Форум - 2.1.17 Вопросы сходимости рядов [9]

Форум	» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация \| Профиль \| Войти \| Забытый пароль \| Присутствующие \| Справка \| Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация

	Форум Математика 2.1.17 Вопросы сходимости рядов
	Отметить все сообщения как прочитанные [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>

Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise

ProstoVasya

Долгожитель
KrisRu
1) При x<0 ряд расходится. При не отрицательных х остаток ряда допускает равномерную оценку. Следовательно, ряд равномерно сходится при x>=0.
2) Примените признак Дирихле.
3) Примените признак Абеля.
Исследование сходимости во всех оставшихся задачах проводится одинаково. На вторых множествах Е_2 сходимость равномерная, т.к. эти ряды мажорируются числовыми сходящимися рядами.
На первых промежутках Е_1 равномерной сходимости нет из-за точки 0, т.к. любой остаток этих рядов при х->0 не может быть сколь угодно малым.

Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 24 сен. 2009 23:22 | IP

KrisRu

Новичок
спасибо, хоть я сделала уже сама, проверка не помешает никогда...

Всего сообщений: 14 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 25 сен. 2009 0:10 | IP

KrisRu

Новичок
Сходмость у меня что-то не идет, помогите разобраться хоть с частью примеров...

Всего сообщений: 14 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 27 сен. 2009 22:03 | IP

attention

Долгожитель
Для KrisRu
5)

В граничных точках интервала сходимости ряд сходится:

- при x=-1, по теореме Лейбница:

- при x=1 сравниваем ряд с рядом обратных квадратов, который сходится согласно интегральному признаку Коши.

Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 28 сен. 2009 17:56 | IP

attention

Долгожитель

Цитата: KrisRu написал 27 сен. 2009 21:03
Сходмость у меня что-то не идет, помогите разобраться хоть с частью примеров...

7. Определить радиус и интервал сходимости и исследовать поведение в граничных точках интервала сходимости следующего степенного ряда:

Представим ряд в виде суммы двух рядов, т.к.

То есть имеем:

Обозначим общие члены рядов в правой части равенства:

и

Тогда исходный ряд сходится, если сходятся ряды с общими членами и , и расходится, если расходится хотя бы один из рядов с общим членом или ; а интервалом сходимости исходного ряда будет тот интервал, который является пересечением интервалов сходимости рядов с общими членами и .

Теперь найдем радиусы и интервалы сходимости рядов с общими членами и :

1)

2)

Следовательно, исходный ряд имеет такие радиус и интервал сходимости:

Так как ряд с общим членом заведомо сходится при

,

то, следовательно, чтобы выяснить поведение исходного ряда в граничных точках интервала сходимости, надо выяснить поведение ряда с общим членом в этих точках интервала сходимости. Но в граничных точках ряд с общим членом равен гармоническому ряду:

,

который, как известно, расходится.

(Сообщение отредактировал attention 28 сен. 2009 20:21)

Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 28 сен. 2009 20:49 | IP

deffect

Новичок
помогите пожалуйсто решить контрольную, пары посещаю ничего не понимаю((((в понедельник уже сдавать а у меня ничего не решено
часть1

Всего сообщений: 4 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 29 сен. 2009 15:41 | IP

RKI

Долгожитель
deffect Задание 2. 5.1.

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{n\sqrt[3]{n} }$

Данный ряд является знакопеременным. Члены данного ряда имеют вид:

$c_{n} = \frac{1}{n\sqrt[3]{n} }$

$n+1 > n$

Кубический корень является возрастающей функцией. Следовательно,

$\sqrt[3]{n+1} > \sqrt[3]{n}$

$(n+1)\sqrt[3]{n+1} > n\sqrt[3]{n} \ \ \Rightarrow \ \ \frac{1}{(n+1)\sqrt[3]{n+1} } < \frac{1}{n\sqrt[3]{n} } \ \ \Rightarrow \ \ c_{n+1} < c_{n}$

$\lim\limits_{n \to +\infty} c_{n} = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n\sqrt[3]{n} } = 0$

По теореме Лейбница исходный ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{n\sqrt[3]{n} }$ сходится

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{|(-1)^{n}|}{|n\sqrt[3]{n}|} = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n\sqrt[3]{n} }$

$a_{n} = \frac{1}{n\sqrt[3]{n} }$

$f(x) = \frac{1}{x\sqrt[3]{x} }, x \ge 1$

$f(n) = a_{n}$

Функция f(x) является непрерывной, положительной и монотонно убывающей на заданной области определения.

$F(x) = \int f(x)dx = \int \frac{dx}{x\sqrt[3]{x} } = - \frac{3}{\sqrt[3]{x} }$

$\lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} - \frac{3}{\sqrt[3]{x} } = 0$

По интегральному признаку Маклорена-Коши ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n\sqrt[3]{n} }$ сходится.

Следовательно, исходный ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{n\sqrt[3]{n} }$ является абсолютно сходящимся

(Сообщение отредактировал RKI 30 сен. 2009 10:57)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 сен. 2009 10:44 | IP

RKI

Долгожитель
deffect Задание 2. 5.3

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} n}{n+5}$

Данный ряд является знакопеременным. Члены данного ряда имеют вид (учитывая знак):

$c_{n} = \frac{(-1)^{n} n}{n+5}$

$c_{n+1} = \frac{(-1)^{n+1} (n+1)}{n+6}$

$D = \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{c_{n+1} }{c_{n} } = - \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{(n+1)(n+5)}{n(n+6)} =$

$= - \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{(1+\frac{1}{n})(1 + \frac{5}{n})}{1 + \frac{6}{n} } = - \frac{(1+0)(1+0)}{1+0} = - 1 < 1$

По признаку Даламбера исходный ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} n}{n+5}$ сходится

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{|(-1)^{n} n|}{|n+5|} = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n+5}$

$a_{n} = \frac{n}{n+5}$

$\lim\limits_{n \to +\infty} a_{n} = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n}{n+5} = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{1 + \frac{5}{n} } = \frac{1}{1+0} = 1$

Следовательно, нарушается необходимое условие сходимости ряда. Следовательно ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{n+5}$ заведомо расходится.

Это означает, что исходный ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} n}{n+5}$ абсолютно не сходится

(Сообщение отредактировал RKI 30 сен. 2009 11:20)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 сен. 2009 11:12 | IP

RKI

Долгожитель
deffect Задание 3. 5.1

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n+4} }{(n-2)!} = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n} x^{4} }{(n-2)!} = x^{4} \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n} }{(n-2)!}$

Найдем радиус R сходимости исходного степенного ряда.

$a_{n} = \frac{1}{(n-2)!}$

$a_{n+1} \frac{1}{(n-1)!}$

$R = \lim\limits_{n \to +\infty} |\frac{a_{n} }{a_{n+1} }| = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{(n-1)!}{(n-2)!} = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{(n-1)(n-2)!}{(n-2)!} =$

$= \lim\limits_{n \to +\infty} (n-1) = +\infty$

Следовательно, исходный ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{x^{n+4} }{(n-2)!}$ сходится на всей числовой оси

(Сообщение отредактировал RKI 30 сен. 2009 11:50)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 сен. 2009 11:48 | IP

RKI

Долгожитель
deffect Задание 3. 5.2

$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x+2)^{n} }{n+1}$

Найдем радиус R сходимости степенного ряда.

$a_{n} = \frac{1}{n+1}$

$a_{n+1} = \frac{1}{n+2}$

$R = \lim\limits_{n \to +\infty} |\frac{a_{n} }{a_{n+1} }| = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{n+2}{n+1} =$

$= \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1 + \frac{2}{n} }{1 + \frac{1}{n} } = \frac{1+0}{1+0} = 1$

$|x+2| < 1$

$-1 < x+2 < 1$

$-3 < x < -1$

Таким образом, исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x+2)^{n} }{n+1}$ сходится на интервале $(-3;-1)$

Рассмотрим граничные точки x = - 3 и x = - 1

При x = - 1 исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x+2)^{n} }{n+1}$ принимает вид $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+1}$ . Это гармоничный ряд, который является расходящимся.

Таким образом, в точке x = - 1 исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x+2)^{n} }{n+1}$ расходится.

При x = - 3 исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x+2)^{n} }{n+1}$ принимает вид $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{n+1}$ .

$c_{n} = \frac{1}{n+1}$

$c_{n+1} = \frac{1}{n+2}$

$n+2 > n+1 \ \Rightarrow \ \frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1} \ \Rightarrow \ c_{n+1} < c_{n}$

$\lim\limits_{n \to +\infty} c_{n} = \lim\limits_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0$

По теореме Лейбница ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} }{n+1}$ сходится.

Следовательно, в точке x = - 3 исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x+2)^{n} }{n+1}$ сходится.

Таким образом, исходный степенной ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(x+2)^{n} }{n+1}$ сходится на полуинтервале $[-3;-1)$

(Сообщение отредактировал RKI 30 сен. 2009 12:46)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 сен. 2009 12:05 | IP

Отправка ответа:

Имя пользователя Вы зарегистрировались?
Пароль Забыли пароль?
Сообщение
Использование HTML запрещено
Использование IkonCode разрешено
Смайлики разрешены

Опции отправки
Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да Нет

Переход к теме
<< Назад Вперед >> Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 ]