Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        2.5.4 Векторная алгебра и векторный анализ
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

RKI



Долгожитель

Nekomaru

Рассмотрим точное определение координат вектора.

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.

Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается i; единичный вектор, направленный вдоль оси y - j; вдоль оси z - k.

Вектора i, j, k называются координатными векторами.

По своему построению эти вектора некомпланарны, а значит, любой вектор a можно разложить по координатным векторам:
a = xi + yj + zk.

Коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Эти коэффициенты x, y, z называются координатами вектора a в данной системе координат.
-------------------------------------------------------------------------------
Возьмем произвольную точку M (x,y,z).

Радиус-вектором точки M по отношению к началу координат O называется вектор OM.

Вектор OM раскладывается по базису (i;j;k). Таким образом, точке M сопоставляется упорядоченная тройка чисел - координаты ее радиус-вектора.

OM {x,y,z}
----------------------------------------------------------------------------
Пусть даны координаты начала и конца вектора:
A (a1; a2; a3)
B (b1; b2; b3)

Необходимо найти координаты вектора AB.

Можно разложить вектор AB по базису (i;j;k), что затруднит задачу.

А можно сделать следующим образом (используя понятие радиус-вектора).

OA = {a1; a2; a3}
OB = {b1; b2; b3}

AB = OB - OA
AB = {b1-a1; b2-a2; b3-a3}

(Сообщение отредактировал RKI 12 сен. 2009 13:43)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 сен. 2009 12:31 | IP
Kristisha


Новичок

Здравствуйте, помогите, пожалуйста решить задачу!!!

Составить уравнение биссектрис углов, образованных прямыми 3х-у+5=0 и 3х+у-4=0

Всего сообщений: 3 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 2:01 | IP
attention



Долгожитель


Цитата: Kristisha написал 18 сен. 2009 1:01
Здравствуйте, помогите, пожалуйста решить задачу!!!

Составить уравнение биссектрис углов, образованных прямыми 3х-у+5=0 и 3х+у-4=0


Используем формулу уравнений двух биссектрис углов, образованных пересечением двух прямых:



В Вашем случае имеем:



Смотрите график




-----
Математический форум MathHelpPlanet.com

Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 18 сен. 2009 4:27 | IP
iong


Новичок

Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачи!
вот ссылка на фото задач:



Заранее спасибо за помощь!

(Сообщение отредактировал attention 9 дек. 2009 6:29)

Всего сообщений: 5 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 7:34 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: iong написал 18 сен. 2009 7:34
Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачи!
вот ссылка на фото задач:



Заранее спасибо за помощь!


Задание 3.

A (2; 1; -1)
B (3; 0; 1)
C (2; -1; 3)

D (x; y; z)

По условию задачи точка D лежит на оси OY, следовательно, x = z = 0.

D (0; y; 0)

Следующие веторы имеют следующие координаты:
DA {2; 1-y; -1}
DB {3; -y; -1}
DC {2; -1-y; 3}

Найдем смешанное произведение векторов DA, DB, DC.

(DA, DB, DC) = |2   1-y   -1| =
                       |3   -y     -1|
                       |2   -1-y   3|

= 2*|-y     -1| - (1-y)*|3  -1| + (-1)*|3      -y| =
      |-1-y   3|             |2   3|            |2   -1-y|

= 2(-3y-1-y) - (1-y)*(9+2) - 1*(-3-3y+2y) =

= 2(-4y-1) - 11(1-y) - (-3-y) = - 8y - 2 - 11 + 11y + 3 + y =

= 4y - 10

Объем пирамиды равен

V = (1/6)*|(DA, DB, DC)| = (1/6)*|4y - 10|

По условию задачи V = 5
(1/6)*|4y - 10| = 5
|4y - 10| = 30
4y - 10 = 30 или 4y - 10 = - 30
4y = 40 или 4y = - 20
y = 10 или y = - 5

D(0; 10; 0) или D(0; -5; 0)


Задание 1

|a| = 2
|b| = 5

угол (a;b) = 120

(a;b) = |a|*|b|*cos(a;b) = 2*5*cos120 = 10*(-0.5) = - 5

c = ta + 17b
d = 3a - b

(c;d) = (ta + 17b; 3a - b) = (ta; 3a - b) + (17b; 3a - b) =

= t(a; 3a - b) + 17(b; 3a - b) = t(3a - b; a) + 17(3a - b; b) =

= t(3a; a) - t(b; a) + 17(3a; b) - 17(b; b) =

= 3t(a; a) - t(a;b) + 51(a; b) - 17(b; b) =

= 3t(|a|^2) - t(a; b) + 51(a; b) - 17(|b|^2) =

= 3t*4 - t*(-5) + 51*(-5) - 17*25 =

= 12t + 5t - 255 - 425 = 17t - 680

(c;d) = 17t - 680

Векторы c и d перпендикулярны, если (c;d) = 0.

17t - 680 = 0

17t = 680

t = 40


Задание 2

Прямая l и прямая q проходят параллельно одному и тому же вектору e. Следовательно, прямые l и q параллельны.

Найдем расстояние d между этими прямыми.

|2-6   3+1| = |-4   4| = - 4 - 8 = - 12
|   2       1|     | 2   1|

|3+1   7-7| = |4   0| = 8 - 0 = 8
|   1        2|    |1   2|

|7-7   2-6| = |0   -4| = 0 + 8 = 8
|   2      2|     |2    2|

d = sqrt((-12)^2 + 8^2 + 8^2)/sqrt(2^2 + 2^2 + 1^2) =
= sqrt(144 + 64 + 64)/sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(272)/sqrt(9) =
= 4sqrt(17)/3

Формулу можно посмотреть здесь:
http://www.pm298.ru/prostr2.php
(конец страницы)


Задание 5

|a| = 1
|b| = 2
угол (a;b) = 120

(a; b) = |a|*|b|*cos(a; b) = 1*2*cos120 = 1*2*(-0.5) = - 1

KP = 3a + 2b

|KP|^2 = (KP, KP) = (3a + 2b; 3a + 2b) =

= (3a; 3a + 2b) + (2b; 3a + 2b) = 3(a; 3a + 2b) + 2(b; 3a + 2b) =

= 3(3a + 2b; a) + 2(3a + 2b; b) =

= 3(3a; a) + 3(2b; a) + 2(3a; b) + 2(2b; b) =

= 9(a; a) + 6(b; a) + 6(a; b) + 4(b; b) =

= 9|a|^2 + 6(a; b) + 6(a; b) + 4|b|^2 =

= 9|a|^2 + 12(a; b) + 4|b|^2 =

= 9*1 + 12*(-1) + 4*4 = 9 - 12 + 16 = 13

|KP| = sqrt(13)

F = 3a - 2b

|F|^2 = (F; F) = (3a - 2b; 3a - 2b) = (3a; 3a - 2b) - (2b; 3a - 2b) =

= 3(a; 3a - 2b) - 2(b; 3a - 2b) = 3(3a - 2b; a) - 2(3a - 2b; b) =

= 3(3a; a) - 3(2b; a) - 2(3a; b) + 2(2b; b) =

= 9(a; a) - 6(b; a) - 6(a; b) + 4(b; b) =

= 9|a|^2 - 6(a; b) - 6(a; b) + 4|b|^2 =

= 9|a|^2 - 12(a; b) + 4|b|^2 =

= 9*1 - 12*(-1) + 4*4 = 9 + 12 + 16 = 37

|F| = sqrt(37)

(KP; F) = (3a + 2b; 3a - 2b) = (3a; 3a - 2b) + (2b; 3a - 2b) =

= 3(a; 3a - 2b) + 2(b; 3a - 2b) = 3(3a - 2b; a) + 2(3a - 2b; b) =

= 3(3a; a) - 3(2b; a) + 2(3a; b) - 2(2b; b) =

= 9(a; a) - 6(b; a) + 6(a; b) - 4(b; b) =

= 9|a|^2 - 6(a; b) + 6(a; b) - 4|b|^2 =

= 9|a|^2 - 4|b|^2 = 9*1 - 4*4 = 9 - 16 = - 7

(KP; F) = |KP|*|F|*cos(KP; F) = sqrt(13)*sqrt(37)*cos(KP; F) =
= - 7

cos(KP; F) = - 7/sqrt(13*37)

(cos(KP; F))^2 = 49/481

(sin(KP; F))^2 = 1 - (cos(KP; F))^2 = 1 - 49/481 = 432/481

|sin(KP; F)| = sqrt(432/481)

величина момента равна
|KP X F| = |KP|*|F|*|sin(KP; F)| =

= sqrt(13)*sqrt(37)*sqrt(432/481) = sqrt(432) = 12sqrt(3)

(Сообщение отредактировал attention 9 дек. 2009 6:32)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 сен. 2009 11:40 | IP
iong


Новичок

Решите еще 4 задание то, пожалуйста! :-)
Мне скоро сдавать надо, а я ни как не могу его решить(

(Сообщение отредактировал iong 21 сен. 2009 13:26)

Всего сообщений: 5 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 20 сен. 2009 13:16 | IP
Ale



Новичок

помогите плз!!! 1.Точки K и L служат серединами сторон BС и CD параллелограмма ABCD. проложив AK=a-вект., AL=b-вект, нужно выразить а и в (векторы) указать векторы KD, KL.
2. Найти проекцию вектора "с" на напр. вектора 'd': с=(-4;5;2), d=(3;4;-6)
3. найти угол между векторами  "а" и "в" при указании усл.: модуль вект. "а"=3, модуль вект. "в"= 5, (вект"а"-"3в"вект.)в квадрате + (2"а"вект. + 4 вект. "в") в кв. =595
4. вычислить при каком значении альфа вект-ры а, в, с компланарны: вект. "а"=(альфа;2;-5) вект "в"(3;1;1) вект "с"(4;-1;0)
ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ, ЗАРАНЕЕ СПАСИБО!

Всего сообщений: 3 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 21 сен. 2009 18:52 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: Ale написал 21 сен. 2009 18:52

1.Точки K и L служат серединами сторон BС и CD параллелограмма ABCD. проложив AK=a-вект., AL=b-вект, нужно выразить а и в (векторы) указать векторы KD, KL.


AK = a
AL = b

KL = AL - AK = b - a

Обозначим векторы AB = DC = x; BC = AD = y.

BK = (1/2)BC = (1/2)y
DL = (1/2)DC = (1/2)x

AB + BK = AK
x + (1/2)y = a
x = a - (1/2)y

AD + DL = AL
y + (1/2)x = b
y + (1/2)a - (1/4)y = b
(3/4)y = b - (1/2)a
y = (4/3)b - (2/3)a

x = a - (1/2)y = a - (2/3)b + (1/3)a = (4/3)a - (2/3)b

KD = AD - AK = y - a = (4/3)b - (2/3)a - a = (4/3)b - (5/3)a



Цитата: Ale написал 21 сен. 2009 18:52

2. Найти проекцию вектора "с" на напр. вектора 'd': с=(-4;5;2), d=(3;4;-6)


c {-4; 5; 2}
d {3; 4; -6}

(c;d) = (-4)*3 + 5*4 + 2*(-6) = - 12 + 20 - 12 = - 4

|d|^2 = 3^2 + 4^2 + (-6)^2 = 9 + 16 + 36 = 61
|d| = sqrt(61)

(c;d) = пр*|d|

пр = (c;d)/|d| = - 4/sqrt(61)



Цитата: Ale написал 21 сен. 2009 18:52

4. вычислить при каком значении альфа вект-ры а, в, с компланарны: вект. "а"=(альфа;2;-5) вект "в"(3;1;1) вект "с"(4;-1;0)


a {a; 2; -5}
b {3; 1; 1}
c {4; -1; 0}

Векторы a, b, c являются компланарными тогда и только тогда, когда их смешанное произведение (a; b; c) равно нулю.

(a; b; c) = |a   2  -5| = a*| 1  1| - 2*|3  1| + (-5)*|3  1| =
               |3   1    1|        |-1  0|       |4  0|            |4 -1|
               |4  -1    0|

= a*(0 + 1) - 2*(0 - 4) - 5*(-3 - 4) = a*1 - 2*(-4) - 5*(-7) =

= a + 8 + 35 = a + 43 = 0

a = - 43

(Сообщение отредактировал attention 9 дек. 2009 6:33)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 сен. 2009 12:54 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: Ale написал 21 сен. 2009 18:52

3. найти угол между векторами  "а" и "в" при указании усл.: модуль вект. "а"=3, модуль вект. "в"= 5, (вект"а"-"3в"вект.)в квадрате + (2"а"вект. + 4 вект. "в") в кв. =595



|a| = 3
|b| = 5

|a-3b|^2 + |2a+4b|^2 = (a-3b; a-3b) + (2a+4b; 2a+4b) =

= (a;a) + (-3b;a) + (a;-3b) + (-3b;-3b) + (2a;2a) + (2a;4b) +
+ (4b;2a) + (4b;4b) =

= (a;a) - 3(b;a) - 3(a;b) + 9(b;b) + 4(a;a) + 8(a;b) + 8(b;a) +
+ 16(b;b) =

= 5(a;a) + 10(a;b) + 25(b;b) = 5|a|^2 + 10(a;b) + 25|b|^2 =

= 5*9 + 10(a;b) + 25*25 = 45 + 10(a;b) + 625 =

= 670 + 10(a;b) = 595

10(a;b) = - 75

(a;b) = - 7.5

(a;b) = |a|*|b|*cos(a;b) = 3*5*cos(a;b) = 15*cos(a;b) = - 7.5

cos(a;b) = - 0.5

угол (a;b) = arccos(-0.5) = 120 градусов

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 сен. 2009 13:12 | IP
iong


Новичок

RKI помоги решить четвертое задание, пожалуйста.
Даны векторы a=2i+j+3k и b={2;2;-1}. Найти проекцию c=a x b на ось, образующую с осью OX угол Pi/4, с OY угол Pi/3, с осью OZ острый угол.

Всего сообщений: 5 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 22 сен. 2009 18:48 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com