RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР 554
Случайная величина X имеет плотность распределения f(x). Найти плотность распределения случайной величины Y = |1-X|.
РЕШЕНИЕ
Случайная величина X имеет плотность распределения f(x).
Y = |1-X|
F(y) = P(Y < y) = P(|1-X| < y)
Если y <= 0, то F(y) = P(|1-X| < y) = 0.
Если y > 0, то
F(y) = P(|1-X| < y) = P(-y < 1-X < y) = P(-y-1 < -X < y-1) =
= P(1-y < X < 1+y) = int_{1-y}^{1+y} f(x)dx
Функция распределения случайной величины Y имеет вид:
F(y) = {int_{1-y}^{1+y} f(x)dx, y > 0
{0, y <= 0
Плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
f(y) = {f(1+y) + f(1-y), y > 0
{0, y < 0
(Сообщение отредактировал RKI 20 авг. 2009 12:21)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 авг. 2009 11:08 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 555
Случайная величина X ~ R(-П/2; П/2). Найти плотность распределения случайной величины Y = cosX.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X имеет равномерное распределение на интервале (-П/2; П/2): X ~ R(-П/2; П/2).
Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1/П, -П/2 < x < П/2
{0, иначе
Y = cosX
F(y) = P(Y < y) = P(cosX < y)
Если y <= 0, то F(y) = P(cosX < y) = 0.
Если 0 < y <= 1, то
F(y) = P(cosX < y) =
= P({-П/2 < X < -arccosy} + {arccosy < X < П/2}) =
= P(-П/2 < X < -arccosy) + P(arccosy < X < П/2) =
= int_{-П/2}^{-arccosy} f(x)dx + int_{arccosy}^{П/2} f(x)dx =
= int_{-П/2}^{-arccosy} dx/П + int_{arccosy}^{П/2} dx/П =
= (1/П)(-arccosy + П/2) + (1/П)(П/2 - arccosy) =
= (1/П)(-arccosy + П/2 + П/2 - arccosy) = (1/П)(2П - 2arccosy)
Если y > 1, то
F(y) = P(cosX < y) = P(-П/2 < X < П/2) =
= int_{-П/2}^{П/2} f(x)dx = int_{-П/2}^{П/2} dx/П =
= (1/П)(П/2 + П/2) = (1/П)*П = 1
Функция распределения случайной величины Y имеет вид:
F(y) = {0, y <= 0
{(1/П)(2П - 2arccosy), 0 < y <= 1
{1, y > 1
Плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
f(y) = {0, y < 0
{2/Пsqrt(1-y^2), 0 < y < 1
{0, y > 1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 авг. 2009 12:20 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 556
X1, X2, ..., Xn - независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке [0;1]. Найти функцию распределения случайной величины X = max{X1, X2, ..., Xn}.
РЕШЕНИЕ.
Случайные величины Xi (i=1,2,...,n) имеют равномерное распределение на отрезке [0;1]: Xi ~ R[0;1].
Функции распределения случайных величин Xi (i=1,2,...,n) имеют вид:
Fi(x) = {0, x <= 0
{x, 0 < x <= 1
{1, x > 1.
X = max{X1, X2, ..., Xn}
F(x) = P(X < x) = P(max{X1, X2, ..., Xn} < x) =
= P(X1 < x, X2 < x, ..., Xn < x) =
= [случайные величины X1, X2, ..., Xn являются независимыми] =
= P(X1 < x)*P(X2 < x)*...*P(Xn < x) = F1(x)*F2(x)*...*Fn(x).
Если x <= 0, то F(x) = 0*0*...*0 = 0.
Если 0 < x <= 1, то F(x) = x*x*...*x = x^n.
Если x > 1, то F(x) = 1*1*...*1 = 1.
Функция распределения случайной величины X имеет вид:
F(x) = {0, x <= 0
{x^n, 0 < x <= 1
{1, x > 1
Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {0, x <= 0
{n(x^(n-1)), 0 < x < 1
{0, x > 1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 авг. 2009 10:46 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 557
X1, X2, ..., Xn - независимые случайные величины, каждая из которых имеет плотность распределения
f(x) = {ax, 0 <= x <= 1
{0, иначе.
Найти плотность распределения случайной величины X = min{X1, X2, ..., Xn}.
РЕШЕНИЕ.
fi(x) = {ax, 0 <= x <= 1
{0, иначе
Определим значение неизвестной a.
1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx + int_{0}^{1} f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx + int_{0}^{1} axdx +
+ int_{1}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + a(x^2)/2 |_{0}^{1} + 0 = a/2
a/2 = 1; a = 2
fi(x) = {2x, 0 <= x <= 1
{0, иначе
Построим функции распределения Fi(x) случайных величин Xi (i=1,2,...,n).
Fi(x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt
Если x <= 0, то
Fi(x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0.
Если 0 < x <= 1, то
Fi(x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} fi(t)dt + int_{0}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dt + int_{0}^{x} 2tdt =
= 0 + (t^2) |_{0}^{x} = x^2.
Если x > 1, то
Fi(x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} fi(t)dt + int_{0}^{1} fi(t)dt +
+ int_{1}^{+бесконечность} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dt + int_{0}^{1} 2tdt +
+ int_{1}^{+бесконечность} 0*dt =
= 0 + (t^2) |_{0}^{1} + 0 = 1.
Fi(x) = {0, x <= 0
{x^2, 0 < x <= 1
{1, x > 1
X = min{X1, X2, ..., Xn}
F(x) = P(X<x) = 1 - P(X >= x) = 1 - P(min{X1,X2,...,Xn} >= x) =
= 1 - P(X1 >= x, X2 >= x, ..., Xn >= x) =
= [случайные величины X1, X2, ..., Xn являются независимыми] =
= 1 - P(X1 >= x)*P(X2 >= x)*...*P(Xn >= x) =
= 1 - [1 - P(X1 < x)]*[1 - P(X2 < x)]*...*[1 - P(Xn < x)] =
= 1 - [1 - F1(x)]*[1 - F2(x)]*...*[1 - Fn(x)].
Если x <= 0, то F(x) = 1 - (1-0)(1-0)...(1-0) = 1 - 1 = 0.
Если 0 < x <= 1, то
F(x) = 1 - [1 - x^2]*[1 - x^2]*...*[1 - x^2] = 1 - (1 - x^2)^n.
Если x > 1, то F(x) = 1 - (1-1)(1-1)...(1-1) = 1 - 0 = 1.
Функция распределения случайной величины X имеет вид:
F(x) = {0, x <= 0
{1 - (1 - x^2)^n, 0 < x <= 1
{1, x > 1
Плотность распределения случайной величины X имет вид:
f(x) = {0, x <= 0
{2nx((1 - x^2)^(n-1)), 0 < x <= 1
{0, x > 1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 21 авг. 2009 11:08 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 558
Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1;3], а случайная величина Y распределена равномерно на отрезке [2;6]. Случайные величины X и Y являются независимыми. Найти плотность распределения случайной величины Z = X+Y.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X имеет равномерное распределение на отрезке [1;3]. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1/2, 1 <= x <= 3
{0, иначе
Случайная величина Y имеет равномерное распределение на отрезке [2;6]. Следовательно, плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {1/4, 2 <= y <= 6
{0, иначе
Z = X + Y
Так как случайные величины X и Y являются независимыми, то плотность распределения p(x) случайной величины Z может быть найдена с помощью формулы свертки:
p(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{2} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{2}^{6} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{6}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{2} f(x-y)*0*dy +
+ int_{2}^{6} f(x-y)*(1/4)*dy +
+ int_{6}^{+бесконечность} f(x-y)*0*dy =
= 0 + (1/4)*int_{2}^{6} f(x-y)dy + 0 =
= (1/4)*int_{2}^{6} f(x-y)dy = [z = x-y; dz = -dy] =
= -(1/4)*int_{x-2}^{x-6} f(z)dz =
= (1/4)*int_{x-6}^{x-2} f(z)dz
p(x) = (1/4)*int_{x-6}^{x-2} f(z)dz
Если x < 3, то есть x-2 < 1, x-6 < -3, то
p(x) = (1/4)*int_{x-6}^{x-2} 0*dz = 0.
Если 3 <= x < 5, то есть 1 <= x-2 < 3, -3 <= x-6 < -1, то
p(x) = (1/4)*int_{x-6}^{1} f(z)dz +
+ (1/4)*int_{1}^{x-2} f(z)dz =
= (1/4)*int_{x-6}^{1} 0*dz + (1/4)*int_{1}^{x-2} (1/2)dz =
= 0 + (1/8)*int_{1}^{x-2} dz = (1/8)(x-2-1) = (x-3)/8
Если 5 <= x < 7, то есть 3 <= x-2 < 5, -1 <= x-6 < 1, то
p(x) = (1/4)*int_{x-6}^{1} f(z)dz +
+ (1/4)*int_{1}^{3} f(z)dz + (1/4)*int_{3}^{x-2} f(z)dz =
= (1/4)*int_{x-6}^{1} 0*dz + (1/4)*int_{1}^{3} (1/2)dz +
+ (1/4)*int_{3}^{x-2} 0*dz =
= 0 + (1/8)*int_{1}^{3} dz + 0 = (1/8)*(3-1) = 1/4
Если 7 <= x < 9, то есть 5 <= x-2 < 7, 1 <= x-6 < 3, то
p(x) = (1/4)*int_{x-6}^{3} f(z)dz +
+ (1/4)*int_{3}^{x-2} f(z)dz =
= (1/4)*int_{x-6}^{3} (1/2)dz + (1/4)*int_{3}^{x-2} 0*dz =
= (1/8)*int_{x-6}^{3} dz + 0 = (1/8)*(3-x+6) = (9-x)/8
Если x >= 9, то есть x-2 >= 7, x-6 >= 3, то
p(x) = (1/4)*int_{x-6}^{x-2} 0*dz = 0.
Таким образом, плотность распределения случайной величины Z=X+Y имеет вид:
p(x) = {0, x < 3
{(x-3)/8, 3 <= x < 5
{1/4, 5 <= x < 7
{(9-x)/8, 7 <= x < 9
{0, x >= 9
(Сообщение отредактировал RKI 25 авг. 2009 9:16)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 авг. 2009 11:19 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 559
Троллейбусы движутся с интервалом 8 мин, поезда метро - с интервалом 2 мин независимо друг от друга. Определить закон суммарного времени ожидания транспорта случайно выбранным пассажиром, пользующимся, чтобы добраться на работу, троллейбусом и метро (без пересадок в метро).
РЕШЕНИЕ.
Пусть случайная величина X - время ожидания троллейбуса. Данная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [0;8]. Сделовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1/8, 0 <= x <= 8
{0, иначе
Пусть случайная величина Y - время ожидания поезда метро. Данная случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке [0;2]. Сделовательно, плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {1/2, 0 <= y <= 2
{0, иначе
Z = X+Y - суммарное время ожидания транспорта
Так как случайные величины X и Y независимы, то плотность распределения p(x) случайной величины Z может быть найдена с помощью формулы свертки:
p(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{0}^{2} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{2}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x-y)*0*dy +
+ int_{0}^{2} f(x-y)*(1/2)*dy +
+ int_{2}^{+бесконечность} f(x-y)*0*dy =
= 0 + (1/2)*int_{0}^{2} f(x-y)dy + 0 =
= (1/2)*int_{0}^{2} f(x-y)dy = [z = x-y] =
= - (1/2)*int_{x}^{x-2} f(z)dz =
= (1/2)*int_{x-2}^{x} f(z)dz
p(x) = (1/2)*int_{x-2}^{x} f(z)dz
Если x < 0, то есть x - 2 < -2, то
p(x) = (1/2)*int_{x-2}^{x} 0*dz = 0.
Если 0 <= x < 2, то есть x-2 < 0, то
p(x) = (1/2)*int_{x-2}^{0} f(z)dz +
+ (1/2)*int_{0}^{x} f(z)dz =
= (1/2)*int_{x-2}^{0} 0*dz + (1/2)*int_{0}^{x} (1/8)*dz =
= 0 + (1/16)*int_{0}^{x} dz = (1/16)(x-0) = x/16.
Если 2 <= x < 8, то есть 0 <= x-2 < 6, то
p(x) = (1/2)*int_{x-2}^{x} f(z)dz =
= (1/2)*int_{x-2}^{x} (1/8)dz =
= (1/16)*int_{x-2}^{x} dz = (1/16)*(x-x+2) = 2/16 = 1/8.
Если 8 <= x < 10, то есть 6 <= x-2 < 8, то
p(x) = (1/2)*int_{x-2}^{8} f(z)dz +
+ (1/2)*int_{8}^{x} f(z)dz =
= (1/2)*int_{x-2}^{8} (1/8)dz + (1/2)*int_{8}^{x} 0*dz =
= (1/16)*int_{x-2}^{8} + 0 = (1/16)(8-x+2) = (10-x)/16.
Если x >= 10, то есть x-2 >= 8, то
p(x) = (1/2)*int_{x-2}^{x} 0*dz = 0.
Таким образом, плотность распределения случайной величины Z=X+Y имеет вид:
p(x) = {0, x < 0
{x/16, 0 <= x < 2
{1/8, 2 <= x < 8
{(10-x)/16, 8 <= x < 10
{0, x >= 10
(Сообщение отредактировал RKI 25 авг. 2009 9:17)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 авг. 2009 11:40 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 560
Найти закон распределения суммы двух независимых случайных величин, распределённых по закону Пуассона с параметрами l и m соответственно.
РЕШЕНИЕ.
Пусть случайная величина X распределена по закону Пуассона с параметром l: X ~ P(l).
P(X=k) = (l^k)(e^(-l))/k!, k=0,1,2,...
Пусть случайная величина Y распределена по закону Пуассона с параметром m: Y ~ P(m).
P(Y=k) = (m^k)(e^(-m))/k!, k=0,1,2,...
((l+m)^k)/k! =
= [sum_{s=0}^{k} C(s;k)(l^s)(m^(k-s))]/k! =
= sum_{s=0}^{k} C(s;k)(l^s)(m^(k-s))/k! =
= sum_{s=0}^{k} k!(l^s)(m^(k-s))/k!s!(k-s)! =
= sum_{s=0}^{k} (l^s)(m^(k-s))/s!(k-s)!
Таким образом,
sum_{s=0}^{k} (l^s)(m^(k-s))/s!(k-s)! = ((l+m)^k)/k!.
Z = X+Y
P(Z=k) = P(X+Y=k) = sum_{s=0}^{k} P(X=s, Y=k-s) =
= [случайные величины X и Y являются независимыми] =
= sum_{s=0}^{k} P(X=s)P(Y=k-s) =
= sum_{s=0}^{k} (l^s)(e^(-l))(m^(k-s))(e^(-m))/s!(k-s)! =
= (e^(-l))*(e^(-m))*sum_{s=0}^{k} (l^s))(m^(k-s))/s!(k-s)! =
= (e^(-(l+m)))*sum_{s=0}^{k} (l^s))(m^(k-s))/s!(k-s)! =
= (e^(-(l+m)))*((l+m)^k)/k!
Таким образом,
P(Z=k) = (e^(-(l+m)))*((l+m)^k)/k!, k=0,1,2,...
Это означает, что случайная величина Z=X+Y распределена по закону Пуассона с параметром l+m: Z ~ P(l+m).
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 авг. 2009 16:35 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 561
Случайные величины X и Y независимы и имеют нормальные распределения с параметрами a1, б1 и a2, б2 соответственно. Доказать, что X+Y имеет нормальное распределение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a1 и б1: X ~ N(a1, б1). Тогда плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = [1/sqrt(2П)б1]*Exp{-((x-a1)^2)/2(б1)^2}.
Случайная величина Y имеет нормальное распределение с параметрами a2 и б2: Y ~ N(a2, б2). Тогда плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(x) = [1/sqrt(2П)б2]*Exp{-((x-a2)^2)/2(б2)^2}.
Z = X + Y
Так как случайные величины X и Y являются независимыми, то плотность распределения p(x) случайной величины Z определяется по формуле свертки:
p(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} [1/sqrt(2П)б1]*Exp{-((x-y-a1)^2)/2(б1)^2}*[1/sqrt(2П)б2]*Exp{-((y-a2)^2)/2(б2)^2}dy =
= [1/2П(б1)(б2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-((x-y-a1)^2)/2(б1)^2}*Exp{-((y-a2)^2)/2(б2)^2}dy =
= [v = y - a2; u = x - a1 - a2] =
= [1/2П(б1)(б2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-((u-v)^2)/2(б1)^2}*Exp{-(v^2)/2(б2)^2}dv =
= [1/2П(б1)(б2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-(1/2)*[((u-v)^2)/(б1)^2 + (v^2)/(б2)^2]}dv = (!)
рассмотрим показатель степени.
((u-v)^2)/(б1)^2 + (v^2)/(б2)^2 =
= (u^2 - 2uv + v^2)/(б1)^2 + (v^2)/(б2)^2 =
= (u^2)/(б1)^2 - 2uv/(б1)^2 + (v^2)/(б1)^2 + (v^2)/(б2)^2 =
= [1/(б1)^2 + 1/(б2)^2](v^2) - 2uv/(б1)^2 + (u^2)/(б1)^2 =
= ((б1)^2 + (б2)^2)(v^2)/(((б1)^2)((б2)^2)) - 2uv/(б1)^2 + (u^2)/(б1)^2 =
= ((б1)^2 + (б2)^2)(v^2)/(((б1)^2)((б2)^2)) - 2*[sqrt((б1)^2 + (б2)^2)v/(б1)(б2)]*[u(б2)/(б1)sqrt((б1)^2 + (б2)^2)] + (u^2)((б2)^2)/((б1)^2)((б1)^2 + (б2)^2) - (u^2)((б2)^2)/((б1)^2)((б1)^2 + (б2)^2) + (u^2)/(б1)^2 =
= [(sqrt((б1)^2 + (б2)^2))v/(б1)(б2) - u(б2)/(б1)sqrt((б1)^2 + (б2)^2)]^2 - (u^2)((б2)^2)/((б1)^2)((б1)^2 + (б2)^2) + (u^2)/(б1)^2 =
= [(sqrt((б1)^2 + (б2)^2))v/(б1)(б2) - u(б2)/(б1)sqrt((б1)^2 + (б2)^2)]^2 + (u^2)/((б1)^2 + (б2)^2)
(!) = [1/2П(б1)(б2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-(1/2)*[((u-v)^2)/(б1)^2 + (v^2)/(б2)^2]}dv =
= [1/2П(б1)(б2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-[(sqrt((б1)^2 + (б2)^2))v/(б1)(б2) - u(б2)/(б1)sqrt((б1)^2 + (б2)^2)]^2/2 - (u^2)/2((б1)^2 + (б2)^2)}dv =
= [1/2П(б1)(б2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-[(sqrt((б1)^2 + (б2)^2))v/(б1)(б2) - u(б2)/(б1)sqrt((б1)^2 + (б2)^2)]^2/2}*Exp{- (u^2)/2((б1)^2 + (б2)^2)}dv =
= [1/2П(б1)(б2)]*Exp{- (u^2)/2((б1)^2 + (б2)^2)}*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-[(sqrt((б1)^2 + (б2)^2))v/(б1)(б2) - u(б2)/(б1)sqrt((б1)^2 + (б2)^2)]^2/2}dv =
= [z = (sqrt((б1)^2 + (б2)^2))v/(б1)(б2) - u(б2)/(б1)sqrt((б1)^2 + (б2)^2); dz = (sqrt((б1)^2 + (б2)^2))dv/(б1)(б2)] =
= [1/2Пsqrt((б1)^2 + (б2)^2)]*Exp{- (u^2)/2((б1)^2 + (б2)^2)}*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-(z^2)/2}dz =
= [1/2Пsqrt((б1)^2 + (б2)^2)]*Exp{- (u^2)/2((б1)^2 + (б2)^2)}*[sqrt(2П)] =
= [1/sqrt(2П)sqrt((б1)^2 + (б2)^2)]*Exp{- (u^2)/2((б1)^2 + (б2)^2)} =
= [1/sqrt(2П)sqrt((б1)^2 + (б2)^2)]*Exp{- ((x - a1 - a2)^2)/2((б1)^2 + (б2)^2)} =
= [a = a1 + a2; б = sqrt((б1)^2 + (б2)^2)] =
= [1/sqrt(2П)б]*Exp{- ((x - a)^2)/2(б^2)}.
p(x) = [1/sqrt(2П)б]*Exp{- ((x - a)^2)/2(б^2)}, где a = a1 + a2, б = sqrt((б1)^2 + (б2)^2).
Это означает, что случайная величина X + Y имеет нормальное распределение с параметрами a = a1 + a2, б = sqrt((б1)^2 + (б2)^2): X + Y ~ N(a1 + a2; sqrt((б1)^2 + (б2)^2)).
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 25 авг. 2009 11:28 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 562 (см. пример 561)
Независимые случайные величины Xi распределены по нормальному закону Xi ~ N(ai; бi), i = 1,2,...,n. Найти закон распределения случайной величины X = sum_{i=1}^{n} (ci)(Xi), где ci - неслучайные постоянные.
РЕШЕНИЕ.
X = sum_{i=1}^{n} (ci)(Xi)
Случайная величина X имееет нормальное распределение с параметрами a и б, где
a = M(X) = M(sum_{i=1}^{n} (ci)(Xi)) =
= sum_{i=1}^{n} M((ci)(Xi)) =
= sum_{i=1}^{n} (ci)M(Xi) =
= sum_{i=1}^{n} (ci)(ai)
б^2 = D(X) = D(sum_{i=1}^{n} (ci)(Xi)) =
= [случайные величины Xi (i=1,2,...,n) являются независимыми] =
= sum_{i=1}^{n} D((ci)(Xi)) =
= sum_{i=1}^{n} ((ci)^2)D(Xi) =
= sum_{i=1}^{n} ((ci)^2)((бi)^2) =
= sum_{i=1}^{n} ((ci)(бi))^2
б = sqrt[sum_{i=1}^{n} ((ci)(бi))^2]
Таким образом,
X ~ N(sum_{i=1}^{n} (ci)(ai); sqrt[sum_{i=1}^{n} ((ci)(бi))^2]).
(Сообщение отредактировал RKI 25 авг. 2009 11:44)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 25 авг. 2009 11:43 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 563 (см. пример 561)
Автомат заполняет банки кофе. Масса кофе и масса банки независимо друг от друга распределены нормально со средними 500 г, 50 г и средними квадратичными отклонениями 8 г, 6 г соответственно. Какова вероятность того, что масса готовой к продаже банки будет меньше 540 г?
РЕШЕНИЕ.
Пусть случайная величина X - масса кофе. Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами 500 г и 8 г: X ~ N(500; 8).
Пусть случайная величина Y - масса банки. Случайная величина Y имеет нормальное распределение с параметрами 50 г и 6 г: Y ~ N(50; 6).
Z = X + Y
Случайная величина Z имеет также нормальное распределение с параметрами:
a = a1 + a2 = 500 + 50 = 550
б = sqrt((б1)^2 + (б2)^2) = sqrt(64 + 36) = sqrt(100) = 10.
Z ~ N(550; 10)
P(Z < 540) = 0.5 + Ф((540 - 550)/10) = 0.5 + Ф(-1) =
= 0.5 - Ф(1) ~ 0.5 - 0.3413 = 0.1587
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 25 авг. 2009 13:33 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
