (при этом можно взять любую пару значений А и С): B=36/4=9 и D=16/4=4.
  Теперь подставим значения A, B, C и D в AD+BC=m и BD=n:
m=(-6)*4+9*(-4)=-60 и n=9*6=36.


(Сообщение отредактировал attention 7 июня 2006 18:21)


-----
Математический форум MathHelpPlanet.com

Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 7 июня 2006 19:13 | IP
Guest



Новичок

Решите пожалeйста систему! Очень срочно!
24cosx^2+11cosy^2=10a-17,
33cosx^2+8cosy^2=28a-59,

Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 8 июня 2006 0:10 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com