Смотрите также решения задач по теме «Плоская система сил» в онлайн решебниках Яблонского и Мещерского.
§ 10. Момент пары сил. Сложение пар сил. Равновесие пар сил
При изучении теоретической механики необходимо совершенно отчетливо уяснить, что в статике рассматриваются два простейших элемента: сила и пара сил. Любые две силы, кроме сил, образующих пару, всегда можно заменить одной – сложить их (найти равнодействующую). Пара сил не поддается дальнейшему упрощению, она не имеет равнодействующей и является простейшим элементом.
Действие пары сил на тело характеризуется ее моментом – произведением одной из сил пары на ее плечо (на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, образующих пару).
Единицей момента пары сил в Международной системе служит 1 Н*м (ньютон-метр = 1 Н * 1 м), а в системе МКГСС (технической) – 1 кГ*м.
Несколько пар сил, действующих на тело в одной плоскости, можно заменить одной парой сил (равнодействующей парой), момент которой равен алгебраической сумме моментов данных пар:
Mрав = ∑ Mi.
При равновесии пар сил:
∑ Mi = 0.
Если пары сил действуют в одной плоскости, то при решении задач достаточно рассматривать моменты пар как алгебраические величины. Причем знак момента определяется в зависимости от направления вращающего действия пары сил.
Дальнейшее изложение основано на правиле, принятом в учебнике Е. М. Никитина (§ 20), т. е. считается момент положительным, если пара сил действует против хода часовой стрелки, если же пара сил действует на тело по ходу часовой стрелки, то момент считается отрицательным.
В том случае когда пары сил действуют на тело будучи расположенными в различных плоскостях, гораздо удобнее рассматривать пару сил как вектор, направленный перпендикулярно к плоскости действия пары сил (рис. 62). Направление вектора в зависимости от направления вращательного действия пары определяется по направлению движения винта с правой нарезкой.
Момент силы относительно точки (Е. М. Никитин, § 21) при решении задач по статике, а затем и по динамике имеет не менее важное значение, чем проекции сил. Поэтому нужно уметь определять эту величину безошибочно. Обычно его числовое значение находят неправильно из-за ошибок, допускаемых при определении плеча.
Чтобы не допускать ошибок при определении моментов сил относительно точки, рекомендуется придерживаться следующего порядка:
1. Прежде всего нужно научиться «видеть» силу, момент которой определяем, и центр моментов – точку, относительно которой определяем момент (рис. 70 – сила Р и центр моментов – точка В).
2. Затем из центра момента проводим прямую Bb перпендикулярно к линии действия силы DF. Длина перпендикуляра ВС от центра момента до линии действия силы и есть плечо.
3. Потом находим знак момента. При этом если сила стремится повернуть плечо вокруг центра момента против хода часовой стрелки, то считаем момент положительным; если по ходу часовой стрелки, то отрицательным (то же правило, что и при определении знака момента пары сил).
4. Находим числовое значение момента силы относительно точки, умножив модуль силы на плечо.
По рис. 70: MB(P) = +P * BC.
В частном случае момент силы может равняться нулю. Это происходит тогда, когда центр моментов лежит на линии действия силы, при этом плечо равняется пулю. По рис. 70 момент силы Р относительно точки А (или С) равен нулю.
§ 12. Определение равнодействующей произвольной плоской системы сил
Произвольную плоскую систему сил можно заменить одной силой – главным вектором – и одной парой сил, момент которой называется главным моментом (Е. М. Никитин, § 25).
Замену любой плоской системы сил главным вектором и главным моментом необходимо рассматривать как предварительную операцию перед определением равнодействующей силы или равнодействующего момента (пары сил), если система не имеет равнодействующей.
Главный вектор по модулю и направлению соответствует геометрической сумме всех данных сил и приложен в произвольно выбранной точке – в центре приведения. Главный момент равен алгебраической сумме моментов всех данных сил относительно точки, в которой приложен главный вектор.
Задачу определения главного вектора и главного момента можно решать как графическим методом, так и аналитическим. Графический метод здесь не рассматривается, а аналитически решение задачи выполняется так:
1) модуль главного вектора: Rгл = sqrt(Xгл2 + Yгл2),
где проекция главного вектора на ось х: Xгл = ∑ Xi и проекция главного вектора на ось у: Yгл = ∑ Yi;
2) направление главного вектора, т. е. углы φx или φy, образуемые Rгл с осями координат, можно определить при помощи тригонометрических соотношений (см. § 4, п. 7);
3) знак и числовое значение главного момента определяются по формуле
Mгл = ∑ M0(Pi),
где M0(Pi) – моменты последовательно всех сил относительно одной и той же точки – точки, выбранной для приложения главного вектора – центра приведения.
В частном случае, как это показано в задачах 60 и 61, плоскую систему сил можно привести либо только к одной силе – равнодействующей, либо только к одной паре сил – равнодействующему моменту.
Замена главного вектора Rгл и главного момента Mгл равнодействующей R (Е. М. Никитин, § 27) представляет операцию, обратную приведению силы к точке. Приводя силу к любой точке, не расположенной по линии ее действия, получаем силу и пару (Е. М. Никитин, § 25). Теперь необходимо от силы и пары перейти к одной эквивалентной им силе.
На рис. 74 условно показана последовательность операции замены главных вектора и момента – равнодействующей:
1) на рис. 74, а изображены найденные Rгл и Mгл некоторой плоской системы сил;
2) на рис. 74, б главный момент Mгл представлен в виде пары (R1, R) (причем, R=R1=Rгл), расположенной так, что одна из сил R1 пары уравновешивает главный
вектор Rгл;
3) уравновешенную систему сил можно убрать и вместо Rгл и Mгл останется одна сила R – равнодействующая данной системы сил (рис. 74, в).
Таким образом, если плоская система сил приводится к главному вектору и главному моменту, то ее равнодействующая R численно и по направлению соответствует главному вектору: R=Rгл.
Но линия действия равнодействующей ВС расположена от центра приведения О на расстоянии
l = OA = Mгл/R = (∑ M0(Pi))/R.
Из формулы, определяющей расстояние от центра приведения до линии действия равнодействующей,
OA = (∑ M0(Pi))/R
(см. § 12 и рис. 74) можно вывести уравнение, выражающее теорему Вариньона для произвольной плоской системы сил:
R * OA = ∑ M0(Pi):
момент равнодействующей относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно той же точки.
Теорема Вариньона находит широкое применение при решении задач по статике, в частности во всех тех задачах, где рассматривается равновесие рычага (задачи с 70 по 74).
При помощи теоремы Вариньона очень просто определяется равнодействующая какого угодно числа параллельных сил Р1, Р2, Р3, ..., Рi (рис. 80).
Известно, что модуль равнодействующей любой плоской системы сил равен модулю главного вектора:
R = Rгл = sqrt(XR2 + YR2).
Но если в данном случае расположить оси проекций так, как показано на рис. 80, одну ось – перпендикулярно к силам, а другую – параллельно им, то
XR = ∑ Xi = 0
и
R = |YR| = |∑ Yi|.
Таким образом, модуль равнодействующей, параллельной системы сил равен абсолютному значению алгебраической суммы проекций сил на ось, параллельную этим силам.
Так как XR=0, то вектор равнодействующей R направлен параллельно составляющим силам. Сторона, в какую направлен R, определяется по знаку ∑ Yi. Если у алгебраической суммы проекций получается знак «плюс», то равнодействующая направлена в сторону положительного направления оси; если получается знак «минус», то равнодействующая направлена противоположно положительному направлению оси.
Определив модуль и направление равнодействующей, по теореме Вариньона находим расстояние OA, на котором расположена KL – линия действия R от произвольно выбранного центра моментов O.
Задачи, приведенные ниже, решаются при помощи так называемого условия равновесия рычага, непосредственно вытекающего из теоремы Вариньона (Е. М. Никитин, § 28).
Рычагом можно назвать любое тело, поворачивающееся либо вокруг закрепленной оси, либо около линии контакта, образующейся при свободном опирании на другое тело.
Находясь под действием сил, рычаг уравновешен лишь в том случае, если линия действия равнодействующей пересекает ось или линию опоры. Причем если опорой рычага АВ служат закрепленная ось (неподвижный шарнир), то линия действия равнодействующей может быть направлена к рычагу под любым углом α (рис. 85, а). Если же рычаг АВ свободно опирается на идеально гладкую опору (рис. 85, б), то линия действия равнодействующей должна быть перпендикулярна к опорной поверхности.
В любом из этих случаев равновесие возникает потому, что система сил, действующих на рычаг, уравновешивается реакцией опоры Rур, численно равной равнодействующей. А так как момент равнодействующей относительно опоры равен нулю, то из выражения теоремы Вариньона следует уравнение
∑ Mоп(Pi) = 0,
выражающее условие равновесия рычага.
Задача на равновесие произвольной плоской системы сил решается по той же общей схеме, которая приведена в § 8. Придерживаясь этой схемы, необходимо учитывать следующее.
Как известно, любую плоскую систему сил можно привести к главному вектору Rгл и главному моменту Мгл (Е. М. Никитин, § 25).
Если же система сил уравновешена (тело, находящееся под действием такой системы сил, либо неподвижно, либо равномерно вращается около неподвижной оси, либо находится в равномерном и прямолинейном поступательном движении), то Rгл=0 и Mгл=0 (Е. М. Никитин, § 29). Эти равенства выражают два необходимых и достаточных условия равновесия любой системы сил.
Для произвольной плоской системы сил из этих двух условий непосредственно получаем три уравнения равновесия:
∑ Xi = 0;
(1) ∑ Yi = 0;
∑ M0(Pi) = 0.
Первое и второе выражения – уравнения проекций – образуются из условия Rгл=0; третье выражение – уравнение моментов – из условия Mгл=0.
Если на тело действует система параллельных сил, то уравнений равновесия получится только два: уравнение проекций на ось, параллельную силам, и уравнение моментов
(2) ∑ Yi = 0;
∑ M0(Pi) = 0.
При решении некоторых задач одно или оба уравнения проекций целесообразно заменить уравнениями моментов относительно каких-либо точек, т. е. систему уравнений равновесия можно представить в таком виде:
∑ Xi = 0;
(3) ∑ MA(Pi) = 0;
∑ MB(Pi) = 0.
или
∑ MA(Pi) = 0;
(4) ∑ MB(Pi) = 0;
∑ MC(Pi) = 0.
В первом случае линия, проходящая через точки А и В, не перпендикулярна к оси х. Во втором случае центры моментов А, В и С не лежат на одной прямой линии.
Для системы параллельных сил соответственно получаем два уравнения моментов:
(5) ∑ MA(Pi) = 0;
∑ MB(Pi) = 0.
В этом случае точки А и В не лежат на прямой, параллельной силам.
В задачах, решаемых при помощи уравнений равновесия, обычно рассматриваются тела, находящиеся в состоянии покоя, тогда система сил, действующих на это тело, уравновешена.
Силы, действующие на тело, делятся на две группы. Одна группа сил называется нагрузками (активные силы), вторая группа сил называется реакциями связей (пассивные силы).
Нагрузки, как правило, бывают заданы. Они имеют числовое значение, точку приложения к телу и направление их действия.
В рассматриваемых ниже задачах используются лишь три разновидности нагрузок: сосредоточенные силы, равномерно распределенные силы* и пары сил (статические моменты)**.
* К распределенным нагрузкам относятся также неравномерно распределенные нагрузки, но здесь они не рассматриваются.
** Здесь не рассматриваются случаи, когда пары сил действуют на некотором расстоянии непрерывной цепочкой моментов (распределенные моменты).
Сосредоточенными называются силы, приложенные к точке тела. Если, например, на тело действуют нагрузки Р1 или Р2, как показано на рис. 91, а, действия этих нагрузок можно считать приложенными соответственно к точкам А или В тела и на расчетных схемах изобразить так, как это выполнено на рис. 91, б.
Равномерно распределенные нагрузки, например кирпичная кладка (рис. 92, а), или собственный вес однородного тела (бруса, балки) постоянного поперечного сечения по всей его длине задается при помощи двух параметров – интенсивности q и длины l, на протяжении которой они действуют. На расчетных схемах эти нагрузки изображаются так, как показано на рис. 92, б.
Пара сил (сосредоточенный момент), например, может быть образована двумя одинаковыми грузами P, действующими на тело так, как показано на рис. 93, а. Условное изображение пары сил, действующей на тело, показано на рис. 93, б.
Очень часто в каком-либо месте тела возникает совместное действие сосредоточенной силы и момента. Пусть, например, груз Q подвешен на конце бруса, жестко заделанного другим концом в каком-либо теле (рис. 94, а). Если перенести действие силы в точку А тела (рис. 94, б), то получим в ней совместное действие сосредоточенной силы и момента.
Как правило, в задачах по статике реакции связей – искомые величины. Для каждой искомой реакции связи обычно необходимо
знать ее направление и числовое значение (модуль).
Направления реакций идеальных связей – связей без трения – определяют в зависимости от вида связи по следующим правилам.
1. При свободном опирании тела на связь реакция связи направлена от связи к телу перпендикулярно либо к поверхности тела (RA, RD; рис. 95), либо к поверхности связи (RB, RC; рис. 95), либо к общей касательной обеих поверхностей (RE рис. 95).
Во всех этих случаях связь препятствует движению тела в одном направлении – перпендикулярном к опорной поверхности.
2. Если связями являются нити, цепи, тросы (гибкая связь), то они препятствуют движению тела только будучи натянутыми. Поэтому реакции нитей, цепей, тросов всегда направлены вдоль их самих в сторону от тела к связи (T1, T2 и T3; рис. 96).
3. Если связь тела с какой-либо опорной поверхностью осуществляется при помощи подвижного шарнира (рис. 97), то его реакция направлена перпендикулярно к опорной поверхности. Таким образом, подвижный шарнир (т.е. шарнир, ось которого может передвигаться вдоль опорной поверхности) представляет собой конструктивный вариант свободного опирания.
4. Если соединение тела со связью осуществляется при помощи неподвижного шарнира (рис. 98), то определить непосредственно направление реакции нельзя, за исключением тех частных случаев, которые описаны ниже.
Шарнирное соединение препятствует поступательному перемещению тела во всех направлениях в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира. Направление реакции неподвижного шарнира может быть любым в зависимости от направления действия остальных сил. Потому сначала определяют две взаимно перпендикулярные составляющие XA и YA (или XB и YB) реакции шарнира, а затем, если нужно, по правилу параллелограмма или треугольника можно определить как модуль, так и направление полной реакции RA (или RB).
Направление реакции неподвижного шарнира непосредственно определяют в двух следующих случаях:
а) если, кроме реакции шарнира, все остальные силы (нагрузки и реакция другой связи) образуют систему параллельных сил, то реакция неподвижного шарнира также параллельна всем силам;
б) если, кроме реакции шарнира, на тело действуют еще только две непараллельные силы, то линия действия реакции неподвижного шарнира проходит через ось шарнира и точку пересечения двух других сил (задачи 47 и 48).
5. Движение тела может быть ограничено жесткой заделкой в какой-либо опоре (рис. 99). В этом случае даже одна жесткая заделка обеспечивает равновесие тела при любых нагрузках.
Так же как и неподвижный шарнир, жесткая заделка препятствует поступательному перемещению тела. Поэтому направление ее реакции заранее определить нельзя и сначала определяют составляющие Xз и Yз. Кроме того, жесткая заделка препятствует повороту тела в плоскости действия сил, поэтому, кроме силы реакции, на тело действует еще момент заделки Mз, уравновешивающий стремление нагрузок повернуть тело (вывернуть тело из заделки).
Таким образом, если опорой тела является жесткая заделка, то со стороны последней на тело действуют реакция заделки, которую можно заменить двумя взаимно перпендикулярными составляющими, и момент заделки.
6. Иногда тело удерживается в равновесии при помощи жестких стержней, шарнирно соединенных с телом и с опорами (рис. 100). В отличие от гибкой связи (см. п. 2) такие стержни могут испытывать не только растяжение, но и сжатие.
Возможны и такие случаи, когда нельзя заранее установить, какие стержни растянуты, а какие сжаты. Поэтому при составлении уравнений равновесия исходят из того, что все стержни растянуты. Если же некоторые стержни окажутся в действительности сжатыми, то в результате решения числовые значения реакций таких стержней получатся отрицательными.
Задачи, приведенные в этом параграфе, отличаются от предыдущих тем, что в них рассматривается равновесие тел, имеющих, кроме идеальных, еще и реальные связи, т. е. связи с трением (Е. М. Никитин, § 34, 35 и 36).
При свободном опирании тела на поверхность идеальной связи реакция такой связи Rи.с. (рис. 117, а) направлена перпендикулярно к ее поверхности, т. е. по нормали n к этой поверхности.
Если же тело опирается на поверхность реальной связи (в отличие от идеальных связей реальные связи условимся отмечать двойной штриховкой), то ее реакция Rр.с. (рис. 117, б) в зависимости от нагрузок, приложенных к телу, отклонится от нормали n к поверхности связи на некоторый угол φ.
Поясним это общее положение следующим примером.
Наклонный брус (рис. 118, а), вес которого G, опирается в двух точках А и В соответственно на вертикальную и горизонтальную поверхности идеальных связей. Этот брус не может находиться в равновесии, потому что три силы – вес бруса G и реакции RA и RB – расположены так, что не выполняется необходимое условие равновесия трех непараллельных сил; их линии действия не пересекаются в одной точке.
Чтобы брус, показанный на рис. 118, а, находился в равновесии, необходимо наложить еще одну связь, например, удержать брус шнуром или упереть в выступ на горизонтальной плоскости (обе возможные связи показаны пунктиром).
Теперь представим, что в точке В брус опирается не на идеально гладкую, а на шероховатую (реальную) поверхность (рис 118, б). В этом случае брус может находиться в равновесии без дополнительной связи (шнура или упорной планки). Значит три силы – вес G и реакции опор RA и RB – образуют уравновешенную систему. Равновесие трех сил, действующих на брус, возможно потому, что реакция RB реальной связи отклоняется на некоторый угол φ от нормали к поверхности связи и линии действия всех трех сил пересекаются в точке О.
Если реакцию RB реальной связи разложим на две составляющие, направленные вдоль поверхности и перпендикулярно к ней (это разложение показано на рис. 118, а справа), то получим силу NB – нормальную составляющую RB, численно равную нормальному давлению, производимому концом бруса на опору, и силу F – касательную составляющую реакции RB, которая называется силой трения.
При увеличении угла α, характеризующего наклон бруса относительно горизонтальной поверхности, угол φ уменьшается, а вместе с ним уменьшается и сила трения, но брус сохраняет равновесие.
Если же уменьшать угол α, то угол φ, характеризующий отклонение реакции RB от нормали, увеличивается, а вместе с ним увеличивается и сила трения (рис. 118, в). При некотором наклоне бруса, определенном для данной пары соприкасающихся в точке В тел (например, для деревянного бруса, опирающегося о деревянный пол), брус скользит. Это означает, что сила трения, достигая предельного значения, больше увеличиваться не может. При этом реакция отклоняется также до предельного значения φ=φ0 и при дальнейшем уменьшении угла α линия действия реакции RB уже не попадает в точку пересечения сил G и RA.
Угол φ0, соответствующий Fmax – максимальному значению силы трения, называется углом трения. Числовое значение угла трения зависит от материала соприкасающихся тел и от состояния их поверхностей.
Для случая предельного равновесия (грань между покоем и движением; § 36 в учебнике Е. М. Никитина) между силой трения и углом трения имеем такую зависимость:
Fmax / NB = tg φ0.
Постоянное для данной пары соприкасающихся тел значение tg φ0=f называется коэффициентом трения при покое. Таким образом,
Fmax = fN.
При решении задач необходимо учитывать, что сила трения направлена всегда в сторону, противоположную той, при которой точка может скользить по идеальной поверхности.
Если в число реакций связей, обеспечивающих равновесие тела, входит сила трения, то такое состояние равновесия называется самоторможением (условие самоторможения тела в общей форме изложено в конце § 36 учебника Е. М. Никитина). Во всех приведенных ниже задачах рассмотрены различные случаи самоторможения (равновесия при наличии силы трения) и условия, при которых возможно самоторможение.
Сочлененной называется система нескольких тел, соединенных друг с другом при помощи внутренних связей: простого опирания, стержней или нитей (цепей), шарниров.
При решении некоторых задач с сочлененными системами равновесие каждого тела системы рассматривают отдельно. При этом в месте сочленения тел возникают две силы, одна из которых приложена к одному телу, а другая – ко второму телу. Эти силы равны по модулю, направлены вдоль одной прямой, но в противоположные стороны (закон равенства действия и противодействия).
На рис. 126 показаны силы взаимодействия, возникающие между телами А и В: PAB – действие тела А на тело В и PBA – действие тела В на тело А. Если, например, тело А служит опорой для В (связью), то PAB – реакция связи, приложенная к телу B, а PBA – сила давления (нагрузка), приложенная к телу А.
На рис. 127 показаны силы, возникающие при взаимодействии тел A и B не непосредственно друг с другом, а через стержень. Если допустить, что тело А действует на В через стержень силой TAB, то тогда со стороны тела В возникнет сила TBA. В задачах, как правило, рассматривают только эти две силы, приложенные к телам А и В (рис. 127, а).
На рис. 127, б показаны силы, приложенные только к стержню, т. е. показаны действия на стержень тел А и В.
Если два тела А и В связаны друг с другом при помощи так называемого внутреннего шарнира (рис. 128), то направление сил взаимодействия заранее неизвестно. Поэтому каждая из сил взаимодействия между телами (силы RAB и RBA – предположительно показаны на рис. 128 штриховыми векторами) заменяются составляющими XAB, YAB и XBA, YBA. Причем для этих векторов выполняются следующие равенства:
RAB=-RBA, XAB=-XBA и YAB=-YBA.
При решении задач, в которых сочленение тел произведено при помощи промежуточного шарнира, целесообразно сначала составить уравнения равновесия для всей системы, а затем добавить к ним уравнение моментов сил относительно промежуточного шарнира для одного из тел сочлененной системы.
§ 17. Статически определимые фермы. Методы вырезания узлов и сквозного сечения
Плоская или пространственная неизменяемая конструкция, составленная из шарнирно соединенных между собой стержней, называется фермой.
На рис. 135 изображена простая плоская ферма (пример пространственной фермы приведен в § 19).
Если число узлов (шарниров) фермы n, а число стержней k то в простой плоской ферме соблюдается условие
k = 2n + 3.
Ферма называется статически определимой, если усилия во всех стержнях фермы, нагруженной в шарнирах, можно определить при помощи уравнений равновесия.
Все плоские простые фермы статически определимы.
Для определения усилий в стержнях ферм употребляются графические или аналитические методы. Рассмотрим только аналитические методы: метод вырезания узлов (задача 103) и метод сквозного сечения – метод Риттера (задача 104).
При использовании метода вырезания узлов необходимо придерживаться следующего порядка:
1) выяснить, какие нагрузки действуют на ферму, как они направлены и где приложены, а затем определить реакции связей, используя уравнения равновесия. Правильность этой части решения нужно обязательно проверить: для проверки можно использовать любое дополнительно составленное уравнение равновесия;
2) затем следует определить усилия в стержнях фермы, начиная с того узла, на который действуют не более двух неизвестных сил, так как в каждом случае на узел действует система сходящихся сил и, следовательно, для одного узла можно составить лишь два уравнения равновесия;
3) вырезав узел, необходимо заменить действие на узел отброшенной части фермы усилиями, действующими вдоль стержней, считая при этом, что все стержни растянуты, а затем составить уравнения равновесия;
4) путем перехода от узла к узлу определяют усилия во всех стержнях, один из узлов при этом остается нерассмотренным; составив уравнения равновесия для этого узла, можно проверить правильность решения задачи.
При определении усилий в стержнях ферм по методу сквозного сечения необходимо придерживаться следующего порядка:
1) прежде всего, так же как и при методе вырезания узлов, выявив все нагрузки, определить реакции опор;
2) мысленно разрезать фермы на две части таким образом, чтобы разрез проходил не более чем через три стержня, усилия в которых неизвестны*, и, отбросив одну из частей, заменить действие отброшенной части на оставшуюся усилиями, направленными вдоль стержней, предполагая при этом, что все разрезанные стержни (с неизвестными усилиями) растянуты;
3) составить три уравнения равновесия; при выборе направлений осей проекций, а также центра моментов нужно исходить из того, чтобы в каждое из уравнений по возможности входило не более одной неизвестной силы.
* При разрезании фермы через четыре и большее число стержней образуется плоская система сил с четырьмя или соответственно большим числом неизвестных. Так как для произвольной плоской системы сил можно составить только три уравнения равновесия, задачу решить нельзя.
