gvk 
Модератор
|
   
Strannik
Указанный ряд <= sum 1/(n+1), однако он действительно расходится. А что если взять мажоранту x*Sum (e^(-n*x^2)/(n)^1/2) ? Заменяя сумму интегралом получим
Pi^(1/2)*erf(x*n^(1/2)), что сходится для любых x. Здесь erf -функция ошибок.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 4 нояб. 2005 1:28 | IP
|
|
Strannik
Удален
|
Я извиняюсь за незнание, но что такое функция ошибок? И можно ли как-нибудь обойтись без замены на интеграл?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 4 нояб. 2005 10:08 | IP
|
|
|
|
gvk
Модератор
|
The error function:
erf(x) = 2/sqrt(Pi) * int(exp(-t^2), t=0..x).
Chto kasaetsya zameny, to eto standartnyi sposob. Smotrite Whittaker, Watson, Modern Analisis.
|
Всего сообщений: 835 | Присоединился: октябрь 2003 | Отправлено: 4 нояб. 2005 17:07 | IP
|
|
Strannik
Удален
|
Нашёл тут такую задачку: надо доказать, что если из ряда Sum{n=1,oo}1/n выбросить все слагаемые, с номерами, содержащими цифру 9, то получится сходящийся ряд, причём сумма его будет < 20. Что-то в голову решение не приходит...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 13 дек. 2005 23:48 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Эта задача уже звучала внешняя ссылка удалена и здесь-Гармонический ряд без девятки в записи 
(Сообщение отредактировал Genrih 14 дек. 2005 17:17)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 дек. 2005 18:04 | IP
|
|
Strannik
Удален
|
До первой части я и сам додумался:
Вот решение:
Ряд, описанный в условии, выглядит следующим образом:
SUM{n_0=1;8}(1/n_0) + SUM{n_0=1;8}(SUM{n_1=0;8}(1/(10n_0+n_1)))+ SUM{n_0=1;8}(SUM{n_1=0;8}SUM{n_2=0;8}(1/(100n_0+10n_1+n_2))))+...
SUM{n_1=0;8}(1/(10n_0+n_1))<0.9*1/n_0
SUM{n_2=0;8}(1/(100n_0+10n_1+n_2))<0.9*(1/(10n_0+n_1)) => SUM{n_1=1;8}SUM{n_2=0;8}(1/(100n_0+10n_1+n_2)))<0.9*0.9 * 1/n_0?
Таким образом, исходный ряд < SUM{n_0=1;8}(1/n_0) * (1+0.9+0.9^2+...)=SUM{n_0=1;8}(1/n_0) * 10 < 28
А как справится с оценкой 20?
(Сообщение отредактировал Strannik 14 дек. 2005 23:14)
(Сообщение отредактировал Strannik 14 дек. 2005 23:33)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 дек. 2005 22:57 | IP
|
|
Mickey Mouse
Удален
|
Уважаемые участники математического форума!
Скажите пожалуйста свое мнение по следующему вопросу.
Я нашел общий метод осуществления алгебраических действий со степенными рядами (алгебраическое суммирование, умножение и деление рядов). Для этого нужно из коэффициентов С каждого ряда вида
(сумма по индексу n от нуля до бесконечности Cn*(x-x0)^n) (1)
составить матрицу вида
C0 0 0 . 0 0
C1 C0 0 . 0 0
C2 C1 C0 . 0 0 (2)
. . . . . .
Cn-1 Cn-2 Cn-3 . C0 0
Cn Cn-1 Cn-2 . C1 С0
, затем произвести необходимые действия над этими матрицами, после чего выписать из матрицы-результата значения коэффициентов ряда-результата, которые будут расположены в матрице-результате на тех же местах, что и коэффициенты ряда (1) в матрице (2).
P.S (2 Genrih) Ряд бесконечный, но мы рассматриваем наперед заданное конечное число членов, для которых строим матрицы
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 27 янв. 2006 19:39 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Цитата: Mickey Mouse написал 27 янв. 2006 18:39
P.S (2 Genrih) Ряд бесконечный, но мы рассматриваем наперед заданное конечное число членов, для которых строим матрицы
Если взять сумму до N, то при перемножении этих сумм, мы должны получить 2N+1 слагаемое, в матрице же при перемножении мы встретим лишь первые N коеффициентов.
Я веду к тому, что размер матрицы мы не увеличим, в том время как количество слагаемых в результате растет ...
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 27 янв. 2006 20:36 | IP
|
|
Mickey Mouse
Удален
|
Цитата:Genrih
<<Если взять сумму до N, то при перемножении этих сумм, мы должны получить 2N+1 слагаемое, в матрице же при перемножении мы встретим лишь первые N коеффициентов.>>
Так мы рассматриваем не числовой, а функциональный(степенной) ряд для аргумента х, при этом центры сходимости х0 всех рядов, с которыми мы осуществляем операции, и ряда-результата операций должны быть одинаковыми. Допустим, имеем
А=(сумма по индексу n от нуля до бесконечности An*(x-x0)^n) (1)
B=(сумма по индексу n от нуля до бесконечности Bn*(x-x0)^n) (2),
надо найти С=A*B.
Ищем С в виде
С=(сумма по индексу n от нуля до бесконечности Cn*(x-x0)^n) (3),
где надо найти С0, С1, С2,...Сn.
Перемножили (1) и (2), привели подобные члены. Теперь приравниваем члены с одинаковыми степенями (х-х0) в произведении рядов (1) и (2) и в ряде (3).
Имеем
С0=A0*B0;
C1=A0*B1+A1*B0;
C2=A0*B2+A1*B1+A2*B0;
.....................
Cn=A0*Bn+A1*Bn-1+...+An-1*B1+An*B0,
или
Сn=(сумма по индексу i от нуля до n Ai*Bn-i) (4),
выражение (4) носит название формулы Коши для перемножения степенных рядов.
В выражении (4) для коэфициента порядка n мы имеем не (2*n+1), а (n+1) слагаемых.
Если теперь для получения того же результата составить матрицы [А] и [В] размерности (n+1) из рядов (1) и (2) и перемножить их, то каждый элемент матрицы-результата С будет равен соответствующему коэффициенту ряда-результата (3), вычисленному по формуле Коши (4).
Так что потери точности не происходит.
(Сообщение отредактировал Mickey Mouse 28 янв. 2006 0:44)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 27 янв. 2006 22:10 | IP
|
|
|
Форум
Числовые ряды
