RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР 564
X и Y - независимые случайные величины, распределённые по равномерному закону на отрезке [0;4]. Найти вероятность того, что квадратное уравнение t^2 + Xt + Y = 0 (относительно t) имеет действительные корни.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [0;4]. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1/4, 0 <= x <= 4
{0, иначе
Случайная величина Y имеет равномерное распределение на отрезке [0;4]. Следовательно, плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {1/4, 0 <= y <= 4
{0, иначе
Случайные величины X и Y являются независимыми по условию задачи. Тогда плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) равна h(x,y) = f(x)g(y), то есть
h(x,y) = {1/16, 0 <= x <= 4, 0 <= y <= 4
{0, иначе
t^2 + Xt + Y = 0
Квадратное уравнение имеет действительные корни, если его дискриминант неотрицателен:
D = X^2 - 4Y >= 0
P(D >= 0) = P(X^2 - 4Y >= 0) = P(Y <= (X^2)/4) =
= int_{0}^{4} [int_{0}^{(x^2)/4} h(x,y)dy] dx =
= int_{0}^{4} [int_{0}^{(x^2)/4} dy/16] dx =
= int_{0}^{4} (1/16)[int_{0}^{(x^2)/4} dy]dx =
= int_{0}^{4} (x^2)dx/64 = (x^3)/192 |_{0}^{4} =
= 64/192 - 0 = 1/3
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 авг. 2009 11:57 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 565
Случайные величины X ~ N(a1; б1), Y ~ N(a2; б2). Найти закон распределения случайной величины Z = X+Y.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a1 и б1: X ~ N(a1; б1).
Случайная величина Y имеет нормальное распределение с параметрами a2 и б2: Y ~ N(a2; б2).
Плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид:
f(x,y) = [1/2П(б1)(б2)sqrt(1-r^2)]*Exp{-[1/2(1-r^2)][((x-a1)/б1)^2 - 2r(x-a1)(y-a2)/(б1)(б2) + ((y-a2)/б2)^2]},
где r = r(X,Y).
Так как о независимости случайных величин X и Y ничего неизвестно, то плотность распределения p(x) случайной величины Z = X+Y может быть найдена по формуле:
p(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(y, x-y)dy =
= [1/2П(б1)(б2)sqrt(1-r^2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-[1/2(1-r^2)][((y-a1)/б1)^2 - 2r(y-a1)(x-y-a2)/(б1)(б2) + ((x-y-a2)/б2)^2]}dy =
= [u = y-a1; v = x-a1-a2; v-u = x-y-a2; du = dy] =
= [1/2П(б1)(б2)sqrt(1-r^2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-[1/2(1-r^2)][(u/б1)^2 - 2ru(v-u)/(б1)(б2) + ((v-u)/б2)^2]}du = (!)
Рассмотрим показатель степени.
(u/б1)^2 - 2ru(v-u)/(б1)(б2) + ((v-u)/б2)^2 =
= (u^2)/(б1)^2 - 2ruv/(б1)(б2) + 2r(u^2)/(б1)(б2) + (v^2)/(б2)^2 - 2uv/(б2)^2 + (u^2)/(б2)^2 =
= [1/(б1)^2 + 2r/(б1)(б2) + 1/(б2)^2](u^2) - 2uv[r/(б1) + 1/(б2)]/(б2) + (v^2)/(б2)^2 =
= [((б2)^2 + 2r(б1)(б2) + (б1)^2)/((б1)^2)((б2)^2)](u^2) - 2uv(r(б2) + (б1))/(б1)(б2)^2 + (v^2)/(б2)^2 =
= [sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)u/(б1)(б2)]^2 - 2*[sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)u/(б1)(б2)]*[(r(б2) + (б1))v/(б2)sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)] + (((r(б2) + (б1))v)^2)/((б2)^2)((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2) - (((r(б2) + (б1))v)^2)/((б2)^2)((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2) + (v^2)/(б2)^2 =
= [sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)u/(б1)(б2) - (r(б2) + (б1))v/(б2)sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)]^2 + (1-r^2)(v^2)/((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)
(!) = [1/2П(б1)(б2)sqrt(1-r^2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{- [1/2(1-r^2)][sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)u/(б1)(б2) - (r(б2) + (б1))v/(б2)sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)]^2 - (v^2)/2((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)}du =
= [1/2П(б1)(б2)sqrt(1-r^2)]*Exp{- (v^2)/2((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)}*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{- [1/2(1-r^2)][sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)u/(б1)(б2) - (r(б2) + (б1))v/(б2)sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)]^2}du =
= [z = [1/sqrt(1-r^2)][sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)u/(б1)(б2) - (r(б2) + (б1))v/(б2)sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)}} =
= [1/2Пsqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)]*Exp{- (v^2)/2((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)}*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-(z^2)/2}dz =
= [1/2Пsqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)]*Exp{- (v^2)/2((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)}*[sqrt(2П)] =
= [1/sqrt(2П)sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)]*Exp{- (v^2)/2((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)}*[sqrt(2П)] =
= [1/sqrt(2П)sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)]*Exp{- ((x-a1-a2)^2)/2((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)} =
= [a = a1+a2; б = sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2)] =
= [1/sqrt(2П)б]*Exp{- ((x-a)^2)/2(б^2)}
Плотность распределения случайной величины Z = X+Y имеет вид:
p(x) = [1/sqrt(2П)б]*Exp{- ((x-a)^2)/2(б^2)}.
Это означает, что случайная величина Z имеет нормальное распределение с параметрами a и б, где a = a1+a2, б = sqrt((б1)^2 + 2r(б1)(б2) + (б2)^2): Z ~ N(a;б).
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 авг. 2009 11:30 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 566
Доказать неравенство Маркова: Если случайная величина X имеет конечное математическое ожидание M(X), то для любого e>0 справедливо неравенство
P(|X| >= e) <= M(|X|)/e.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Потребуется следующее понятие. Пусть A - некоторое событие. Индикатором события A называется случайная величина I(A), равная единице, если событие A произошло, и нулю, если A не произошло.
Величина I(A) имеет распределение Бернулли с параметром p = P(I(A)=1) = P(A). Математическое ожидание случайной величины I(A) равно вероятности успеха p = P(A).
Индикаторы прямого и противоположного событий связаны равенством I(A) + I(не A) = 1.
|X| = |X|*I(|X|<e) + |X|*I(|X|>=e) >= |X|*I(|X|>=e) >= e*I(|X| >= e)
M(|X|) >= M(e*I(|X| >= e)) = e*M(I(|X| >= e)) = e*P(|X| >= e)
P(|X| >= e) <= M(|X|)/e
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 авг. 2009 11:10 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 567
Доказать обобщенное неравенство Чебышева: пусть функция g(.) не убывает и неотрицательна. Если M(g(X)) - конечная величина, то для любого e
P(X >= e) <= M(g(X))/g(e).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Поскольку функция g(.) не убывает, то
P(X >= e) <= P(g(X) >= g(e)).
Последнюю вероятность оценим согласно неравенству Маркова (пример 566), которое можно применять в силу неотрицательности g(.):
P(X >= e) <= P(g(X) >= g(e)) <= M(g(X))/g(e).
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 авг. 2009 11:19 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 568 (см. пример 567)
Доказать неравенство Чебышева - Бьенеме: если M(X^2) - конечная величина, то для любого e > 0
P(|X - M(X)| >= e) <= D(X)/(e^2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Для e > 0 неравенство |X - M(X)| >= e равносильно неравенству (X - M(X))^2 >= e^2, поэтому
P(|X - M(X)| >= e) = P((X - M(X))^2 >= e^2) <=
<= M((X - M(X))^2)/(e^2) = D(X)/(e^2).
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 авг. 2009 11:27 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 569 (см. пример 568)
Правило трёх сигм. С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность P(|X - M(X)| < 3б(X)) для произвольной случайной величины с конечным математическим ожиданием и конечной дисперсией.
РЕШЕНИЕ.
P(|X - M(X)| < 3б(X)) = 1 - P(|X - M(X)| >= 3б(X)) >=
>= 1 - D(X)/9(б(X))^2 = 1 - D(X)/9D(X) = 1 - 1/9 = 8/9
P(|X - M(X)| < 3б(X)) >= 8/9
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 авг. 2009 11:31 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 570
Для новогоднего праздника Петя должен сделать гирлянду из 400 электрических лампочек. Он решает включить их параллельно. Лампочки оказались очень низкого качества - вероятность того, что какая-либо из них погаснет во время праздника, составляет 0,5. С помощью неравенства Чебышёва оценить вероятность того, что число горящих лампочек будет заключено между 100 и 300.
РЕШЕНИЕ.
Пусть случайная величина X - число горящих лампочек.
n = 400
p = 0.5 - вероятность того, что лампочка будет гореть
q = 1-p = 0.5 - вероятность того, что лампочка погаснет
Случайная величина X имеет распределение Бернулли с параметрами n = 400 и p = 0.5: X ~ B(400; 0.5). Следовательно,
M(X) = np = 400*(0.5) = 200
D(X) = npq = 400*(0.5)*(0.5) = 100
P(100 <= X <= 300) = P(100-M(X) <= X-M(X) <= 300-M(X)) =
= P(100-200 <= X-M(X) <= 300-200) = P(-100 <= X-M(X) <= 100) =
= P(|X-M(X)| <= 100) = 1 - P(|X-M(X)| > 100) > 1 - D(X)/10000 =
= 1 - 100/10000 = 1 - 0.01 = 0.99
P(100 <= X <= 300) > 0.99
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 30 авг. 2009 11:41 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 571
Инвестор покупает ценные бумаги за счёт кредита, взятого с процентной ставкой r под залог своей недвижимости. Доходность ценных бумаг X представляет собой случайную величину с математическим ожиданием a > r и средним квадратичным отклонением s. Оценить вероятность того, что инвестор не сможет вернуть кредит: а) не имея никаких сведений о характере закона распределения случайной величины X, зная только, что она положительна; б) предполагая случайную величину X распределённой по нормальному закону.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - доходность ценных бумаг.
а) Известно, что случайная величина X положительна. В данной ситуации возможно воспользоваться только неравенством Маркова (пример 566):
P(X < r) = 1 - P(X >= r) >= 1 - M(X)/r = 1 - a/r = (r-a)/r
P(X < r) >= (r-a)/r
По данным задачи a > r. Следовательно,
P(X < r) >= (r-a)/r, где (r-a)/r - отрицательное число.
Таким образом, неравенство Маркова не дает никакой информации, так как вероятность любого события заведомо больше произвольного отрицательного числа.
б) Известно, что X ~ N(a;s).
P(X < r) = 0.5 + Ф((r-a)/s).
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 авг. 2009 13:07 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 572
Сумма всех вкладов в некотором банке составляет 2 000 000 денежных единиц, а вероятность того, что случайно взятый вклад не превысит 10 000 денежных единиц, равна 0,8. Оценить число вкладчиков банка.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - размер случайно выбранного вклада.
Пусть n - число вкладчиков. Тогда средний размер вклада равен
M(X) = 2000000/n.
По неравенству Маркова (пример 566);
0.8 = P(X <= 10 000) = 1 - P(X > 10 000) > 1 - M(X)/10000
1 - M(X)/10000 < 0.8
- M(X)/10000 < - 0.2
M(X)/10000 > 0.2
M(X) > 2000
2000000/n > 2000
n/2000000 < 1/2000
n < 1000
n < 1000
Число вкладчиков не превышает 1000 человек.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 31 авг. 2009 13:13 | IP
|
|
FizMaster
Новичок
|
Решебник Кузнецова по Высшей математике!
внешняя ссылка удалена
Моментально: внешняя ссылка удалена
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: август 2009 | Отправлено: 31 авг. 2009 15:24 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
