ProstoVasya
Долгожитель
|
    
IrEEsh, учтите равенство 1+(sh(x/a))^2 = (ch(x/a))^2
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 17 мая 2009 15:32 | IP
|
|
dima3x
Новичок
|
  
иследовать на сходимость расходимость sqrt(x)*(e^(-x)) от 0 До бесконеч
|
Всего сообщений: 25 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 17 мая 2009 17:30 | IP
|
|
IrEEsh
Новичок
|
спасибо)
|
Всего сообщений: 26 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 мая 2009 7:20 | IP
|
|
marsvetlanka
Новичок
|
RKI Спасибо огромное за решение
|
Всего сообщений: 32 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 18 мая 2009 10:15 | IP
|
|
star
Новичок
|
Помогите, пожалуйста, решить задание!
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x^2+y^2=8,
y=x^2/2
|
Всего сообщений: 23 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 19 мая 2009 10:41 | IP
|
|
paradise 
Долгожитель
|
А в чём проблема? у вас окружность и парабола. пределы интегрирования от -2 до 2. можно, в принципе, от 0 до 2, а потом полученную площадь умножить на 2
|
Всего сообщений: 428 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 19 мая 2009 12:53 | IP
|
|
Olegmath2
Полноправный участник
|
Цитата: star написал 19 мая 2009 10:41
Помогите, пожалуйста, решить задание!
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
x^2+y^2=8,
y=x^2/2
Решение.
Построим в одной прямоугольной системе координат Oxy графики данных уравнений.
x^2+y^2=8 <=> (x-0)^2+(y-0)^2=(sqrt(8))^2 - уравнение окружности W с центром в точке O(0;0) и радиусом R=sqrt(8);
y=x^2/2 - уравнение параболы P, ветви которой направлены вверх, а вершина расположена в точке O(0;0).
Найдём координаты точек пересечения окружности W и параболы P. Для этого решим систему уравнений (*):
{x^2+y^2=8 , (1)
{y=x^2/2 , (2).
(2)=>(1)=>x^2+x^4/4=8<=>4x^2+x^4=32. Замена t=x^2, t>=0, (3).
Тогда t^2+4t-32=0. t=-8 не удовлетворяет условию (3), t=4.
Вернёмся к переменной x:
t=4;
x^2=4;
x1=2; x2=-2.
x1=2=>(2)=> y1=(x1)^2/2=2^2/2=2;
x2=-2=>(2)=> y2=(x2)^2/2=(-2)^2/2=2.
Следовательно, система (*) имеет два решения (-2;2) и (2;2).
Это означает, что окружность W и парабола P пересекаются в двух различных точках A(-2;2) и B(2;2).
Парабола P разбивает круг с границей W на две фигуры F1 и F2 (где S(F1)<S(F2)). Окружность W состоит из верхней и нижней полуокружностей Wв и Wн соответственно, каждая из которых является графиком некоторой функции. Пусть y=f(x) - функция, графиком которой является вернняя полуокружность
Wв. Найдём аналитическое выражение для f(x).
x^2+y^2=8, y>=0;
y^2=8-x^2, y>=0;
y=sqrt(8-x^2).
Тогда фигура F1 задаётся системой условий
F1: {-2<=x<=2,
{x^2/2<=y<=sqrt(8-x^2).
Воспользуемся следующей теоремой:
Если фигура F ограничена слева и справа вертикальными прямыми x=a, x=b (a<b), сверху и снизу графиками непрерывных на отрезке [a;b] функций y=f(x) и y=g(x), причём f(x)>=g(x), для всех x{принадлежит}[a;b], т.е.
F: {a<=x<=b,
{g(x)<=y<=f(x),
то площадь фигуры F можно вычислить по формуле:
S(F)=int{a_b}(f(x)-g(x))dx.
Используя указанную теорему получим:
S(F1)=int{-2_2}(sqrt(8-x^2)-x^2/2)dx=
=int{-2_2}(sqrt(8-x^2)dx-int{-2_2}(x^2/2)dx=I1-I2
I1=int{-2_2}(sqrt(8-x^2)dx=2*int{0_2}(sqrt(8-x^2)dx=
(по свойству интеграла от чётной функции на отрезке симметричном относительно нуля)
Замена: x=sqrt(8)*sint => dx=sqrt(8)*cost*dt;
x=sqrt(8)*sint => sint=x/sqrt(8), x{принадлежит}[0;2]
=> t=arcsin(x/sqrt(8)).
Пересчитаем пределы интегрирования:
x1=0, t1=arcsin(x1/sqrt(8))=arcsin(0)=0;
x2=2, t2=arcsin(x2/sqrt(8))=arcsin(1/sqrt(2))=пи/4.
I1=2*int{0_пи/4}(sqrt(8-8(sint)^2))*sqrt(8)*cost*dt=
=2*8*int{0_пи/4}(sqrt(1-(sint)^2))*cost*dt=
=16*int{0_пи/4}(sqrt((cost)^2))*cost*dt=
=16*int{0_пи/4}|cost|*cost*dt=
=16*int{0_пи/4}(cost)^2*dt=
=16*int{0_пи/4}(1/2)*(1+cos(2t))*dt=
=8*(t+(1/2)*sin(2t))|{0_пи/4}=8*(пи/4+(1/2)*sin(пи/2))=
=8*(пи/4+(1/2))=2*пи+4.
I2=int{-2_2}(x^2/2)dx=(1/2)*int{-2_2}(x^2)dx=
=(1/2)*2*int{0_2}(x^2)dx=int{0_2}(x^2)dx=
=(x^3/3)|{0_2}=8/3.
S(F1)=I1-I2=2*пи+4-8/3=2*пи+4/3.
S(F2)=S(круга)-S(F1)=пи*R^2-(2*пи+4/3)=8*пи-2*пи-4/3=6*пи-4/3.
Ответ: 2*пи+4/3 и 6*пи-4/3.
(Сообщение отредактировал Olegmath2 20 мая 2009 14:31)
|
Всего сообщений: 235 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 19 мая 2009 13:34 | IP
|
|
tania811
Новичок
|
Обчислити невластивий інтеграл або довести його розбіжність
∞ вверху 1 внизу int dx/(x^2(x+1)) помогите пожалуста
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 19 мая 2009 17:44 | IP
|
|
tania811
Новичок
|
езконечность вверху
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 19 мая 2009 18:21 | IP
|
|
Svetik
Новичок
|
Помогите пожалуйста вычслить длину дуги кривой
y=ln(x) от точки х=sqrt(8) до х=sqrt(15).
|
Всего сообщений: 13 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 20 мая 2009 3:04 | IP
|
|
|
Форум
2.1.7 Определенный интеграл
