Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Числовые ряды
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

gvk


Модератор

Strannik
Указанный  ряд <= sum 1/(n+1), однако он действительно расходится. А что если взять  мажоранту x*Sum (e^(-n*x^2)/(n)^1/2) ? Заменяя сумму интегралом получим

Pi^(1/2)*erf(x*n^(1/2)), что сходится для любых x. Здесь erf -функция ошибок.

Всего сообщений: 830 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 4 нояб. 2005 1:28 | IP
Strannik


Новичок

Я извиняюсь за незнание, но что такое функция ошибок? И можно ли как-нибудь обойтись без замены на интеграл?

Всего сообщений: Нет | Присоединился: декабрь 2011 | Отправлено: 4 нояб. 2005 10:08 | IP
dm


Удален

http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 нояб. 2005 17:04 | IP
gvk


Модератор

The error function:
erf(x) = 2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x).
Chto kasaetsya zameny, to eto standartnyi sposob. Smotrite  Whittaker, Watson, Modern Analisis.

Всего сообщений: 830 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 4 нояб. 2005 17:07 | IP
Strannik


Новичок

Нашёл тут такую задачку: надо доказать, что если из ряда Sum{n=1,oo}1/n выбросить все слагаемые, с номерами, содержащими цифру 9, то получится сходящийся ряд, причём сумма его будет < 20. Что-то в голову решение не приходит...

Всего сообщений: Нет | Присоединился: декабрь 2011 | Отправлено: 13 дек. 2005 23:48 | IP
Genrih


Удален

Эта задача уже звучала здесь-Задачка про гармонический ряд и здесь-Гармонический ряд без девятки в записи


(Сообщение отредактировал Genrih 14 дек. 2005 17:17)

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 дек. 2005 18:04 | IP
Strannik


Новичок

До первой части я и сам додумался:
Вот решение:
Ряд, описанный в условии, выглядит следующим образом:
SUM{n_0=1;8}(1/n_0) + SUM{n_0=1;8}(SUM{n_1=0;8}(1/(10n_0+n_1)))+ SUM{n_0=1;8}(SUM{n_1=0;8}SUM{n_2=0;8}(1/(100n_0+10n_1+n_2))))+...

SUM{n_1=0;8}(1/(10n_0+n_1))<0.9*1/n_0
SUM{n_2=0;8}(1/(100n_0+10n_1+n_2))<0.9*(1/(10n_0+n_1)) => SUM{n_1=1;8}SUM{n_2=0;8}(1/(100n_0+10n_1+n_2)))<0.9*0.9 * 1/n_0?

Таким образом, исходный ряд < SUM{n_0=1;8}(1/n_0) * (1+0.9+0.9^2+...)=SUM{n_0=1;8}(1/n_0) * 10 < 28

А как справится с оценкой 20?


(Сообщение отредактировал Strannik 14 дек. 2005 23:14)


(Сообщение отредактировал Strannik 14 дек. 2005 23:33)

Всего сообщений: Нет | Присоединился: декабрь 2011 | Отправлено: 14 дек. 2005 22:57 | IP
Mickey Mouse


Удален

Уважаемые участники математического форума!

Скажите пожалуйста свое мнение по следующему вопросу.

Я нашел общий метод осуществления алгебраических действий со степенными рядами (алгебраическое суммирование, умножение и деление рядов). Для этого нужно из коэффициентов С каждого ряда вида

(сумма по индексу n от нуля до бесконечности Cn*(x-x0)^n)      (1)

составить матрицу вида

C0     0      0      .    0     0
C1     C0     0      .    0     0
C2     C1     C0     .    0     0                              (2)
.      .      .      .    .     .  
Cn-1   Cn-2   Cn-3   .    C0    0
Cn     Cn-1   Cn-2   .    C1   С0

, затем произвести необходимые действия над этими матрицами, после чего выписать из матрицы-результата значения коэффициентов ряда-результата, которые будут расположены в матрице-результате на тех же местах, что и коэффициенты ряда (1) в матрице (2).

P.S (2 Genrih) Ряд бесконечный, но мы рассматриваем наперед заданное конечное число членов, для которых строим матрицы

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 27 янв. 2006 19:39 | IP
Genrih


Удален


Цитата: Mickey Mouse написал 27 янв. 2006 18:39

P.S (2 Genrih) Ряд бесконечный, но мы рассматриваем наперед заданное конечное число членов, для которых строим матрицы


Если взять сумму до N, то  при перемножении этих сумм, мы должны получить 2N+1 слагаемое, в матрице же при перемножении мы встретим лишь первые N коеффициентов.
Я веду к тому, что размер матрицы мы не увеличим, в том время как количество слагаемых в результате растет ...

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 27 янв. 2006 20:36 | IP
Mickey Mouse


Удален

Цитата:Genrih
<<Если взять сумму до N, то  при перемножении этих сумм, мы должны получить 2N+1 слагаемое, в матрице же при перемножении мы встретим лишь первые N коеффициентов.>>


Так мы рассматриваем не числовой, а функциональный(степенной) ряд для аргумента х, при этом центры сходимости х0 всех рядов, с которыми мы осуществляем операции, и ряда-результата операций должны быть одинаковыми. Допустим, имеем

А=(сумма по индексу n от нуля до бесконечности An*(x-x0)^n)      (1)
B=(сумма по индексу n от нуля до бесконечности Bn*(x-x0)^n)      (2),

надо найти С=A*B.  

Ищем С в виде
С=(сумма по индексу n от нуля до бесконечности Cn*(x-x0)^n)      (3),

где надо найти С0, С1, С2,...Сn.

Перемножили (1) и (2), привели подобные члены. Теперь приравниваем члены с одинаковыми степенями (х-х0) в произведении рядов (1) и (2) и в ряде (3).

Имеем
С0=A0*B0;
C1=A0*B1+A1*B0;
C2=A0*B2+A1*B1+A2*B0;
.....................
Cn=A0*Bn+A1*Bn-1+...+An-1*B1+An*B0,
или
Сn=(сумма по индексу i  от нуля до n Ai*Bn-i)                     (4),

выражение (4) носит название формулы Коши для перемножения степенных рядов.
В выражении (4) для коэфициента порядка n мы имеем не (2*n+1), а (n+1) слагаемых.

Если теперь для получения того же результата составить матрицы [А] и [В] размерности (n+1) из рядов (1) и (2) и перемножить их, то каждый элемент матрицы-результата С будет равен соответствующему коэффициенту ряда-результата (3), вычисленному по формуле Коши (4).

Так что потери точности не происходит.







(Сообщение отредактировал Mickey Mouse 28 янв. 2006 0:44)

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 27 янв. 2006 22:10 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com