Roman Osipov 
Долгожитель
|
        
Вопросы, задачи и теория, связанные с понятиями двойных, тройных, ..., N-кратных интегралов.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 25 нояб. 2008 21:25 | IP
|
|
Tinuvielle
Новичок
|
Не знала, куда постить эту задачу (не нашла на форуме темы по двойным-тройным интегралам), решила запостить сюда, потому что задача всё равно по интегралам  .
Не могу её никак решить.
Надо найти центр тяжести однородного тела, которое ограничено поверхностью z=Sqrt(x^2+y^2) (известно, что это конус) и плоскостью z=2.
Насколько я знаю, для однородного тела, надо вычислить сначала его V, потом уже по этому объёму интегрировать...
Но у меня не получается составить интегралы и не могу понять, с какими пределами интегрировать... (В случае двойных-тройных интегралов, когда заданы уравнения поверхностей, вообще почему-то не могу никак понять с расстановкой пределов...)
Помогите пожалуйста решить такую задачу.
Заранее спасибо огромное.
|
Всего сообщений: 25 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 25 нояб. 2008 21:29 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 25 нояб. 2008 23:13 | IP
|
|
Tinuvielle
Новичок
|
ProstoVasya, спасибо большое, уже более-менее поняла))
Единственное, вот хотелось бы разобраться вот в чём :
1) Как можно обосновать что координаты x и y центра тяжести равны нулю? (Это в принципе достаточно очевидный факт, но вдруг и это как-то математически можно написать.)
2) И ещё: как вы тут вычисляли объём? чтобы получился V= 8pi/3.
У меня с объёмом такая же головоломка как и с основной задачей...
А так, по тому, какая у этого тела проекция на XOY и какие пределы интеграла, и какой ход решения у этой задачи, разобралась, спасибо большое.
|
Всего сообщений: 25 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 26 нояб. 2008 21:06 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
1) Когда будете вычислять статические моменты относительно других плоскостей, то под интегралом вместо z будут стоять либо х либо у. Но такие интегралы заведомо равны 0, т.к. подынтегральная функция нечётна в объёме V (замена х на -х не меняет V, но меняет знак перед интегралом, и интеграл будет равняться себе с другим знаком, т.е. он ноль). Можно по другому. Интеграл -предел интегральных сумм, который не зависит от способа дробления. Поэтому мы в праве разбить V на нужные участки. Из-за симметрии V можно выбрать симметричные участки на которых нечётная функция отличается знаком. Тогда интегральн7ая сумма равна нулю при измельчении дробления, т. предел равен нулю. Наконец, третий способ - просто вычислить эти интегралы в цилиндрической системе координат и получить ноль.
2) Объём конуса равен одной трети высоты умноженной на площадь основания (школа).
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 26 нояб. 2008 21:44 | IP
|
|
Tinuvielle
Новичок
|
ProstoVasya, ещё если можно такой вопрос по картинке:
Область тела, которую мы в задаче рассматриваем -- ограниченная z=0 и z=2 == её центр находится на оси Z, или сбоку, как показано на картинке?
То есть,я просто вычитала, что раз центр тяжести на оси Z -- значит тело симметрично вокруг этой оси, и нахоодится как бы не сбокуот неё, а вокруг неё самой? Это правильно я предсполагаю?
И ещё, я понимаю, что это определение объёма со школы (правда, и та давновато уже была), но мне сказано именно с помощью интеграла решать... составить интеграл с требуемыми пределами по формуле:
V= (тройной int по V)dxdydz и найти объём именно по этой формуле. ВЫ не подскажете, как это правильно сделать?
Благодарю...
|
Всего сообщений: 25 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 1 дек. 2008 19:24 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Ось OZ проходит как раз сквозь вершину конуса (он у нас перевёрнут, остриём вниз). Я просто не умею рисовать.
А с объёмом просто. Нужно повторить прежние вычисления с небольшими изменениями.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 1 дек. 2008 22:03 | IP
|
|
Tinuvielle
Новичок
|
ProstoVasya, спасибо большое за то, что помогли.
Вроде бы разобралась с этой задачкой
|
Всего сообщений: 25 | Присоединился: ноябрь 2008 | Отправлено: 2 дек. 2008 18:39 | IP
|
|
MADD
Начинающий
|
Подскажите, пожалуйста, кто знает, верно ли я нашел площадь фигуры, ограниченной линиями
Вот, как я решал
(Сообщение отредактировал MADD 8 дек. 2008 21:30)
|
Всего сообщений: 65 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 8 дек. 2008 20:04 | IP
|
|
Roman Osipov
Долгожитель
|
Если только такими линиями, то не верно.
|
Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 8 дек. 2008 20:19 | IP
|
|
|
Форум
2.1.8 Кратные интегралы (двойные, тройные, ..., N-кратные)
