Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        2.2.2 Теория функций комплексного переменного (ТФКП)
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

dimacat


Новичок

Доброго дня! Хотелось бы попросить у вас помощи по двум заданиям, которые не получается решить.

1) Решить уравнение:  z^2+|z|=3+2i

2) Изобразить указанные множества (a - действительное число): а) Re1/z=a
            б) Im(z-a)/(z+a)=0

Заранее весьма благодарен!

Всего сообщений: 9 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 3 янв. 2009 10:42 | IP
RKI



Долгожитель

2) Re(1/z) = a

z=x+iy
1/z = 1/(x+iy) = (x-iy)/(x+iy)(x-iy) = (x-iy)/(x^2+y^2) =
= x/(x^2+y^2) - iy/(x^2+y^2)
Re(1/z) = x/(x^2+y^2)

Re(1/z) = a
x/(x^2+y^2) = a

1) a=0
   x/(x^2+y^2) = 0
   {x=0; x^2+y^2 =/= 0 - ось ординат за исключением точки (0;0)

2) a=/=0
x/(x^2+y^2) = a |(x^2+y^2)=/=0
x = ax^2 + ay^2
ax^2 - x + ay^2 = 0
a(x^2 - x/a) + ay^2 = 0
a(x^2 - x/a + 1/(4a^2) - 1/(4a^2)) + ay^2 = 0
a(x^2 - x/a + 1/(4a^2)) - 1/(4a) + ay^2 = 0
a(x - 1/(2a))^2 + ay^2 = 1/(4a)
(x - 1/(2a))^2 + y^2 = 1/(4a^2) - окружность с центром в точке
(1/(2a);0) радиуса 1/2|a| за исключением точки (0;0)



2) Im (z-a)/(z+a) = 0

z=x+iy
z-a = (x-a)+iy
z+a = (x+a)+iy

(z-a)/(z+a) = {(x-a)+iy}/{(x+a)+iy} =
= {(x-a)+iy}{(x+a)-iy}/{(x+a)+iy}{(x+a)-iy} =
= {(x-a)(x+a) - iy(x-a) + iy(x+a) + y^2}/{(x+a)^2 + y^2}

Im (z-a)/(z+a) = {(x-a)(x+a) + y^2}/{(x+a)^2 + y^2}

Im (z-a)/(z+a) = 0
{(x-a)(x+a) + y^2}/{(x+a)^2 + y^2} = 0
{ (x-a)(x+a) + y^2=0; (x+a)^2 + y^2 =/=0
{ x^2 - a^2 + y^2 =0; (x+a)^2 + y^2 =/= 0
{ x^2 + y^2 = a^2; (x+a)^2 + y^2 =/=0 - окружность с центром в точке (0;0) радиуса |a| за исключением точки
(-a;0)

(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 0:12)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 янв. 2009 11:57 | IP
dimacat


Новичок

RKI, спасибо огромное!

2 All: 1) Решить уравнение:  z^2+|z|=3+2i

Помогите разобраться ещё с этим


Здравствуйте! Хотелось бы, чтобы вы помогли решить мне следующий пример. В нём не волоку ничего, поэтому хотелось бы полное решение, чтобы по нему уже разобраться с остальным

Разложить в ряд Лорана функцию f(z)=1/z^2+1 в окрестности  0<|z-i|<2 по стеменям z-i

Да, вот ещё одно, в чём хотелось бы разобраться:
Решить интеграл:

интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности (x*sinx/x^2+4*x+20)dx

Заранее огромное спасибо!

(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 0:12)

Всего сообщений: 9 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 3 янв. 2009 14:38 | IP
ProstoVasya


Долгожитель


Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 16 янв. 2009 21:32 | IP
dimacat


Новичок

2 ProstoVasya: спасибо большое!

Всего сообщений: 9 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 17 янв. 2009 19:21 | IP
kivi



Новичок

Помогите пожалуйста
1) найти res(бесконечность) z^2/(1+z)

2) вычислить интеграл по замкнутому контуру с (z*cosz)/[(z-П/3)^3], если с-окружность, /z/=2

Всего сообщений: 19 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 18 янв. 2009 21:25 | IP
ProstoVasya


Долгожитель


Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 0:41 | IP
kivi



Новичок

ProstoVasya, огромное Вам спасибо. Вы меня спасли

Всего сообщений: 19 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 1:08 | IP
Tarja



Новичок

Помогите пожалуйста с такими примерами. Никак не могу решить.
1. Представить заданную функцию w = f(z), где z=x+iy, в виде  w=u(x,y)+iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в точке z_0 = (pi*i)/3.
Заданная функция: w=e^(1-2z);
2. При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру L.
Интеграл: , Контур:

Всего сообщений: 17 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 26 фев. 2009 23:57 | IP
RKI



Долгожитель

1) z = x+iy

w(z) = e^(1-2z) = e^(1-2x-2iy) = (e^(1-2x))*(e^(-2iy)) =
= (e^(1-2x))*(cos(-2y)+isin(-2y)) =
= (e^(1-2x))*(cos2y - isin2y)

w(z) = u(x,y) + iv(x,y)
u(x,y) = (e^(1-2x))*cos2y
v(x,y) = - (e^(1-2x))*sin2y
-----------------------------------------------------------------
Проверим является ли функция аналитической. Одним из эквивалентных определений аналитичности функции является следующее: для вещественной и мнимой части функции в каждой точке области аналитичности выполняются условия Коши-Римана (аналитичность в смысле Коши-Римана).
Условия Коши Римана:
du/dx = dv/dy; du/dy = -dv/dx

Проверим данные условия.
du/dx = (-1/2)*(e^(1-2x))*cos2y
dv/dy = (-1/2)*(e^(1-2x))*cos2y
du/dx = dv/dy
du/dy = -(1/2)*(e^(1-2x))*sin2y
dv/dx = (1/2)*(e^(1-2x))*sin2y
du/dy = -dv/dx
Таким образом, условия Коши-Римана выполняются. Следовательно, 1) функция является аналитической; 2) функция является дифференцируемой.

w'(z) = du/dx+idv/dx = dv/dy-idu/dy
w'(z) = (-1/2)*(e^(1-2x))*cos2y + i(1/2)*(e^(1-2x))*sin2y =
= -(1/2)*(e^(1-2x))*(cos2y-isin2y) =
= -(1/2)*(e^(1-2x))*(cos(-2y)+isin(-2y)) =
= -(1/2)*(e^(1-2x))*(e^(-2iy)) = -(1/2)*(e^(1-2x-2iy)) =
= -(1/2)*(e^(1-2z))

z0 = Пi/3
z0 = x0+iy0
x0=0; y0=П/3
w'(z) = -(1/2)*(e^(1-2x))*(cos2y-isin2y)
w'(z0) = -(1/2)*e*(cos(2П/3)-isin(2П/3)) =
= -(1/2)*e*(-(1/2)-isqrt(3)/2) =
= (1/4)*e*(1+isqrt(3))


2) int f(z)dz, где f(z) = (e^(-3z))/(z^2)(z+i)

Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения (z^2)(z+i)=0, то есть
z1=0; z2=-i.
Проверим лежат ли эти точки в круге |z-1+i| <= 3
|z1-1+i| = |0-1+i| = |-1+i| = sqrt(2) < 3
|z2-1+i| = |-i-1+i| = |-1| = 1 < 3
Точки z1 и z2 лежат в круге с границей l.
Так как данные точки являются нулями знаменателя, то они являются полюсами: z1=0 - полюс кратности 2; z2=-i - полюс кратности 1. Посчитаем вычеты в данных точках

res f(z) = lim_{z->0} d((z^2)*f(z))/dz =
z=0

= lim_{z->0} d((e^(-3z))/(z+i))/dz =

= lim_{z->0} -(e^(-3z))*(3z+3i+1)/(z+i)^2 =

= - 1*(0+3i+1)/(i^2) = 3i+1

res f(z) = lim_{z->-i} (z+i)f(z) = lim_{z->-i} (e^(-3z))/(z^2)
z=-i

= (e^3i)/(-i)^2 = - e^(3i)

исходный интеграл = 2Пi*(3i + 1 - e^(3i))

(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 0:10)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 фев. 2009 10:02 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com