dimacat
Новичок
|
      
Доброго дня! Хотелось бы попросить у вас помощи по двум заданиям, которые не получается решить.
1) Решить уравнение: z^2+|z|=3+2i
2) Изобразить указанные множества (a - действительное число): а) Re1/z=a
б) Im(z-a)/(z+a)=0
Заранее весьма благодарен!
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 3 янв. 2009 10:42 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
2) Re(1/z) = a
z=x+iy
1/z = 1/(x+iy) = (x-iy)/(x+iy)(x-iy) = (x-iy)/(x^2+y^2) =
= x/(x^2+y^2) - iy/(x^2+y^2)
Re(1/z) = x/(x^2+y^2)
Re(1/z) = a
x/(x^2+y^2) = a
1) a=0
x/(x^2+y^2) = 0
{x=0; x^2+y^2 =/= 0 - ось ординат за исключением точки (0;0)
2) a=/=0
x/(x^2+y^2) = a |(x^2+y^2)=/=0
x = ax^2 + ay^2
ax^2 - x + ay^2 = 0
a(x^2 - x/a) + ay^2 = 0
a(x^2 - x/a + 1/(4a^2) - 1/(4a^2)) + ay^2 = 0
a(x^2 - x/a + 1/(4a^2)) - 1/(4a) + ay^2 = 0
a(x - 1/(2a))^2 + ay^2 = 1/(4a)
(x - 1/(2a))^2 + y^2 = 1/(4a^2) - окружность с центром в точке
(1/(2a);0) радиуса 1/2|a| за исключением точки (0;0)
2) Im (z-a)/(z+a) = 0
z=x+iy
z-a = (x-a)+iy
z+a = (x+a)+iy
(z-a)/(z+a) = {(x-a)+iy}/{(x+a)+iy} =
= {(x-a)+iy}{(x+a)-iy}/{(x+a)+iy}{(x+a)-iy} =
= {(x-a)(x+a) - iy(x-a) + iy(x+a) + y^2}/{(x+a)^2 + y^2}
Im (z-a)/(z+a) = {(x-a)(x+a) + y^2}/{(x+a)^2 + y^2}
Im (z-a)/(z+a) = 0
{(x-a)(x+a) + y^2}/{(x+a)^2 + y^2} = 0
{ (x-a)(x+a) + y^2=0; (x+a)^2 + y^2 =/=0
{ x^2 - a^2 + y^2 =0; (x+a)^2 + y^2 =/= 0
{ x^2 + y^2 = a^2; (x+a)^2 + y^2 =/=0 - окружность с центром в точке (0;0) радиуса |a| за исключением точки
(-a;0)
(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 0:12)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 3 янв. 2009 11:57 | IP
|
|
dimacat
Новичок
|
RKI, спасибо огромное! 
2 All: 1) Решить уравнение: z^2+|z|=3+2i
Помогите разобраться ещё с этим
Здравствуйте! Хотелось бы, чтобы вы помогли решить мне следующий пример. В нём не волоку ничего, поэтому хотелось бы полное решение, чтобы по нему уже разобраться с остальным
Разложить в ряд Лорана функцию f(z)=1/z^2+1 в окрестности 0<|z-i|<2 по стеменям z-i
Да, вот ещё одно, в чём хотелось бы разобраться:
Решить интеграл:
интеграл от минус бесконечности до плюс бесконечности (x*sinx/x^2+4*x+20)dx
Заранее огромное спасибо!
(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 0:12)
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 3 янв. 2009 14:38 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 16 янв. 2009 21:32 | IP
|
|
dimacat
Новичок
|
2 ProstoVasya: спасибо большое!
|
Всего сообщений: 9 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 17 янв. 2009 19:21 | IP
|
|
kivi
Новичок
|
Помогите пожалуйста
1) найти res(бесконечность) z^2/(1+z)
2) вычислить интеграл по замкнутому контуру с (z*cosz)/[(z-П/3)^3], если с-окружность, /z/=2
|
Всего сообщений: 19 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 18 янв. 2009 21:25 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 0:41 | IP
|
|
kivi
Новичок
|
ProstoVasya, огромное Вам спасибо. Вы меня спасли
|
Всего сообщений: 19 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 1:08 | IP
|
|
Tarja
Новичок
|
Помогите пожалуйста с такими примерами. Никак не могу решить.
1. Представить заданную функцию w = f(z), где z=x+iy, в виде w=u(x,y)+iv(x,y); проверить, является ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в точке z_0 = (pi*i)/3.
Заданная функция: w=e^(1-2z);
2. При помощи вычетов вычислить данный интеграл по контуру L.
Интеграл:  , Контур: 
|
Всего сообщений: 17 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 26 фев. 2009 23:57 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
1) z = x+iy
w(z) = e^(1-2z) = e^(1-2x-2iy) = (e^(1-2x))*(e^(-2iy)) =
= (e^(1-2x))*(cos(-2y)+isin(-2y)) =
= (e^(1-2x))*(cos2y - isin2y)
w(z) = u(x,y) + iv(x,y)
u(x,y) = (e^(1-2x))*cos2y
v(x,y) = - (e^(1-2x))*sin2y
-----------------------------------------------------------------
Проверим является ли функция аналитической. Одним из эквивалентных определений аналитичности функции является следующее: для вещественной и мнимой части функции в каждой точке области аналитичности выполняются условия Коши-Римана (аналитичность в смысле Коши-Римана).
Условия Коши Римана:
du/dx = dv/dy; du/dy = -dv/dx
Проверим данные условия.
du/dx = (-1/2)*(e^(1-2x))*cos2y
dv/dy = (-1/2)*(e^(1-2x))*cos2y
du/dx = dv/dy
du/dy = -(1/2)*(e^(1-2x))*sin2y
dv/dx = (1/2)*(e^(1-2x))*sin2y
du/dy = -dv/dx
Таким образом, условия Коши-Римана выполняются. Следовательно, 1) функция является аналитической; 2) функция является дифференцируемой.
w'(z) = du/dx+idv/dx = dv/dy-idu/dy
w'(z) = (-1/2)*(e^(1-2x))*cos2y + i(1/2)*(e^(1-2x))*sin2y =
= -(1/2)*(e^(1-2x))*(cos2y-isin2y) =
= -(1/2)*(e^(1-2x))*(cos(-2y)+isin(-2y)) =
= -(1/2)*(e^(1-2x))*(e^(-2iy)) = -(1/2)*(e^(1-2x-2iy)) =
= -(1/2)*(e^(1-2z))
z0 = Пi/3
z0 = x0+iy0
x0=0; y0=П/3
w'(z) = -(1/2)*(e^(1-2x))*(cos2y-isin2y)
w'(z0) = -(1/2)*e*(cos(2П/3)-isin(2П/3)) =
= -(1/2)*e*(-(1/2)-isqrt(3)/2) =
= (1/4)*e*(1+isqrt(3))
2) int f(z)dz, где f(z) = (e^(-3z))/(z^2)(z+i)
Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения (z^2)(z+i)=0, то есть
z1=0; z2=-i.
Проверим лежат ли эти точки в круге |z-1+i| <= 3
|z1-1+i| = |0-1+i| = |-1+i| = sqrt(2) < 3
|z2-1+i| = |-i-1+i| = |-1| = 1 < 3
Точки z1 и z2 лежат в круге с границей l.
Так как данные точки являются нулями знаменателя, то они являются полюсами: z1=0 - полюс кратности 2; z2=-i - полюс кратности 1. Посчитаем вычеты в данных точках
res f(z) = lim_{z->0} d((z^2)*f(z))/dz =
z=0
= lim_{z->0} d((e^(-3z))/(z+i))/dz =
= lim_{z->0} -(e^(-3z))*(3z+3i+1)/(z+i)^2 =
= - 1*(0+3i+1)/(i^2) = 3i+1
res f(z) = lim_{z->-i} (z+i)f(z) = lim_{z->-i} (e^(-3z))/(z^2)
z=-i
= (e^3i)/(-i)^2 = - e^(3i)
исходный интеграл = 2Пi*(3i + 1 - e^(3i))
(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 0:10)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 фев. 2009 10:02 | IP
|
|
Форум
2.2.2 Теория функций комплексного переменного (ТФКП)
