Форум - 2.1.17 Вопросы сходимости рядов [11]

Форум	» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация \| Профиль \| Войти \| Забытый пароль \| Присутствующие \| Справка \| Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация

	Форум Математика 2.1.17 Вопросы сходимости рядов
	Отметить все сообщения как прочитанные [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>

Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise

Light

Новичок
Здравствуйте, будьте так добры, помогите пожалуйста доказать сходимость или расходимость ряда (использовав два разных признака):

Заранее премного благодарна!

Всего сообщений: 23 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 26 окт. 2009 0:44 | IP

Fenja544

Новичок
1. Исследовать сходимость числового ряда:
беск.
СУММ n3 / (2n)!
n=1
2. Найти область сходимости степенного ряда:
беск.
СУММ ((x-2)^n)/ n*(n+1)
n=1

3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию разложить в степенной ряд, который затем почленно проинтегрировать:
0,5
int x*ln(1+x^2)dx
0

Всего сообщений: 40 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 2 нояб. 2009 19:17 | IP

Rabbit

Новичок
Помогите, пожалуйста, исследовать на сходимоть ряд, а то что то у меня не выходит.

Всего сообщений: 4 | Присоединился: ноябрь 2009 | Отправлено: 3 нояб. 2009 14:33 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Rabbit написал 3 нояб. 2009 14:33
Помогите, пожалуйста, исследовать на сходимоть ряд, а то что то у меня не выходит.

$\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{2^{n}(2n-1)}$

Найдем радиус R сходимости данного степенного ряда.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n}(2n-1)}$

$a_{n+1} = \frac{1}{2^{n+1}(2(n+1) - 1)} = \frac{1}{2^{n+1}(2n+1)}$

$R = \lim\limits_{n \to \infty} |\frac{a_{n} }{a_{n+1} }| = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}(2n+1)}{2^{n}(2n-1)} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{4n+2}{2n-1} =$
$= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n(4+\frac{2}{n})}{n(2-\frac{1}{n})} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{4+\frac{2}{n} }{2-\frac{1}{n} } = \frac{4+0}{2-0} = 2$

$R = 2$

$|x-2| < R$
$|x-2| < 2$
$-2 < x-2 < 2$
$0 < x < 4$

Таким образом, исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{2^{n}(2n-1)}$ сходится на интервале $(0; 4)$ .

Рассмотрим граничные точки x = 0 и x = 4.

При x = 4 исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{2^{n}(2n-1)}$ принимает вид $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2n-1}.$
Это гармонический ряд, который является расходящимся.

Таким образом, в точке x = 4 исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{2^{n}(2n-1)}$ расходится.

При x = 0 исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{2^{n}(2n-1)}$ принимает вид $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{2n-1}.$

$c_{n} = \frac{1}{2n-1}$

$c_{n+1} = \frac{1}{2n+1}$

$2n + 1 > 2n - 1 \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{1}{2n+1} < \frac{1}{2n - 1} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ c_{n+1} < c_{n}$

$\lim\limits_{n \to \infty} c_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2n-1} = 0$

По теореме Лейбница ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{2n-1}$ сходится.

Следовательно, в точке x=0 исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{2^{n}(2n-1)}$ сходится.

Таким образом, исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{2^{n}(2n-1)}$ сходится на интервале $[0; 4).$

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 нояб. 2009 22:16 | IP

Rabbit

Новичок
Огромно спасибо, была б возможность поцеловала б

Всего сообщений: 4 | Присоединился: ноябрь 2009 | Отправлено: 4 нояб. 2009 11:20 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Fenja544 написал 2 нояб. 2009 19:17

2. Найти область сходимости степенного ряда:
беск.
СУММ ((x-2)^n)/ n*(n+1)
n=1

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{n(n+1)}$

Найдем радиус R сходимости данного степенного ряда.

$a_{n} = \frac{1}{n(n+1)}$

$a_{n+1} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}$

$R = \lim\limits_{n \to \infty} |\frac{a_{n} }{a_{n+1} }| = \lim\limits_{n \to \infty} |\frac{(n+1)(n+2)}{n(n+1)}| =$

$= \lim\limits_{n \to \infty} |\frac{n+2}{n}| = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n+2}{n} = \lim\limits_{n \to \infty} (1 + \frac{2}{n}) = 1 + 0 = 1$

$R = 1$

$|x - 2| < R$

$|x - 2| < 1$

$-1 < x - 2 < 1$

$1 < x < 3$

Таким образом, исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{n(n+1)}$ сходится на интервале $(1; 3).$

Рассмотрим граничные точки x = 1 и x = 3.

При x = 3 исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{n(n+1)}$ принимает вид $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(n+1)}.$
Данный ряд является сходящимся.
Следовательно, в точке x = 3 исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{n(n+1)}$ сходится.

При x = 1 исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{n(n+1)}$ принимает вид $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{n(n+1)}.$

$c_{n} = \frac{1}{n(n+1)}$

$n < n+2, n+1 > 0 \ \ \Rightarrow \ \ n(n+1) < (n+1)(n+2) \ \ \Rightarrow \ \ \frac{1}{n(n+1)} > \frac{1}{(n+1)(n+2)} \ \ \Rightarrow \ \ c_{n} > c_{n+1}$

$\lim\limits_{n \to \infty} c_{n} = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n(n+1)} = 0$

По теореме Лейбница ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{n(n+1)}$ сходится.

Следовательно, исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{n(n+1)}$ сходится в точке x = 1.

Значит, исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x-2)^{n} }{n(n+1)}$ сходится на отрезке $[1; 3].$

(Сообщение отредактировал RKI 5 нояб. 2009 11:28)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2009 11:27 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Fenja544 написал 2 нояб. 2009 19:17

3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. Для этого подынтегральную функцию разложить в степенной ряд, который затем почленно проинтегрировать:
0,5
int x*ln(1+x^2)dx
0

$ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^{n} }{n}$

$ln(1 + x^{2}) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^{2n} }{n}$

$xln(1 + x^{2}) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+1} }{n}$

$\int xln(1 + x^{2}) dx = \int\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+1} }{n} dx =$

$= \sum_{n=1}^{+\infty} \int\frac{(-1)^{n+1}x^{2n+1} }{n} dx = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1} }{n} \int x^{2n+1} dx =$

$= \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+2} }{n(2n+2)}$

$F(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}x^{2n+2} }{n(2n+2)}$

$F(0) = 0$

$F(0.5) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}(0.5)^{2n+2} }{n(2n+2)} = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}(0.25)^{n+1} }{2n(n+1)} = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-0.25)^{n+1} }{2n(n+1)}$

$\int\limits_{0}^{0.5} xln(1 + x^{2})dx = F(0.5) - F(0) = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-0.25)^{n+1} }{2n(n+1)}$

Возьмем сначала один член ряда.

$\int\limits_{0}^{0.5} xln(1 + x^{2})dx \sim 0.015625$

Возьмем два члена ряда.

$\int\limits_{0}^{0.5} xln(1 + x^{2})dx \sim 0.015625 - 0.001302 = 0.014323$

Возьмем три члена ряда.

$\int\limits_{0}^{0.5} xln(1 + x^{2})dx \sim 0.015625 - 0.001302 + 0.000163 = 0.014486$

Возьмем четыре члена ряда.

$\int\limits_{0}^{0.5} xln(1 + x^{2})dx \sim 0.015625 - 0.001302 + 0.000163 - 0.000024 = 0.014462$

Нас интересует точность 0,001, то есть до третьего знака после запятой.
Далее будут всё меньшие и меньшие члены ряда. Следовательно,

$\int\limits_{0}^{0.5} xln(1 + x^{2})dx \sim 0.014$

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2009 13:13 | IP

RKI

Долгожитель

Цитата: Fenja544 написал 2 нояб. 2009 19:17

1. Исследовать сходимость числового ряда:
беск.
СУММ n3 / (2n)!
n=1

В числителе 3n или n^3 или что-то еще?

Огромная просьба. Удалите все дублирующие сообщения с задачами, так как одну и ту же задачу могут решать два отвечающих в разных темах. Заранее спасибо.

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2009 13:16 | IP

Fenja544

Новичок
n^3

Помогите решить!это последнее!
Исследовать сходимость числового ряда:
беск.
СУММ n^3 / (2n)!
n=1

(Сообщение отредактировал attention 26 фев. 2010 23:37)

Всего сообщений: 40 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 5 нояб. 2009 13:44 | IP

attention

Долгожитель

Цитата: Fenja544 написал 7 нояб. 2009 14:01
Помогите решить!это последнее!
Исследовать сходимость числового ряда:
беск.
СУММ n^3 / (2n)!
n=1

Воспользуйтесь признаком Даламбера:

Следовательно, согласно признаку Даламбера исходный ряд сходится.

Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 7 нояб. 2009 19:53 | IP

Отправка ответа:

Имя пользователя Вы зарегистрировались?
Пароль Забыли пароль?
Сообщение
Использование HTML запрещено
Использование IkonCode разрешено
Смайлики разрешены

Опции отправки
Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да Нет

Переход к теме
<< Назад Вперед >> Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ]