RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР77.
Монету подбрасывают до тех пор, пока герб не выпадет второй раз, при этом делают не более четырех проб. Найти распределение вероятностей числа подбрасываний.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число подбрасываний до второго выпадения герба. Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=2} - герб выпал первый и второй раз
{X=3} - герб выпал в один из первых двух опытов и в третьем опыте
{X=4} - герб выпал в один из трех опытов и в четвертом опыте ИЛИ герб выпал только в четвертом опыте ИЛИ герб не выпал вообще ИЛИ герб выпал в одном из трех опытов, а в четвертом опыте выпала решка
P(X=2) = (1/2)*(1/2) = 1/4
P(X=3) = C(1;2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) = 2*(1/8) = 1/4
P(X=4) = C(1;3)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) +
+ (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) + (1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) +
+ C(1;3)*(1/2)*(1/2)*(1/2)*(1/2) =
= 3/16 + 1/16 + 1/16 + 3/16 = 8/16 = 1/2
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X 2 3 4
P 1/4 1/4 1/2
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 17:51 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР78.
Среди пяти ключей два подходят к двери. Ключи пробуют один за другим, пока не откроют дверь. Найти распределение вероятностей для числа опробованных ключей.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число опробованных ключей. Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=1} - первый ключ подошёл
{X=2} - первый ключ не подошёл, второй ключ подошёл
{X=3} - первый и второй ключи не подошли, третий ключ подошёл
{X=4} - первые три ключа не подошли, четвёртый ключ подошёл
P(X=1) = 2/5 = 0.4
P(X=2) = (3/5)*(2/4) = 3/10 = 0.3
P(X=3) = (3/5)*(2/4)*(2/3) = 1/5 = 0.2
P(X=4) = (3/5)*(2/4)*(1/3)*(2/2) = 1/10 = 0.1
Закон распределения случайной величины X имеет вид
X 1 2 3 4
P 0.4 0.3 0.2 0.1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 18:09 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР79.
Докажите, что для случайной величины X, паспределенной по закону Пуассона с параметром a(лямбда), математическое ожидание M(X)=a, а дисперсия D(X)=a.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Распределение Пуассона
X=m, m=0,1,2,...
P(X=m) = (a^m)*e^(-a)/m!, m=0,1,2,...
M(X) = sum_{m=0}^{00} m*(a^m)*e^(-a)/m! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} m*(a^m)/m! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} a*(a^(m-1))/(m-1)! =
= e^(-a)*a*sum_{m=1}^{00} (a^(m-1))/(m-1)! =
= e^(-a)*a*sum_{n=0}^{00} (a^n)/n! =
= e^(-a)*a*e^(a) = a
M(X) = a
M(X^2) = sum_{m=0}^{00} (m^2)*(a^m)*e^(-a)/m! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (m^2)*(a^m)/m! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} m*(a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (m-1+1)*(a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=1}^{00}[(m-1)*(a^m)/(m-1)! + (a^m)/(m-1)!]= e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (m-1)*(a^m)/(m-1)! +
+ e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=2}^{00} (m-1)*(a^m)/(m-1)! +
+ e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=2}^{00} (a^m)/(m-2)! +
+ e^(-a)*sum_{m=1}^{00} (a^m)/(m-1)! =
= e^(-a)*sum_{m=2}^{00} (a^2)*(a^(m-2))/(m-2)! +
+ e^(-a)*sum_{m=1}^{00} a*(a^(m-1))/(m-1)! =
= e^(-a)*(a^2)*sum_{m=2}^{00} (a^(m-2))/(m-2)! +
+ e^(-a)*a*sum_{m=1}^{00} (a^(m-1))/(m-1)! =
= e^(-a)*(a^2)*sum_{n=0}^{00} (a^n)/n! +
+ e^(-a)*a*sum_{m=k}^{00} (a^k)/k! =
= e^(-a)*(a^2)*e^a + e^(-a)*a*e^a = a^2 + a
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = a^2 + a - a^2 = a
D(X) = a
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 18:44 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР80.
Докажите, что для случайной величины X, распределенной по закону Бернулли с параметрами n и p, математическое ожидание M(X)=np, D(X)=np(1-p).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
X - случайная величина, распределённая по закону Бернулли с параметрами n и p.
X=m, m=0,1,2,...,n
P(X=m) = C(m;n)*(p^m)*((1-p)^(n-m))
Представим случайную величину X в виде
X = X1 + X2 + ... + Xn, где Xi=0 в случае неудачи в i-том испытании (вероятность p) и Xi=1 - в случае удачи (вероятность 1-p).
M(Xi) = 0*(1-p) + 1*p = p
M(X) = M(X1 + X2 + ... + Xn) = M(X1) + M(X2) + ... + M(Xn) =
= p + p + ... + p = np
M(X) = np
M((Xi)^2) = 0*(1-p) + 1*p = p
D(Xi) = M((Xi)^2) - (M(Xi))^2 = p - p^2 = p(1-p)
D(X) = D(X1 + X2 + ... + Xn) = D(X1) + D(X2) + ... + D(Xn) =
= p(1-p) + p(1-p) + ... + p(1-p) = np(1-p)
D(X) = np(1-p)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 янв. 2009 19:14 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР81.
Докажите, что для случайной величины X, распределенной по геометрическому закону с параметром p, математическое ожидание M(X)=1/p, а дисперсия D(X)=(1-p)/p^2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
X - случайная величина, распределенная по геометрическому закону с параметром p.
X=m, m=1,2,...
P(X=m) = p(1-p)^(m-1)
M(X) = sum_{m=1}^{00} mp(1-p)^(m-1) =
= p*sum_{m=1}^{00} m(1-p)^(m-1) =
= -p*sum_{m=0}^{00} ((1-p)^m)' =
= -p*(sum_{m=0}^{00} (1-p)^m)' =
= -p*(1/(1-1+p))' =
= -p*(1/p)' = (-p)*(-1/p^2) = 1/p
M(X) = 1/p
M(X^2) = sum_{m=1}^{00} (m^2)*p(1-p)^(m-1) =
= p*sum_{m=1}^{00} (m^2)*(1-p)^(m-1) =
= p*sum_{m=1}^{00} m*m*(1-p)^(m-1) =
= p*sum_{m=1}^{00} m*(m-1+1)*(1-p)^(m-1) =
= p*sum_{m=1}^{00} m*(m-1)*(1-p)^(m-1) +
+ p*sum_{m=1}^{00} m*(1-p)^(m-1) =
= p*(1-p)*sum_{m=2}^{00} m*(m-1)*(1-p)^(m-2) +
+ p*sum_{m=1}^{00} m*(1-p)^(m-1) =
= p*(1-p)*sum_{m=0}^{00} ((1-p)^m)'' -
- p*sum_{m=0}^{00} ((1-p)^m)' =
= p*(1-p)*(sum_{m=0}^{00} (1-p)^m )'' -
- p*(sum_{m=0}^{00} (1-p)^m )' =
= p*(1-p)*(1/(1-1+p))'' - p*(1/(1-1+p))' =
= p(1-p)*(1/p)'' - p*(1/p)' =
= p(1-p)*(2/p^3) + p*(1/p^2) =
= (2-p)/p^2
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 =
= (2-p)/p^2 - (1/p^2) = (1-p)/p^2
D(X) = (1-p)/p^2
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 11:17 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР82.
К контролёру с конвейера поступили 4 детали. Вероятность брака для каждой детали равна 0,1. Детали проверяют одну за другой, пока не наберут две доброкачественные. Найти распределение вероятностей для числа проверенных деталей.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число проверенных деталей.
Данная случайная величина принимает следующие значения
{X=2} - первая и вторая деаль доброкачественные
{X=3} - одна из первых двух и третья детали доброкачественные
{X=4} - все четыре детали бракованные ИЛИ одна из первых трех деталей доброкачественная, а четвертая деталь - бракованная или доброкачественная ИЛИ первые три детали бракованные, а четвертая деталь - качественная.
P(X=2) = (0.9)*(0.9) = 0.81
P(X=3) = C(1;2)*(0.1)*(0.9)*(0.9) = 0.162
P(X=4) = (0.1)^4 + C(1;3)*(0.9)*(0.1)*(0.1)*(0.1 + 0.9) +
+ (0.9)*(0.1)^3 =
= 0.0001 + 0.027 + 0.0009 = 0.028
Ряд распределения случайной величины X имеет вид
X 2 3 4
P 0.81 0.162 0.028
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 11:27 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР83.
На станцию обслуживания заявки поступают случайно в соответствии с распределением Пуассона при a=2. Мощность станции позволяет обслуживать не более двух заявок за единицу времени. Найти вероятность того, что в течение данной единицы времени:
а) станция не справится с потоком заказов и образуется очередь;
б) станция обслуживания будет простаивать или работать не на полную мощность;
в) на станции обслуживания очередь не образуется.
РЕШЕНИЕ.
a=2
a) P(m>2) = 1 - P(m<=2) =
= 1 - P(m=0) - P(m=1) - P(m=2) =
= 1 - ((2^0)/0!)*e^(-2) - ((2^1)/1!)*e^(-2) - ((2^2)/2!)*e^(-2) =
= 1 - e^(-2) - 2e^(-2) - 2e^(-2) =
= 1 - 5e^(-2) = 0.3233
б) P(m=0) + P(m=1) =
= ((2^0)/0!)*e^(-2) + ((2^1)/1!)*e^(-2) =
= e^(-2) + 2e^(-2) = 3e^(-2) = 0.4060
в) P(m=0) + P(m=1) + P(m=2) =
= ((2^0)/0!)*e^(-2) + ((2^1)/1!)*e^(-2) + ((2^2)/2!)*e^(-2) =
= e^(-2) + 2e^(-2) + 2e^(-2) = 5e^(-2) = 0.6767
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 11:38 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР84.
В процессе производства изделие высшего качества удается получить только с вероятностью 0,2. С конвейера наугад берут детали до тех пор, пока не будет отобрано изделие высшего качества. Найти математическое ожидание числа проверенных деталей.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число проверенных деталей
X=m, m=1,2,3,...
P(X=m) = p(1-p)^(m-1)
p=0.2
Случайная величина X распределена по геометрическому закону с параметром p=0.2.
M(X) = 1/(0.2) = 5 (см. пример 81).
(Сообщение отредактировал RKI 20 янв. 2009 11:51)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 11:43 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР85.
Сдача экзамена по математике производится до получения положительного результата. Шансы сдать экзамен остаются неизменными и составляют 20%. Найти математическое ожидание числа попыток сдачи экзамена.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число попыток сдачи экзамена.
X=m, m=1,2,3,...
P(X=m) = p(1-p)^(m-1)
p=0.2
Случайная величина X распределена по геометрическому закону с параметром p=0.2.
M(X) = 1/(0.2) = 5 (см. пример 81).
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 11:50 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР86.
В шестиламповом радиоприемнике перегорела одна лампа. Лампы заменяют одну за другой, пока приёмник не заработает. Найти математическое ожидание и дисперсию числа замененных ламп.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число замененных ламп.
Данная случайная величина может принимать следующие значения
{X=1} - заменили перегоревшую лампу
{X=2} - заменили работающую и перегоревшую лампы
{X=3} - заменили две работающих и перегоревшую лампы
{X=4} - заменили три работающих и перегоревшую лампы
{X=5} - заменили четыре реботающих и одну перегоревшую лампы
{X=6} - заменили все работающие и перегоревшую лампы
P(X=1) = 1/6
P(X=2) = (5/6)*(1/5) = 1/6
P(X=3) = (5/6)*(4/5)*(1/4) = 1/6
P(X=4) = (5/6)*(4/5)*(3/4)*(1/3) = 1/6
P(X=5) = (5/6)*(4/5)*(3/4)*(2/3)*(1/2) = 1/6
P(X=6) = (5/6)*(4/5)*(3/4)*(2/3)*(1/2)*(1/1) = 1/6
Ряд распределения случайной величины X имеет вид
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
M(X) = 1*(1/6) + 2*(1/6) + 3*(1/6) + 4*(1/6) + 5*(1/6) + 6*(1/6) = (1/6)*(1+2+3+4+5+6) = 21/6 = 7/2
M(X^2) = (1/6)*(1+4+9+16+25+36) = 91/6
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (91/6) - (49/4) =
= (364-294)/24 = 70/24 = 35/12
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 янв. 2009 12:06 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
