undeddy
Долгожитель
|
    
Найдите все значения параметра а, при которых уравнение sqrt( 4 + 2a - x ) = x - 2 имеет хотя бы один корень.
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 19 мая 2006 15:15 | IP
|
|
KMA 
Долгожитель
|
 
Уравнение с параметром, эта штука интересная, она требует довольно хорошего понимания всех элементарных математических вещей.
Такое уравнение имеет слудеющую логику.
Пытаемся привести данное выражение к виду какой-нибудь элементарной функции. Итак возведем все в квадрат, перенесем все в одну часть в итоге получим следующие:
x^2-3x+2a=0;
Теперь можно просто разглядеть что это параболла. Вспоминаем, что у параболлы возможны два действительных корня, значит но есть случай, когда они совпадают, т. е. имееют одно значение. Такой случай возможен только при дискрименанте равном единице.
Итак, последнюю запись обводим в кружок и ставим цифорку один. Один вариант рассмотрели.
1)D=0, это уравнение довольно банально, поэтому ты его решишь сам.
Теперь поговорим о случае, когда дискриминант величина сугубо положительная. Это значит, что уравнение имеет два РАЗЛИЧНЫХ КОРНЯ. Как же так, можешь спросить ты, ведь ищем то одно решение. Правильно, ищем одно, но в самом начале, мы делали очень важную операцию, возводили в квадрат, а это значит что у нас появилось условие в виде:
4+2а-х>0; (1)
Это важно. А теперь, самое главное, нужно найти такие значения а, при которых только одно значение х будет удовлетворять данному условие, а второе нет. Тогда и получим решение. Уже полное.
Осталось разобраться только с одним как его грамотно записать. Итак, мое предложение: вспоминаешь за что отвечает коэффициент с в уравнении вида ax^2+bx+c=0, потом почертишь графики параболлы, нарисуешь область в которой выполняется условие (1), и выбираешь такие а, для которых существует только один корень, вот и все.
|
Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 20 мая 2006 2:38 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Уважаемый КМА! Уравнение с параметром действительно итрересная вещь, но всех элементарных математических вещей тут можно и не знать - достаточно знания только некоторых из них 
По поводу задачи:
Что-то не очень понятен ход ваших рассуждений. К примеру почему Вы применяете условие
4+2а-х>0, а условие
x-2>0 у Вас отсутствует?
Ну и соотв. опечатки:
Итак возведем все в квадрат, перенесем все в одну часть в итоге получим следующие:
x^2-3x+2a=0
и
Такой случай возможен только при дискрименанте равном единице.
с чем нельзя согласиться.
Можно решить это задачу стандартными методами. Как обычно, при возведении в квадрат и при перенесении всего в левую часть получится следующее уравнение
x^2-3x-2a=0,
откуда дискриминант D=9+8a, и для существования хотя бы одного корня он должен быть больше или равен нулю, т.е.
D >= 0
Теперь корни уравнения
x1=(3-sqrt(D))/2,
x2=(3+sqrt(D))/2.
Эти корни должны удовлетворять неравенствам
4+2а-х >= 0,
x-2 >= 0.
Легко убедиться, что корень x1 не удовлетворяет 2-му неравенству, следовательно ур. может иметь не более одного корня.
Подставим x2 в данные неравенства, получим
4+2а-(3+sqrt(D))/2 >= 0,
(-1+sqrt(D))/2 >= 0,
или, упростив,
sqrt(D) >= 1,
sqrt(D) <= 4a+5.
Теперь вся проблема разрешить эту систему неравенств и найти а.
Решим 1-е:
sqrt(9+8a) >= 1,
9+8a >= 1,
a >= -1;
решим 2-е:
sqrt(9+8a) <= 4a+5,
9+8a <= 16*a^2+40*a+25,
16*a^2+32*a+16 >= 0,
a^2+2*a+1 >= 0, или (a+1)^2 >= 0 - справедливо при всех a,
следовательно второе неравество выполняется при любых действительных а,
при которых sqrt(9+8a) имеет смысл, т.е.
9+8a >= 0 и 4a+5 >= 0, откуда a >= -9/8
Совместное решение системы (пересечение промежутков a >= -1 и a >= -9/8) будет
a >= -1.
Это и есть решение, т.е. при
a >= -1
уравнение
sqrt( 4 + 2a - x ) = x - 2
имеет 1 действительный корень.
(Сообщение отредактировал MEHT 22 мая 2006 3:16)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 22 мая 2006 3:14 | IP
|
|
KMA
Долгожитель
|
Извеняюсь, МЕНТ ты абсолютно прав. Главное, суть объяснить, и по поводу второй опечатки я не согласен. Я говорил про случай, когда Д=0, рассматривая его отдельно, а дальше, рассматривал отдельно, когда Д>0, и один из корней уравнения не удовлетворяет двум неравенствам.
Вот... Мне больше нравиться графический метод решения, он более нагляден, поэтому я и предложил почертить. Если бы все выполнилось, то, конечно можно было бы сказать, что удовлетворяет только один корень, для Д=0. Вот и все...
Еще раз извеняюсь.
|
Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 22 мая 2006 19:45 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: KMA написал 22 мая 2006 19:45
...и по поводу второй опечатки я не согласен. Я говорил про случай, когда Д=0, рассматривая его отдельно...
Я только лишь указал описку в строчке. Вы пишите
Такой случай возможен только при дискрименанте равном единице.
а рассматриваете D=0...
Понимаю, что лишний раз цепляюсь к словам, но все же... 
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 22 мая 2006 20:00 | IP
|
|
KMA
Долгожитель
|
Простите, действительно тупость написал... Блин, мысли вперед бегут, чем руки печатают. Конечно, вы абсолютно правы.
|
Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 23 мая 2006 11:40 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Помогите решить такую задачу: определить коэфициенты
m и n из уравнения X^4 - 10X^3 + 37X^2 + mX + n=0, если известно, что уравнение имеет две пары одинаковых корней.
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 7 июня 2006 4:00 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
m=-60
n=36
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 7 июня 2006 4:53 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
Цитата: Guest написал 7 июня 2006 4:00
Помогите решить такую задачу: определить коэфициенты
m и n из уравнения X^4 - 10X^3 + 37X^2 + mX + n=0, если известно, что уравнение имеет две пары одинаковых корней.
Guest, если интересует само решение, то у меня получилось такое решение: сначала представить уравнение с помощью неопределённых коэффициентов в виде произведения двух уравнений второй степени, каждое из которых пусть имеет один кратный корень; затем раскрыть скобки и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях Х:
Q(X)=X^4--10X^3+37X^2+mX + n=(X^2+A*X+B)*(X^2+C*X+D)=
=X^4+(A+C)*X^3+(AC+B+D)*X^2+(AD+BC)*X+BD=0 =>
A+C=-10,
=> AC+B+D=37,
AD+BC=m,
BD=n.
Так как уравнение Q(X), по условию, имеет два кратных корня, то, следовательно, уравнения (X^2+A*X+B)=0 и (X^2+C*X+D)=0 имеют дискриминанты, равные нулю:
D1=A^2--4B=0, => B=A^2/4,
D2=C^2--4D=0. => D=С^2/4.
В результате получим систему двух уравнений:
A+C=-10, A+C=-10, A+C=-10,
AC+A^2/4+C^2/4=37; A^2+4AC+C^2=148; (A+C)^2+2AC=148;
A+C=-10, A=-(C+10), A1=-6 и C1=-4,
AC=24; C^2+10C+24=0; A1=-4 и C2=-6.
Далее подставляем найденные значения А и С в B=A^2/4 и соответственно в D=С^2/4 (при этом можно взять любую пару значений А и С): B=36/4=9 и D=16/4=4.
Теперь подставим значения A, B, C и D в AD+BC=m и BD=n:
m=(-6)*4+9*(-4)=-60 и n=9*6=36.
(Сообщение отредактировал attention 7 июня 2006 18:21)
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 7 июня 2006 19:13 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Решите пожалeйста систему! Очень срочно!
24cosx^2+11cosy^2=10a-17,
33cosx^2+8cosy^2=28a-59,
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 8 июня 2006 0:10 | IP
|
|
|
Форум
Алгебраические уравнения
