Форум - 2.1.8 Кратные интегралы (двойные, тройные, ..., N-кратные) [20]

Форум	» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация \| Профиль \| Войти \| Забытый пароль \| Присутствующие \| Справка \| Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация

	Форум Математика 2.1.8 Кратные интегралы (двойные, тройные, ..., N-кратные)
	Отметить все сообщения как прочитанные [ Помощь ] » Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>

Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise

ProstoVasya

Долгожитель
Haker0502
Эта замена переменных аналогична той, что мы с Вами обсуждали. Основная идея - подынтегральная функция должна зависеть от одной переменной. На прямых линиях ax+by = С подынтегральная функция постоянна. Таким образом надо ввести переменную, скажем t = ax+by или что-то подобное с точностью до умножения на число. В качестве другой переменной выберем семейство прямых ортогональное к выписанному ранее. Это, скажем, -bx +ay = s, с точностью до умножения на число. Это число выбираем так, чтобы якобиан равнялся 1. Это ортогональное преобразование плоскости, переводящее единичный круг в себя.

Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 23 нояб. 2009 22:38 | IP

Haker0502

Участник

Цитата: ProstoVasya написал 23 нояб. 2009 22:38
t = ax+by или что-то подобное с точностью до умножения на число. -bx +ay = s, с точностью до умножения на число. Это число выбираем так, чтобы якобиан равнялся 1.

В моем случае, насколько я понял, это число равно

$\frac{1} { {\sqrt {a^2 + b^2 } } }$

Отсюда,

$t = \frac{ {ax + by} } { {\sqrt {a^2 + b^2 } } };\quad\ s = \frac{ {ay - bx} } { {\sqrt {a^2 + b^2 } } } }$

Я правильно понял???

(Сообщение отредактировал Haker0502 23 нояб. 2009 23:01)

Всего сообщений: 109 | Присоединился: декабрь 2007 | Отправлено: 23 нояб. 2009 22:58 | IP

ProstoVasya

Долгожитель
Да, правильно. Это такой поворот плоскости, что подынтегральная функция зависит от одной переменной.

Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 23 нояб. 2009 23:03 | IP

Haker0502

Участник

Цитата: ProstoVasya написал 23 нояб. 2009 23:03
Да, правильно. Это такой поворот плоскости, что подынтегральная функция зависит от одной переменной.

А число 1/sqrt(a^2+b^2) разве возможно подобрать простым перебором, в смысле, наугад? Или для этого есть определенные методы???

Всего сообщений: 109 | Присоединился: декабрь 2007 | Отправлено: 23 нояб. 2009 23:35 | IP

ProstoVasya

Долгожитель
Haker0502
Число sqrt(a^2+b^2) - длина векторов {a, b} и {-b, a}. Поэтому t и s - это проекции на новые координатные орты.

Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 24 нояб. 2009 7:32 | IP

Haker0502

Участник

Цитата: ProstoVasya написал 24 нояб. 2009 7:32
Haker0502
Число sqrt(a^2+b^2) - длина векторов {a, b} и {-b, a}. Поэтому t и s - это проекции на новые координатные орты.

Спасибо большое, что бы я без Вас делал!

Помогите, пожалуста, готовлюсь к контрольной и не могу преодолеть двух заданий:
1.
$\iint\limits_{\left| x \right| + \left| y \right| \leqslant 1} {\left( {\left| x \right| + \left| y \right|} \right)}dxdy$

2.
$\iint\limits_\Omega {\sqrt {1 - \frac{ {x^2 } } { {a^2 } } - \frac{ {y^2 } } { {b^2 } } } }dxdy$ , где область $\Omega$ ограничена эллипсом $\frac{ {x^2 } } { {a^2 } } + \frac{ {y^2 } } { {b^2 } } = 1$

Относительно первого, у меня был похожий интеграл и вот как он сводился с помощью замены, а с этим так не получается — в результате выходит ноль.
$\iint\limits_{\left| x \right| + \left| y \right| \leqslant 1} {f\left( {x + y} \right)}dxdy = \int\limits_{ - 1}^1 {f(u)du}$

Помогите пожалуста. Огромное спасибо!

(Сообщение отредактировал attention 23 дек. 2009 10:38)

Всего сообщений: 109 | Присоединился: декабрь 2007 | Отправлено: 24 нояб. 2009 10:37 | IP

attention

Долгожитель

Цитата: Haker0502 написал 27 нояб. 2009 19:18
Помогите, пожалуста, готовлюсь к контрольной и не могу преодолеть двух заданий:
1.
$\iint\limits_{\left| x \right| + \left| y \right| \leqslant 1} {\left( {\left| x \right| + \left| y \right|} \right)}dxdy$

2.
$\iint\limits_\Omega {\sqrt {1 - \frac{ {x^2 } } { {a^2 } } - \frac{ {y^2 } } { {b^2 } } } }dxdy$ , где область $\Omega$ ограничена эллипсом $\frac{ {x^2 } } { {a^2 } } + \frac{ {y^2 } } { {b^2 } } = 1$

Относительно первого, у меня был похожий интеграл и вот как он сводился с помощью замены, а с этим так не получается — в результате выходит ноль.
$\iint\limits_{\left| x \right| + \left| y \right| \leqslant 1} {f\left( {x + y} \right)}dxdy = \int\limits_{ - 1}^1 {f(u)du}$

Помогите пожалуста. Огромное спасибо!

Подсказка для 1

$\iint\limits_{\left| x \right| + \left| y \right| \leqslant 1} {\left( {\left| x \right| + \left| y \right|} \right) dx dy} = 4\int\limits_0^1 {dx\int\limits_0^{1 - x} {\left( {x + y} \right) dy} } = \ldots$

Всего сообщений: 994 | Присоединился: апрель 2006 | Отправлено: 29 нояб. 2009 23:33 | IP

ProstoVasya

Долгожитель
Во втором интеграле выполните замену
x = a r cost
y = b r sint

Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 30 нояб. 2009 20:09 | IP

Haker0502

Участник

Цитата: ProstoVasya написал 30 нояб. 2009 20:09
Во втором интеграле выполните замену
x = a r cost
y = b r sint

Извините меня за тупой вопрос: откуда Вы узнали, что надо делать именно такую замену?

Всего сообщений: 109 | Присоединился: декабрь 2007 | Отправлено: 30 нояб. 2009 21:02 | IP

ProstoVasya

Долгожитель
При a = b =1, Вы бы и сами сказали, что нужны полярные координаты.

Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 30 нояб. 2009 21:05 | IP

Отправка ответа:

Имя пользователя Вы зарегистрировались?
Пароль Забыли пароль?
Сообщение
Использование HTML запрещено
Использование IkonCode разрешено
Смайлики разрешены

Опции отправки
Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да Нет

Переход к теме
<< Назад Вперед >> Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 ]