Ren
Долгожитель
|
     
Да, и ещё пожалуйста про деление по подробнее
|
Всего сообщений: 284 | Присоединился: октябрь 2005 | Отправлено: 27 янв. 2006 22:10 | IP
|
|
Mickey Mouse
Удален
|
Теперь про деление.
Допустим, имеем
А=(сумма по индексу n от нуля до бесконечности An*(x-x0)^n) (1)
B=(сумма по индексу n от нуля до бесконечности Bn*(x-x0)^n) (2),
при этом B0<>0.
Надо найти С=A/B.
Ищем С в виде
С=(сумма по индексу n от нуля до бесконечности Cn*(x-x0)^n) (3),
где надо найти С0, С1, С2,...Сn.
Задачу представим, как нахождение ряда С=A*(1/B), можно найти, что такая замена допустима. (хотя коэффициенты С0,...,Сn можно вычислить сразу по другим формулам, но сейчас этого делать не будем).
Тогда остается доказать, что коэффициенты ряда D=(1/B) можно определить, составив матрицу (В) из коэффициентов ряда (2), найдя обратную к ней матрицу (D)=(B)^(-1), и выписав из матрицы (D) соответствующие элементы.
Сначала найдем коэффициенты Dn по методу неопределенных коэффициентов.
Для рядов В и D выполняется следующее равенство
В*D=1 (4)
Учитывая формулу Коши (см. мой предыдущий пост) и равенство (4), получим следующую систему уравнений для коэффициентов Dn:
B0*D0=1;
B0*D1+B1*D0=0;
B0*D2+B1*D1+B2*D0=0; (5),
...................
B0*Dn+B1*Dn-1+...+Bn-1*D1+Bn*D0=0
откуда имеем рекуррентные соотношения
D0=1/B0;
D1=-B1*D0/B0;
D2=-(B1*D1+B2*D0)/B0; (6).
....................
Dn=-(B1*Dn-1+B2*Dn-2+...+Bn-1*D1+Bn*D0)/B0
Теперь переходим к матрицам.
Для (B) и (D) выполняется равенство
(B)*(D)=(E) (7),
где (E) - единичная матрица,
1 0 0 . 0 0
0 1 0 . 0 0
0 0 1 . 0 0
(E)= . . . . . . (8).
0 0 0 . 1 0
0 0 0 . 0 1
Развернув матрицы (B) (с известными элементами) и (D)=(B)^(-1) (с неизвестными элементами), подставим их в формулу (7) вместе с единичной матрицей (8). Умножая элементы соответствующих строк (B) и столбцов (D) и приравнивая сумму произведений соответствующему элементу (E), получим:
для элементов главной диагонали (D) - первое уравнение (5);
для элементов первой под главной диагонали (D) - второе уравнение (5);
....................................................................
для последнего элемента первого столбца (D) - последнее уравнение (5);
элементы диагоналей выше главной оказываются равными нулю.
Из этого следует, что некоторая матрица является обратной к матрице рассматриваемого вида, составленной для некоторого степенного ряда, только в том случае, если она того же вида, и ее элементы являются коэффициентами ряда, обратного к тому, из коэффициентов которого составлена матрица рассматриваемого вида.
Возвращаясь к поставленной задаче.
Для нахождения коэффициентов ряда-результата С следует составить матрицу (A) из коэффициентов ряда (1), составить матрицу (В) из коэффициентов ряда (2), найти матрицу (D), обратную к (B), умножить (A) на (D) и выписать из матрицы-результата элементы, равные соответствующим коэффициентам Сn.
(Сообщение отредактировал Mickey Mouse 28 янв. 2006 2:25)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 28 янв. 2006 1:07 | IP
|
|
scum
Удален
|
мне нужно найти сумму ряда 1+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)+... , n=1,2,... по методам Эйлера, Абеля, Вороного и Чезаро.
Может мне кто то в этом помочь?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 3 мая 2006 14:31 | IP
|
|
VF 
Administrator
|
scum
Думаю, книга Харди Г.Х. Расходящиеся ряды тебе поможет. Электронную версию можно найти, если к названию добавить djvu 
|
Всего сообщений: 3110 | Присоединился: май 2002 | Отправлено: 3 мая 2006 14:54 | IP
|
|
scum
Удален
|
есть у меня Харди, и в бумажном виде и djvu. Да вот только там сами методы есть, а примеров нет :-(
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 3 мая 2006 15:06 | IP
|
|
KMA
Долгожитель
|
scum это же ряд гармонический, он же всю жизнь расходящимся был, интересно, как ты собираешься искать его сумму???
|
Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 4 мая 2006 0:20 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: KMA написал 4 мая 2006 0:20
scum это же ряд гармонический, он же всю жизнь расходящимся был, интересно, как ты собираешься искать его сумму???
KMA, то что ряд расходящийся - нет сомнений. Имеется ввиду нахождение общей формулы s(n) для суммы первых n членов соответствующего ряда. Простой пример:
ряд 1+2+3+4+...+n+... расходиться, но для суммы первых n членов можно записать 1+2+3+4+...+n=n(n+1)/2
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 4 мая 2006 1:37 | IP
|
|
VF
Administrator
|
В теме, которую закрыл и уже удалил привел интересный пример. С помощью дзета-функции Римана можно внешняя ссылка удалена, что 1+2+3+ ... = -1/12 
|
Всего сообщений: 3110 | Присоединился: май 2002 | Отправлено: 4 мая 2006 6:13 | IP
|
|
scum
Удален
|
Цитата: KMA написал 4 мая 2006 0:20
scum это же ряд гармонический, он же всю жизнь расходящимся был, интересно, как ты собираешься искать его сумму???
методы которые я перечислил работают по следуюющему принципу: для последовательности (Sn) строится новая последовательность (tn). и уже по новой последовательности ищут сумму исходного ряда. Мне эти примеры на дипломную нужны. Тема: "методы суммирования расходящихся рядов"
(Сообщение отредактировал scum 4 мая 2006 10:14)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 мая 2006 10:13 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: VF написал 4 мая 2006 6:13
В теме, которую закрыл и уже удалил привел интересный пример. С помощью дзета-функции Римана можно внешняя ссылка удалена, что 1+2+3+ ... = -1/12
Забавное издевательство над расх. рядами Сразу вспоминаю, как еще в школе учительница математики на полном серьезе удтверждала, что 1-1+1-1+1-....=1/2.
S=1-1+1-1+1-1+1-...
S= 1-1+1-1+1-1+...
----------------------------
2S=1+0+0+0+0+0+...=1, следовательно S=1/2.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 4 мая 2006 13:30 | IP
|
|
|
Форум
Числовые ряды
