attention 
Долгожитель
|
    
Цитата: Guest написал 19 сен. 2006 10:35
Всем спасибо за помощь!
Может подскажите ещё, как находить суммы рядов вида n^(-m), где m может принимать значения 2; 3; 4; ... k.
Насколько помню единой аналитической формулы для нахождения сумм ряда sum(n от 1 до 00){n^(-m)}, где m может принимать значения 2; 3; 4; ... k, нет. Но есть формула для нахождения сумм при m с чётными значениями (в ней испльзуются числа Бернулли). Также суммы с чётным m можно в общем виде выразить через несобственный интеграл; в книге "Избранные задачи по вещественному анализу" (автора не помню) есть пример такого ряда, суммы которого с чётным m выражены через какой-то несобственный интеграл.
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 30 сен. 2006 17:09 | IP
|
|
sms
Удален
|
Эти суммы есть значения функции Римана, когда аргумент-натуральное число. Выражаются при четных и нечетных простым казалось бы интегралом
S=1/Г(s)*int_0^00 t^(s-1)/exp(t)-1 dt
При четных выражаются, всё правильно, опять казалось бы простой формулой через числа Бернулли или Эйлера. При нечетных-тоже есть формулы здесь, но через ещё более сложные пару рядов:
внешняя ссылка удалена
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 1 окт. 2006 23:17 | IP
|
|
Kron
Новичок
|
 
Как разложить Ln(cos(x)) в ряд тейлора?
может сначала разложить LN(u)а потом за место поставить разложение u=cos(x)
|
Всего сообщений: 37 | Присоединился: октябрь 2006 | Отправлено: 14 окт. 2006 15:23 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Kron, Вы попали в яблочко наконец-то 
По задаче: а Вы можете разложить tg(x) ?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 окт. 2006 15:29 | IP
|
|
Kron
Новичок
|
=)
tn(x)=x+(x/3)+(2/15)x^3+(3/315)x^5...
А какое отношение это имеет к логарифму?=)
|
Всего сообщений: 37 | Присоединился: октябрь 2006 | Отправлено: 14 окт. 2006 17:30 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Kron написал 14 окт. 2006 15:23
Как разложить Ln(cos(x)) в ряд тейлора?
может сначала разложить LN(u)а потом за место поставить разложение u=cos(x)
Вы подразумеваете разбить в ряд Тейлора по степеням x? Можно записать ряд по степеням tg(x).
ln(cos(x))=-(1/2)*ln[1+tg^2 (x)], а дальше используя разложение
ln(1+y)=y - (y^2)/2 + (y^3)/3 - (y^4)/4 + ...,
положить y=tg^2 (x).
Но есть существенный момент:
y не может быть больше 1, иначе ряд для логарифма расходится, следовательно для pi/4<|x|<pi/2 нужно искать другое разложение.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 14 окт. 2006 18:29 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Цитата: Kron написал 14 окт. 2006 16:30
=)
tn(x)=x+(x/3)+(2/15)x^3+(3/315)x^5...
А какое отношение это имеет к логарифму?=)
А интеграл от тангенса чему равен ?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 окт. 2006 18:42 | IP
|
|
Kron
Новичок
|
Цитата: Genrih написал 14 окт. 2006 18:42
Цитата: Kron написал 14 окт. 2006 16:30
=)
tn(x)=x+(x/3)+(2/15)x^3+(3/315)x^5...
А какое отношение это имеет к логарифму?=)
А интеграл от тангенса чему равен ?
То есть вы хотите сказать что можно взять интеграл от всего разложения тангеса?
Отдельное спасибо Менту.
|
Всего сообщений: 37 | Присоединился: октябрь 2006 | Отправлено: 14 окт. 2006 20:15 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Да, в оласти равномерной сходимости ряда.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 окт. 2006 20:50 | IP
|
|
Kron
Новичок
|
Спасибо большое.
А кстати общей формулы вычисления коэффициентов перед иксом в разложении под рукой нет?
|
Всего сообщений: 37 | Присоединился: октябрь 2006 | Отправлено: 14 окт. 2006 21:01 | IP
|
|
Форум
Числовые ряды
