RKI 
Долгожитель
|
    
deffect Задание 4
Рассмотрим функцию  = ln(1+x) )
Ряд Маклорена данной функции имеет вид:
 = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{n} }{n} )
Тогда
 = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^{2n} }{n} )
 = \frac{x}{1+x^{2} } = \frac{1}{2} [ln(1+x^{2})]' = )
^{n+1} x^{2n} }{n}]' = \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} [\frac{(-1)^{n+1} x^{2n} }{n}]' = \frac{1}{2} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} [x^{2n}]'}{n} = )
^{n+1} x^{2n-1} }{n} = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} x^{2n-1} )
 = \frac{x}{1+x^{2} } = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} x^{2n-1} )
В точке x = 0 ряд ^{n+1} x^{2n-1} ) сходится.
Далее из рассмотрения исключим точку x = 0. Тогда ряд перепишем в следующем виде:
^{n+1} x^{2n-1} = \frac{1}{x} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} x^{2n} = \frac{1}{x} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} (x^{2})^{n} )
Найдем радиус R сходимости данного ряда.
^{n+1} )
^{n+2} )
Таким образом, степенной ряд ^{n+1} (x^{2})^{n} ) сходится на интервале  \cup (0;1) )
А ряд сходится на интервале  )
Рассмотрим граничные точки x =-1 и x=1.
При x=-1 исходный ряд принимает вид ^{3n} )
При x=1 исходный ряд принимает вид ^{n+1} )
Частичные суммы данных рядов попеременно равны то 1, то 0. Следовательно, последние два ряда расходятся.
Таким образом,
 = \frac{x}{1+x^{2} } = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^{n+1} x^{2n-1}, \ \ -1 < x < 1 )
(Сообщение отредактировал RKI 30 сен. 2009 13:32)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 сен. 2009 12:55 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
deffect Задание 5
 = e^{-x^{2} } )
Разложим функцию f(x) в ряд Маклорена.
 = e^{-x^{2} } = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-x^{2})^{n} }{n!} = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n} }{n!} )
^{n} x^{2n} }{n!} = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{n!} \int x^{2n} dx = )
^{n} x^{2n+1} }{(2n+1)n!} )
 = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2n+1} }{(2n+1)n!} )
 = 0 )
 = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} (0.4)^{2n+1} }{(2n+1)n!} )
 \sim 0.4 - \frac{0.064}{3} + 0.001024 \sim 0.3796 )
 - F(0) \sim 0.3796 )
(Сообщение отредактировал RKI 30 сен. 2009 14:32)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 сен. 2009 13:54 | IP
|
|
deffect
Новичок
|
Благодарю RKI
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 30 сен. 2009 16:25 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
Задание 2.5.3
^n n} {n + 5} } .)
RKI, признак Даламбера не применим для знакопеременных рядов.
Данный ряд расходится как условно так и абсолютно, т.к. не выполняется необходимый признак сходимости: абсолютный общий член ряда не стремится к нулю, т.е.
^n n}{n + 5} } \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n} {n + 5} = \mathop{\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{1 + 5/n} = 1.)
(Сообщение отредактировал attention 30 сен. 2009 21:03)
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 30 сен. 2009 22:01 | IP
|
|
Black_Star
Участник
|
 
Заранее прошу прощение что не в ту тему. Просто не смог найти куда это можно отнести.
Такие два задания. задание - развить в ряд Тейлора
1) при 
2)
|
Всего сообщений: 109 | Присоединился: ноябрь 2007 | Отправлено: 30 сен. 2009 22:32 | IP
|
|
temegve
Новичок
|
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить:
Задание 1.
Найти первых три, отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд интеграла y=f(x) дифференциального уравнения, удовлетворяющие заданному начальному условию.
Задание 2.
Доказать равномерную сходимость/мажорируемость/ функциональных рядов.
(Сообщение отредактировал temegve 19 окт. 2009 17:16)
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 2 окт. 2009 21:11 | IP
|
|
deffect
Новичок
|
Ребят еще 2 часть моей контроьной помогите любые решить плиииз!
    
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 4 окт. 2009 18:12 | IP
|
|
valer210
Новичок
|
Помогите пожалуйста найти сумму 2 рядов
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 4 окт. 2009 18:14 | IP
|
|
DEVOLIK
Новичок
|
помогите решить
найти область сходности степеневого ряда
(Сообщение отредактировал DEVOLIK 10 окт. 2009 20:48)
(Сообщение отредактировал DEVOLIK 10 окт. 2009 20:50)
|
Всего сообщений: 2 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 10 окт. 2009 20:31 | IP
|
|
KrisRu
Новичок
|
Помогите решить!!!
|
Всего сообщений: 14 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 17 окт. 2009 18:36 | IP
|
|
Форум
2.1.17 Вопросы сходимости рядов
