termech
Новичок
|
    
спасибо marchella!
а в области аналогично можно разложить?
Найти особые точки функций, выяснить их характер, исследовать поведение функции на бесконечность.
z*z/((z*z-4)^2)*cos(1/(z-2))
(Сообщение отредактировал attention 7 дек. 2009 23:47)
|
Всего сообщений: 17 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 16 июня 2009 16:56 | IP
|
|
Marchella
Новичок
|
  
Цитата: termech написал 16 июня 2009 15:56
спасибо marchella!
а в области аналогично можно разложить?
Я даже не знаю, мы в универе всегда в кольце раскладывали
|
Всего сообщений: 6 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 16 июня 2009 19:13 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Цитата: termech написал 16 июня 2009 11:40
Нужна помощь!
Доказать неравенство |z1+z2|>=0.5(|z1|+|z2|)|(z1/|z1|)+(z2/|z2|)|
Если какое-нибудь из чисел равно 0, то неравенство очевидно. Пусть числа z1 и z2 не равны нулю. Тогда задача сводится к случаю когда одно из чисел равно 1. Поэтому достаточно доказать неравенство |1+z|>=0.5(1+|z|)|1+z/|z|| для произвольных z.
Возведём в квадрат левую и правую части. Получим
1+ |z|^2 + 2 |z| Re(z/|z|) >= 0.5 (1+Re(z/|z|)) (1+|z|)^2
или
1+ |z|^2 >= Re(z/|z|) (1-|z|)^2
Это неравенство выполняется, т.к.
(1+ |z|^2 )/(1-|z|)^2 >= 1
Цитата: termech написал 16 июня 2009 16:56
спасибо marchella!
а в области аналогично можно разложить?
Опять разложим в сумму
f(z) = -1/(1-z) +1/2*1/(1-z/2)
Для каждого слагаемого надо применить формулу для суммы членов геометрической прогрессии. Область сходимости: |z| < 1.
Цитата: termech написал 16 июня 2009 16:59
Найти особые точки функций, выяснить их характер, исследовать поведение функции на бесконечность.
z*z/((z*z-4)^2)*cos(1/(z-2))
z*z/((z*z-4)^2)*cos(1/(z-2)) = z^2/(z+2)^2 *(1/(z-2)^2)*cos(1/(z-2))
Отсюда следует:
-2 - полюс порядка два,
2 - существенно особая точка.
Точка бесконечность - точка регулярности, т.к. на бесконечности функция имеет асимптотику 1/z^2.
(Сообщение отредактировал attention 7 дек. 2009 23:46)
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 16 июня 2009 19:39 | IP
|
|
termech
Новичок
|
большое спасибо!!!
еще решите пожалуйста!
1)для отображения w=z-1/z найти образ окр-ти |z|=r
2)найти образ полуплоскости -Пи/2<x<-Пи/2 y>d
при отображении w=cosz
3)используя интегральную формулу Коши найти интеграл sinzdz/z(2-z)^2 по кривой |z-2|=1
4)Найти вычеты относительно всех изолирванных особых точек и относительно z=бесконечность (она не предельная для особых точек).
1/sin(1/(z-1))
очень прошу...помогите!!!
(Сообщение отредактировал attention 7 дек. 2009 23:44)
|
Всего сообщений: 17 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 16 июня 2009 21:10 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
termech
1. Пусть z = r (cost + i sint). Тогда w = u + i v, где u = (r-1/r) cost, v=(r+1/r) sint. Отсюда следует, что окружность |z|=r отображается в эллипс u^2/(r-1/r)^2 + v^2/(r+1/r)^2 =1 при r не равном 1. При r=1 получим отрезок на мнимой оси [-2i, 2i].
2. Согласно принципу соответствия границ, достаточно проследить за образам границы полу полосы. Луч: z = -п/2 +it, t>d, проходимый сверху вниз, перейдёт в луч, ежащий на мнимой оси: w = i sh(t), проходимый сверху вниз до точки i sh(d). Аналогично, луч: z = п/2 +it, t>d, проходимый снизу вверх, перейдёт в луч, ежащий на мнимой оси: w = i sh(t), проходимый сверху вниз от точки -i sh(d). Если d > 0, то лучи не налегают дрруг на друга. Если d = 0, то лучи стыкуются в точке 0. Если d < 0, то лучи налегают друг на друга.
Далее, отрезок z = x + id, переходит в половину эллипса
u^2/(ch(d))^2 + v^2/(sh(d))^2 = 1, (*)
лежащего в правой полуплоскости; u>=0.
Таким образом, полуполоса отобразится на правую полуплоскость с вырезанной половиной эллипса (*), если d > 0; с разрезом по отрезку [0,1] на вещественной оси, если d = 0; на всю полуплоскость, причём на половине эллипса (*) не будет однозначности.
3. {интеграл sinzdz/z(2-z)^2 по кривой |z-2|=1} = 2пi {d(sinz/z)/dz при z =2} = пi (2 cos2 - sin2)/2
Простые полюсы в точках z = 1 + 1/(пk), k - целое число. Точка z = 1 является предельной точкой. Точка z=бесконечность полюс.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 16 июня 2009 23:55 | IP
|
|
termech
Новичок
|
большое, пребольшое спасибо!!!!!!
|
Всего сообщений: 17 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 17 июня 2009 1:11 | IP
|
|
vados
Новичок
|
ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА С РЕШЕНИЕМ
Найти все лорановские разложения данной функции по степеням z
(8z-256) / [z^4 + 8(z^3) - 128(z^2)]
|
Всего сообщений: 15 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 17 июня 2009 9:07 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 17 июня 2009 13:35 | IP
|
|
Ruf Dream
Новичок
|
Помогите решить:
вычислить интеграл , считая, что обход замкнутых контуров происходит в положительном направлении
интеграл по гамма cosz/(z-1)(z^2+4)dz
И вычислить интеграл по гамма z^аdz, где a из С гамма: |z|=1, 1^a=1 начало пути
помогите решить:
найти образ полосы 0<y<Pi при отображении w=cthz
Я нашла u=chx*shx/(sh^2(x)+sin^2(y))
v=-siny*cosy/(sh^2(x)+sin^2(y))
Как выяснить куда переходят границы?
при y=0, y=Pi получается u=cthx; v=0
и точка внутри линии, например Pi/2
(Сообщение отредактировал attention 7 дек. 2009 23:42)
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: июнь 2009 | Отправлено: 17 июня 2009 15:24 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Цитата: Ruf Dream написал 17 июня 2009 15:24
Помогите решить:
вычислить интеграл , считая, что обход замкнутых контуров происходит в положительном направлении
интеграл по гамма cosz/(z-1)(z^2+4)dz
И вычислить интеграл по гамма z^аdz, где a из С гамма: |z|=1, 1^a=1 начало пути
1. Не понятно какой контур.
2. Надо вместо z подставить e^(it), z^a = e^(ait), dz = ie^(it), промежуток интегрирования [0,2п]. Если а=-1, то интеграл равен 2пi.
Пусть а не равно -1. Тогда интеграл равен (e^(2пai) - 1)/(a+1).
Цитата: Ruf Dream написал 17 июня 2009 15:43
помогите решить:
найти образ полосы 0<y<Pi при отображении w=cthz
Я нашла u=chx*shx/(sh^2(x)+sin^2(y))
v=-siny*cosy/(sh^2(x)+sin^2(y))
Как выяснить куда переходят границы?
при y=0, y=Pi получается u=cthx; v=0
и точка внутри линии, например Pi/2
Образом полосы будет плоскость с разрезами: (-inf, -1) и (1, +inf). Чтобы убедиться в этом, возьмите прямоугольник: 0<y<Pi, -R<x<R. При отображении этого прямоугольника получите плоскость с нужными разрезами, только около точек -1 и 1 будут маленькие контуры, которые стягиваются к этим точкам, когда R-> inf.
(Сообщение отредактировал attention 7 дек. 2009 23:43)
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 17 июня 2009 17:10 | IP
|
|
|
Форум
2.2.2 Теория функций комплексного переменного (ТФКП)
