RKI 
Долгожитель
|
    
Nekomaru
Рассмотрим точное определение координат вектора.
Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.
Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается i; единичный вектор, направленный вдоль оси y - j; вдоль оси z - k.
Вектора i, j, k называются координатными векторами.
По своему построению эти вектора некомпланарны, а значит, любой вектор a можно разложить по координатным векторам:
a = xi + yj + zk.
Коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Эти коэффициенты x, y, z называются координатами вектора a в данной системе координат.
-------------------------------------------------------------------------------
Возьмем произвольную точку M (x,y,z).
Радиус-вектором точки M по отношению к началу координат O называется вектор OM.
Вектор OM раскладывается по базису (i;j;k). Таким образом, точке M сопоставляется упорядоченная тройка чисел - координаты ее радиус-вектора.
OM {x,y,z}
----------------------------------------------------------------------------
Пусть даны координаты начала и конца вектора:
A (a1; a2; a3)
B (b1; b2; b3)
Необходимо найти координаты вектора AB.
Можно разложить вектор AB по базису (i;j;k), что затруднит задачу.
А можно сделать следующим образом (используя понятие радиус-вектора).
OA = {a1; a2; a3}
OB = {b1; b2; b3}
AB = OB - OA
AB = {b1-a1; b2-a2; b3-a3}
(Сообщение отредактировал RKI 12 сен. 2009 13:43)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 12 сен. 2009 12:31 | IP
|
|
Kristisha
Новичок
|
  
Здравствуйте, помогите, пожалуйста решить задачу!!!
Составить уравнение биссектрис углов, образованных прямыми 3х-у+5=0 и 3х+у-4=0
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 2:01 | IP
|
|
attention
Долгожитель
|
Цитата: Kristisha написал 18 сен. 2009 1:01
Здравствуйте, помогите, пожалуйста решить задачу!!!
Составить уравнение биссектрис углов, образованных прямыми 3х-у+5=0 и 3х+у-4=0
Используем формулу уравнений двух биссектрис углов, образованных пересечением двух прямых:
В Вашем случае имеем:
Смотрите график
|
Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 18 сен. 2009 4:27 | IP
|
|
iong
Новичок
|
Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачи!
вот ссылка на фото задач:
Заранее спасибо за помощь!
(Сообщение отредактировал attention 9 дек. 2009 6:29)
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 18 сен. 2009 7:34 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: iong написал 18 сен. 2009 7:34
Здравствуйте! Помогите пожалуйста решить задачи!
вот ссылка на фото задач:
Заранее спасибо за помощь!
Задание 3.
A (2; 1; -1)
B (3; 0; 1)
C (2; -1; 3)
D (x; y; z)
По условию задачи точка D лежит на оси OY, следовательно, x = z = 0.
D (0; y; 0)
Следующие веторы имеют следующие координаты:
DA {2; 1-y; -1}
DB {3; -y; -1}
DC {2; -1-y; 3}
Найдем смешанное произведение векторов DA, DB, DC.
(DA, DB, DC) = |2 1-y -1| =
|3 -y -1|
|2 -1-y 3|
= 2*|-y -1| - (1-y)*|3 -1| + (-1)*|3 -y| =
|-1-y 3| |2 3| |2 -1-y|
= 2(-3y-1-y) - (1-y)*(9+2) - 1*(-3-3y+2y) =
= 2(-4y-1) - 11(1-y) - (-3-y) = - 8y - 2 - 11 + 11y + 3 + y =
= 4y - 10
Объем пирамиды равен
V = (1/6)*|(DA, DB, DC)| = (1/6)*|4y - 10|
По условию задачи V = 5
(1/6)*|4y - 10| = 5
|4y - 10| = 30
4y - 10 = 30 или 4y - 10 = - 30
4y = 40 или 4y = - 20
y = 10 или y = - 5
D(0; 10; 0) или D(0; -5; 0)
Задание 1
|a| = 2
|b| = 5
угол (a;b) = 120
(a;b) = |a|*|b|*cos(a;b) = 2*5*cos120 = 10*(-0.5) = - 5
c = ta + 17b
d = 3a - b
(c;d) = (ta + 17b; 3a - b) = (ta; 3a - b) + (17b; 3a - b) =
= t(a; 3a - b) + 17(b; 3a - b) = t(3a - b; a) + 17(3a - b; b) =
= t(3a; a) - t(b; a) + 17(3a; b) - 17(b; b) =
= 3t(a; a) - t(a;b) + 51(a; b) - 17(b; b) =
= 3t(|a|^2) - t(a; b) + 51(a; b) - 17(|b|^2) =
= 3t*4 - t*(-5) + 51*(-5) - 17*25 =
= 12t + 5t - 255 - 425 = 17t - 680
(c;d) = 17t - 680
Векторы c и d перпендикулярны, если (c;d) = 0.
17t - 680 = 0
17t = 680
t = 40
Задание 2
Прямая l и прямая q проходят параллельно одному и тому же вектору e. Следовательно, прямые l и q параллельны.
Найдем расстояние d между этими прямыми.
|2-6 3+1| = |-4 4| = - 4 - 8 = - 12
| 2 1| | 2 1|
|3+1 7-7| = |4 0| = 8 - 0 = 8
| 1 2| |1 2|
|7-7 2-6| = |0 -4| = 0 + 8 = 8
| 2 2| |2 2|
d = sqrt((-12)^2 + 8^2 + 8^2)/sqrt(2^2 + 2^2 + 1^2) =
= sqrt(144 + 64 + 64)/sqrt(4 + 4 + 1) = sqrt(272)/sqrt(9) =
= 4sqrt(17)/3
Формулу можно посмотреть здесь:
внешняя ссылка удалена
(конец страницы)
Задание 5
|a| = 1
|b| = 2
угол (a;b) = 120
(a; b) = |a|*|b|*cos(a; b) = 1*2*cos120 = 1*2*(-0.5) = - 1
KP = 3a + 2b
|KP|^2 = (KP, KP) = (3a + 2b; 3a + 2b) =
= (3a; 3a + 2b) + (2b; 3a + 2b) = 3(a; 3a + 2b) + 2(b; 3a + 2b) =
= 3(3a + 2b; a) + 2(3a + 2b; b) =
= 3(3a; a) + 3(2b; a) + 2(3a; b) + 2(2b; b) =
= 9(a; a) + 6(b; a) + 6(a; b) + 4(b; b) =
= 9|a|^2 + 6(a; b) + 6(a; b) + 4|b|^2 =
= 9|a|^2 + 12(a; b) + 4|b|^2 =
= 9*1 + 12*(-1) + 4*4 = 9 - 12 + 16 = 13
|KP| = sqrt(13)
F = 3a - 2b
|F|^2 = (F; F) = (3a - 2b; 3a - 2b) = (3a; 3a - 2b) - (2b; 3a - 2b) =
= 3(a; 3a - 2b) - 2(b; 3a - 2b) = 3(3a - 2b; a) - 2(3a - 2b; b) =
= 3(3a; a) - 3(2b; a) - 2(3a; b) + 2(2b; b) =
= 9(a; a) - 6(b; a) - 6(a; b) + 4(b; b) =
= 9|a|^2 - 6(a; b) - 6(a; b) + 4|b|^2 =
= 9|a|^2 - 12(a; b) + 4|b|^2 =
= 9*1 - 12*(-1) + 4*4 = 9 + 12 + 16 = 37
|F| = sqrt(37)
(KP; F) = (3a + 2b; 3a - 2b) = (3a; 3a - 2b) + (2b; 3a - 2b) =
= 3(a; 3a - 2b) + 2(b; 3a - 2b) = 3(3a - 2b; a) + 2(3a - 2b; b) =
= 3(3a; a) - 3(2b; a) + 2(3a; b) - 2(2b; b) =
= 9(a; a) - 6(b; a) + 6(a; b) - 4(b; b) =
= 9|a|^2 - 6(a; b) + 6(a; b) - 4|b|^2 =
= 9|a|^2 - 4|b|^2 = 9*1 - 4*4 = 9 - 16 = - 7
(KP; F) = |KP|*|F|*cos(KP; F) = sqrt(13)*sqrt(37)*cos(KP; F) =
= - 7
cos(KP; F) = - 7/sqrt(13*37)
(cos(KP; F))^2 = 49/481
(sin(KP; F))^2 = 1 - (cos(KP; F))^2 = 1 - 49/481 = 432/481
|sin(KP; F)| = sqrt(432/481)
величина момента равна
|KP X F| = |KP|*|F|*|sin(KP; F)| =
= sqrt(13)*sqrt(37)*sqrt(432/481) = sqrt(432) = 12sqrt(3)
(Сообщение отредактировал attention 9 дек. 2009 6:32)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 сен. 2009 11:40 | IP
|
|
iong
Новичок
|
Решите еще 4 задание то, пожалуйста! :-)
Мне скоро сдавать надо, а я ни как не могу его решить(
(Сообщение отредактировал iong 21 сен. 2009 13:26)
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 20 сен. 2009 13:16 | IP
|
|
Ale
Новичок
|
помогите плз!!! 1.Точки K и L служат серединами сторон BС и CD параллелограмма ABCD. проложив AK=a-вект., AL=b-вект, нужно выразить а и в (векторы) указать векторы KD, KL.
2. Найти проекцию вектора "с" на напр. вектора 'd': с=(-4;5;2), d=(3;4;-6)
3. найти угол между векторами "а" и "в" при указании усл.: модуль вект. "а"=3, модуль вект. "в"= 5, (вект"а"-"3в"вект.)в квадрате + (2"а"вект. + 4 вект. "в") в кв. =595
4. вычислить при каком значении альфа вект-ры а, в, с компланарны: вект. "а"=(альфа;2;-5) вект "в"(3;1;1) вект "с"(4;-1;0)
ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ, ЗАРАНЕЕ СПАСИБО!
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 21 сен. 2009 18:52 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Ale написал 21 сен. 2009 18:52
1.Точки K и L служат серединами сторон BС и CD параллелограмма ABCD. проложив AK=a-вект., AL=b-вект, нужно выразить а и в (векторы) указать векторы KD, KL.
AK = a
AL = b
KL = AL - AK = b - a
Обозначим векторы AB = DC = x; BC = AD = y.
BK = (1/2)BC = (1/2)y
DL = (1/2)DC = (1/2)x
AB + BK = AK
x + (1/2)y = a
x = a - (1/2)y
AD + DL = AL
y + (1/2)x = b
y + (1/2)a - (1/4)y = b
(3/4)y = b - (1/2)a
y = (4/3)b - (2/3)a
x = a - (1/2)y = a - (2/3)b + (1/3)a = (4/3)a - (2/3)b
KD = AD - AK = y - a = (4/3)b - (2/3)a - a = (4/3)b - (5/3)a
Цитата: Ale написал 21 сен. 2009 18:52
2. Найти проекцию вектора "с" на напр. вектора 'd': с=(-4;5;2), d=(3;4;-6)
c {-4; 5; 2}
d {3; 4; -6}
(c;d) = (-4)*3 + 5*4 + 2*(-6) = - 12 + 20 - 12 = - 4
|d|^2 = 3^2 + 4^2 + (-6)^2 = 9 + 16 + 36 = 61
|d| = sqrt(61)
(c;d) = пр*|d|
пр = (c;d)/|d| = - 4/sqrt(61)
Цитата: Ale написал 21 сен. 2009 18:52
4. вычислить при каком значении альфа вект-ры а, в, с компланарны: вект. "а"=(альфа;2;-5) вект "в"(3;1;1) вект "с"(4;-1;0)
a {a; 2; -5}
b {3; 1; 1}
c {4; -1; 0}
Векторы a, b, c являются компланарными тогда и только тогда, когда их смешанное произведение (a; b; c) равно нулю.
(a; b; c) = |a 2 -5| = a*| 1 1| - 2*|3 1| + (-5)*|3 1| =
|3 1 1| |-1 0| |4 0| |4 -1|
|4 -1 0|
= a*(0 + 1) - 2*(0 - 4) - 5*(-3 - 4) = a*1 - 2*(-4) - 5*(-7) =
= a + 8 + 35 = a + 43 = 0
a = - 43
(Сообщение отредактировал attention 9 дек. 2009 6:33)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 сен. 2009 12:54 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Ale написал 21 сен. 2009 18:52
3. найти угол между векторами "а" и "в" при указании усл.: модуль вект. "а"=3, модуль вект. "в"= 5, (вект"а"-"3в"вект.)в квадрате + (2"а"вект. + 4 вект. "в") в кв. =595
|a| = 3
|b| = 5
|a-3b|^2 + |2a+4b|^2 = (a-3b; a-3b) + (2a+4b; 2a+4b) =
= (a;a) + (-3b;a) + (a;-3b) + (-3b;-3b) + (2a;2a) + (2a;4b) +
+ (4b;2a) + (4b;4b) =
= (a;a) - 3(b;a) - 3(a;b) + 9(b;b) + 4(a;a) + 8(a;b) + 8(b;a) +
+ 16(b;b) =
= 5(a;a) + 10(a;b) + 25(b;b) = 5|a|^2 + 10(a;b) + 25|b|^2 =
= 5*9 + 10(a;b) + 25*25 = 45 + 10(a;b) + 625 =
= 670 + 10(a;b) = 595
10(a;b) = - 75
(a;b) = - 7.5
(a;b) = |a|*|b|*cos(a;b) = 3*5*cos(a;b) = 15*cos(a;b) = - 7.5
cos(a;b) = - 0.5
угол (a;b) = arccos(-0.5) = 120 градусов
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 сен. 2009 13:12 | IP
|
|
iong
Новичок
|
RKI помоги решить четвертое задание, пожалуйста.
Даны векторы a=2i+j+3k и b={2;2;-1}. Найти проекцию c=a x b на ось, образующую с осью OX угол Pi/4, с OY угол Pi/3, с осью OZ острый угол.
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: сентябрь 2009 | Отправлено: 22 сен. 2009 18:48 | IP
|
|
|
Форум
2.5.4 Векторная алгебра и векторный анализ
