zxcvbnm
Новичок
|
     
Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.
|
Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 22 мая 2010 22:19 | IP
|
|
Olegmath2
Полноправный участник
|
Цитата: zxcvbnm написал 22 мая 2010 20:59
Продолжения боковых сторон трапеции с основаниями AD и BC пересекаются в точке O. Концы отрезка EF, параллельного основаниям и проходящего через точку пересечения диагоналей, лежат соответственно на сторонах AB и CD. Докажите, что AE : CF = AO : CO.
Указания к решению.
Пусть AD=a, BC=b, (a>b), K – точка пересечения диагоналей AC и BD трапеции ABCD.
Докажем, что EF=2ab/(a+b).
Из подобия треугольников BKC и DKA получаем:
KB/KD=KC/KA=BC/DA=b/a --> KD/KB=a/b и KA/KC=a/b
Из подобия треугольников EBK и ABD получаем:
AD/EK= DB/KB =(KD+KB)/KB=KD/KB+1=a/b+1=(a+b)/b -->a/EK=(a+b)/b --> EK=ab/(a+b).
Из подобия треугольников KCF и ACD получаем:
AD/KF=AC/KC=(KA+KC)/KC=KA/KC+1=a/b+1=(a+b)/b --> a/KF=(a+b)/b --> KF=ab/(a+b).
EF=EK+KF=ab/(a+b)+ab/(a+b)=2ab/(a+b).
Используя подобие треугольников EFO и ADO, получим:
AE/AO=(AO-EO)/AO=1-EO/AO=1-EK/AD=
=1-(2ab/(a+b))/a=1-2b/(a+b)=(a+b-2b)/(a+b)=(a-b)/(a+b) --> AE/AO=(a-b)/(a+b),(1)
Используя подобие треугольников EFO и BCO, получим:
CF/CO=(OF-CO)/CO=OF/CO-1=EF/BC-1=
=(2ab/(a+b))/b-1=2a/(a+b)-1=(2a-a-b)/(a+b)=(a-b)/(a+b) --> CF/CO=(a-b)/(a+b), (2).
Из равенств (1) и (2) следует, что
AE/AO=CF/CO <--> AE/CF=AO/CO. Утверждение доказано.
|
Всего сообщений: 235 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 22 мая 2010 22:38 | IP
|
|
zxcvbnm
Новичок
|
спасибо!
|
Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 22 мая 2010 22:42 | IP
|
|
zxcvbnm
Новичок
|
Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.
|
Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 22 мая 2010 22:42 | IP
|
|
Olegmath2
Полноправный участник
|
Цитата: zxcvbnm написал 22 мая 2010 22:42
Три прямые, параллельные сторонам треугольника, пересекаются в одной точке, причем стороны треугольника высекают на этих прямых отрезки длиной x. Найдите x, если длины сторон треугольника равны a, b и c.
Ответ: x=2abc/(ab+ac+bc).
|
Всего сообщений: 235 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 22 мая 2010 23:21 | IP
|
|
zxcvbnm
Новичок
|
А каким образом Вы получили такой ответ?
|
Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 23 мая 2010 9:57 | IP
|
|
zxcvbnm
Новичок
|
большое спасибо!!!
|
Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 23 мая 2010 10:03 | IP
|
|
zxcvbnm
Новичок
|
А каким образом Вы получили такой ответ?
|
Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 23 мая 2010 10:04 | IP
|
|
zxcvbnm
Новичок
|
А каким образом Вы получили такой ответ?
|
Всего сообщений: 50 | Присоединился: май 2010 | Отправлено: 23 мая 2010 10:05 | IP
|
|
Olegmath2
Полноправный участник
|
Указания к решению задачи.
Пусть T – данный треугольник со сторонами a, b, c. Данные прямые L1, L2, L3 высекают внутри треугольника T три малых треугольника T1, T2, T3 с общей вершиной O, где O - точка пересечения прямых L1, L2, L3.
Обозначим через
a1, b1, c1 – длины сторон треугольника T1;
a2, b2, c2 – длины сторон треугольника T2;
a3, b3, c3 – длины сторон треугольника T3,
причём стороны a1, a2, a3 параллельны стороне a;
стороны b1, b2, b3 параллельны стороне b;
стороны c1, c2, c3 параллельны стороне c.
Заметим, что каждый из треугольников T1, T2, T3 подобен треугольнику T.
Пусть k1, k2, k3 – коэффициенты подобия соответственно. Тогда
k1=a1/a=b1/b=c1/c, k2=a2/a=b2/b=c2/c, k3=a3/a=b3/b=c3/c.
Так как a1+a2+a3=a --> a1/a+a2/a+a3/a=1 --> k1+k2+k3=1, (*).
Поскольку
{a1+a2=x,
{b2+b3=x,
{c1+c3=x, то
{x/a=a1/a+a2/a,
{x/b=b2/b+b3/b,
{x/c=c1/c+c3/c.
Отсюда
{x/a=k1+k2, (1)
{x/b=k2+k3, (2)
{x/c=k1+k3, (3)
(1)+(2)+(3) --> x/a+x/b+x/c=2(k1+k2+k3). С учётом (*), получим
x/a+x/b+x/c=2. Отсюда x=2abc/(ab+ac+bc).
Ответ: x=2abc/(ab+ac+bc).
(Сообщение отредактировал Olegmath2 23 мая 2010 11:16)
|
Всего сообщений: 235 | Присоединился: февраль 2009 | Отправлено: 23 мая 2010 10:44 | IP
|
|
|
Форум
2.9.1 Аналитическая геометрия
