Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        2.9.1 Аналитическая геометрия
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

zxcvbnm


Новичок

Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 22 мая 2010 22:19 | IP
Olegmath2


Полноправный участник


Цитата: zxcvbnm написал 22 мая 2010 20:59
Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что AE : CF = AO : CO.


Указания к решению.

Пусть AD=a, BC=b, (a>b), K – точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD.

Докажем, что EF=2ab/(a+b).

Из подобия треугольников BKC и DKA получаем:

KB/KD=KC/KA=BC/DA=b/a --> KD/KB=a/b и KA/KC=a/b

Из подобия треугольников EBK и ABD получаем:

AD/EK= DB/KB =(KD+KB)/KB=KD/KB+1=a/b+1=(a+b)/b -->a/EK=(a+b)/b --> EK=ab/(a+b).

Из подобия треугольников KCF и ACD получаем:

AD/KF=AC/KC=(KA+KC)/KC=KA/KC+1=a/b+1=(a+b)/b --> a/KF=(a+b)/b --> KF=ab/(a+b).

EF=EK+KF=ab/(a+b)+ab/(a+b)=2ab/(a+b).

Используя подобие треугольников EFO и ADO, получим:

AE/AO=(AO-EO)/AO=1-EO/AO=1-EK/AD=

=1-(2ab/(a+b))/a=1-2b/(a+b)=(a+b-2b)/(a+b)=(a-b)/(a+b) --> AE/AO=(a-b)/(a+b),(1)

Используя подобие треугольников EFO и BCO, получим:

CF/CO=(OF-CO)/CO=OF/CO-1=EF/BC-1=

=(2ab/(a+b))/b-1=2a/(a+b)-1=(2a-a-b)/(a+b)=(a-b)/(a+b) --> CF/CO=(a-b)/(a+b), (2).

Из равенств (1) и (2) следует, что

AE/AO=CF/CO  <--> AE/CF=AO/CO. Утверждение доказано.

Всего сообщений: 235 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 22 мая 2010 22:38 | IP
zxcvbnm


Новичок

спасибо!

Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 22 мая 2010 22:42 | IP
zxcvbnm


Новичок

Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.

Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 22 мая 2010 22:42 | IP
Olegmath2


Полноправный участник


Цитата: zxcvbnm написал 22 мая 2010 22:42
Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.



Ответ: x=2abc/(ab+ac+bc).

-----
Мой ICQ: 570-905-417

Всего сообщений: 235 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 22 мая 2010 23:21 | IP
zxcvbnm


Новичок

А каким образом Вы получили такой ответ?

Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 23 мая 2010 9:57 | IP
zxcvbnm


Новичок

большое спасибо!!!

Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 23 мая 2010 10:03 | IP
zxcvbnm


Новичок

А каким образом Вы получили такой ответ?

Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 23 мая 2010 10:04 | IP
zxcvbnm


Новичок

А каким образом Вы получили такой ответ?

Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 23 мая 2010 10:05 | IP
Olegmath2


Полноправный участник

Указания к решению задачи.

Пусть T – данный треугольник со сторонами a, b, c. Данные прямые L1, L2, L3 высекают внутри треугольника T три малых треугольника T1, T2, T3 с общей вершиной O, где O - точка пересечения прямых L1, L2, L3.
Обозначим через
a1, b1, c1 – длины сторон треугольника T1;
a2, b2, c2 – длины сторон треугольника T2;
a3, b3, c3 – длины сторон треугольника T3,
причём стороны a1, a2, a3 параллельны стороне a;
стороны b1, b2, b3 параллельны стороне b;
стороны c1, c2, c3 параллельны стороне c.

Заметим, что каждый из треугольников T1, T2, T3 подобен треугольнику T.
Пусть k1, k2, k3 – коэффициенты подобия  соответственно. Тогда

k1=a1/a=b1/b=c1/c, k2=a2/a=b2/b=c2/c, k3=a3/a=b3/b=c3/c.

Так как a1+a2+a3=a --> a1/a+a2/a+a3/a=1 --> k1+k2+k3=1, (*).

Поскольку

{a1+a2=x,
{b2+b3=x,
{c1+c3=x, то

{x/a=a1/a+a2/a,
{x/b=b2/b+b3/b,
{x/c=c1/c+c3/c.

Отсюда
{x/a=k1+k2, (1)
{x/b=k2+k3, (2)
{x/c=k1+k3, (3)

(1)+(2)+(3) --> x/a+x/b+x/c=2(k1+k2+k3). С учётом (*), получим

x/a+x/b+x/c=2. Отсюда x=2abc/(ab+ac+bc).

Ответ: x=2abc/(ab+ac+bc).

(Сообщение отредактировал Olegmath2 23 мая 2010 11:16)

Всего сообщений: 235 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 23 мая 2010 10:44 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com