RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР 545
Средние квадратичные отклонения случайных величин X и Y равны соответственно 5 и 4. Определить наибольшее возможное значение cov(X,Y).
РЕШЕНИЕ.
б(X) = 5
б(Y) = 4
r(X,Y) = cov(X,Y)/б(X)б(Y) = cov(X,Y)/20
cov(X,Y) = 20r(X,Y)
Наибольшее значение коэффициента корреляции r(X,Y) равно 1. Следовательно, наибольшее возможное значение ковариации равно 20*1 = 20.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 14 авг. 2009 11:49 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 546
Ожидаемая доходность первого актива равна 8% со средним квадратичным отклонением 7%, ожидаемая доходность второго актива равна 11% со средним квадратичным отклонением 10%. Коэффициент корреляции между этими активами составляет 0,7. Найти ожидаемую доходность и среднее квадратичное отклонение портфеля, состоящего на 35% из первого актива и на 65% - из второго.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - доходность первого актива. Известно, что M(X) = 8% = 0.08, б(X) = 7% = 0.07.
Случайная величина Y - доходность второго актива. Известно, что M(Y) = 11% = 0.11, б(Y) = 10% = 0.1.
r(X,Y) = 0.7
Рассмотрим случайную величину Z = (0.35)X + (0.65)Y.
M(Z) = M((0.35)X + (0.65)Y) = M((0.35)X) + M((0.65)Y) =
= (0.35)M(X) + (0.65)M(Y) = (0.35)*(0.08) + (0.65)*(0.11) =
= 0.028 + 0.0715 = 0.0995
M(Z) = 0.995 ~ 9.95%
r(X,Y) = cov(X,Y)/б(X)б(Y) = 0.7
cov(X,Y) = (0.7)б(X)б(Y) = (0.7)*(0.07)*(0.1) = 0.0049
cov((0.35)X, (0.65)Y) = (0.35)*(0.65)*cov(X,Y) =
= (0.35)*(0.65)*(0.0049) = 0.00111475
б(X) = 0.07
D(X) = (б(X))^2 = (0.07)^2 = 0.0049
D((0.35)X) = (0.1225)D(X) = (0.1225)*(0.0049) = 0.00060025
б(Y) = 0.1
D(Y) = (б(Y))^2 = (0.1)^2 = 0.01
D((0.65)Y) = (0.4225)D(Y) = (0.4225)*(0.01) = 0.004225
D(Z) = D((0.35)X + (0.65)Y) =
= D((0.35)X) + D((0.65)Y) + 2cov((0.35)X, (0.65)Y) =
= 0.00060025 + 0.004225 + 0.0022295 = 0.00705475
D(Z) = 0.00705475
б(Z) = sqrt(D(Z)) = sqrt(0.00705475) ~ 0.083992559...
б(Z) ~ 8.399255919...%
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 авг. 2009 11:41 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 547
Случайные величины X и Y - число появлений событий простейшего потока в интервалах времени (0;t) и (t; t+dt) соответственно. Найти r(X,Y).
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X - число появлений событий простейшего потока в интервале времени (0;t). Данная случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром lt: X ~ P(lt).
M(X) = lt
D(X) = lt
б(X) = sqrt(D(X)) = sqrt(lt)
Случайная величина Y - число появлений событий простейшего потока в интервале времени (0;t+dt).
Введем следующую случайную величину Z - счисло появлений событий простейшего потока в интервале времени (t;t+dt). Данная случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром dt: Z ~ P(l(dt)).
M(Z) = l(dt)
D(Z) = l(dt)
б(Z) = sqrt(D(Z)) = sqrt(l(dt))
В силу свойства отсутствия последействия простейшего потока случайные величины X и Z независимы, поэтому
M(XZ) = M(X)M(Z).
Y = X + Z
D(Y) = D(X+Z) = D(X) + D(Z) = lt + l(dt) = l(t+dt)
б(Y) = sqrt(D(Y)) = sqrt(l(t+dt))
cov(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y) = M(X(X+Z)) - M(X)M(X+Z) =
= M(X^2 + XZ) - M(X)(M(X)+M(Z)) =
= M(X^2) + M(XZ) - (M(X))^2 - M(X)M(Z) =
= M(X^2) + M(X)M(Z) - (M(X))^2 - M(X)M(Z) =
= M(X^2) - (M(X))^2 = D(X) = lt
cov(X,Y) = lt
r(X,Y) = cov(X,Y)/б(X)б(Y) = lt/sqrt(lt)sqrt(l(t+dt)) =
= sqrt(t)/sqrt(t+dt) = sqrt(t/(t+dt))
r(X,Y) = sqrt(t/(t+dt))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 авг. 2009 12:09 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 548
Привести пример зависимых, но некоррелированных случайных величин.
РЕШЕНИЕ.
Пусть двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение в круге радиусом R с центром в начале координат.
C = {(x;y): (x^2) + (y^2) <= (R^2)} - круг радиуса R с центром в начале координат
S(C) = П(R^2)
Плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид:
f(x,y) = {1/П(R^2), (x,y) из C
{0, иначе
Найдем плотность распределения случайной величины X.
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dy.
Если x < -R, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dy = 0.
Если -R <= x <= R, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{-sqrt(R^2 - x^2)} f(x,y)dy +
+ int_{-sqrt(R^2 - x^2)}^{sqrt(R^2 - x^2)} f(x,y)dy +
+ int_{sqrt(R^2 - x^2)}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= int_{-бесконечность}^{-sqrt(R^2 - x^2)} 0*dy +
+ int_{-sqrt(R^2 - x^2)}^{sqrt(R^2 - x^2)} dy/П(R^2) +
+ int_{sqrt(R^2 - x^2)}^{+бесконечность} 0*dy =
= 0 + y/П(R^2) |_{-sqrt(R^2 - x^2)}^{sqrt(R^2 - x^2)} + 0 =
= 2sqrt(R^2 - x^2)/П(R^2).
Если x > R, то
g(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} 0*dy = 0.
Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
g(x) = {2sqrt(R^2 - x^2)/П(R^2), -R <= x <= R
{0, иначе
Аналогично плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
h(y) = {2sqrt(R^2 - y^2)/П(R^2), -R <= y <= R
{0, иначе
Возьмем точку (0;0).
f(0;0) = 1/П(R^2)
g(0) = 2/ПR
h(0) = 2/ПR
f(0;0) = g(0)h(0)
Таким образом, f(x,y) =/= g(x)h(y). Это означает, что случайные величины X и Y зависимы.
--------------------------------------------------------------------
M(XY) = int int_{R^2} xyf(x,y)dxdy =
= int int_{C} xyf(x,y)dxdy + int int_{R^2\C} xyf(x,y)dxdy =
= int int_{C} xydxdy/П(R^2) + int int_{R^2\C} xy*0*dxdy =
= [1/П(R^2)]*int int_{C} xydxdy + 0 =
= [1/П(R^2)]*int_{-R}^{R} x [int_{-sqrt(R^2 - x^2)}^{sqrt(R^2 - x^2)} ydy]dx =
= [1/2П(R^2)]*int_{-R}^{R} x[(y^2) |_{-sqrt(R^2 - x^2)}^{sqrt(R^2 - x^2)}]dy =
= [1/2П(R^2)]*int_{-R}^{R} x*0*dx = 0
M(XY) = 0
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xg(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-R} xg(x)dx + int_{-R}^{R} xg(x)dx +
+ int_{R}^{+бесконечность} xg(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-R} x*0*dx +
+ int_{-R}^{R} 2xsqrt(R^2 - x^2)dx/П(R^2) +
+ int_{R}^{+бесконечность} x*0*dx =
= {t = R^2 - x^2; dt = -2xdx} =
= 0 - int_{0}^{0} sqrt(t)dt/П(R^2) + 0 = 0
M(X) = 0
Аналогично M(Y) = 0.
cov(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y) = 0 - 0 = 0
r(X,Y) = cov(X,Y)/б(X)б(Y) = 0/б(X)б(Y) = 0
r(X,Y) = 0. Следовательно, случайные величины X и Y являются некоррелированными.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 авг. 2009 12:42 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 549
Доказать, что компоненты X и Y двумерной нормальной случайной величины распределены по одномерным нормальным законам с математическими ожиданиями a1 и a2 соответственно и средними квадратичными отклонениями б1 и б2 соответственно, а параметр r равен коэффициенту корреляции между случайными величинами X и Y.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
Плотность распределения двумерной нормальной случайной величины (X,Y) имеет вид:
f(x,y) = [1/2Пsqrt(1-r^2)б1б2]Exp{-[1/2(1-r^2)][((x-a1)/б1)^2 - 2r(x-a1)(y-a2)/б1б2 + ((y-a2)/б2)^2]}.
f(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x,y)dy =
= [1/2Пsqrt(1-r^2)б1б2]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-[1/2(1-r^2)][((x-a1)/б1)^2 - 2r(x-a1)(y-a2)/б1б2 + ((y-a2)/б2)^2]}dy =
= <t = (x-a1)/б1; z = (y-a2)/б2; dz = dy/б2> =
= [1/2Пsqrt(1-r^2)б1]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-[1/2(1-r^2)][t^2 - 2rtz + z^2]}dz =
= [1/2Пsqrt(1-r^2)б1]*[Exp{-(t^2)/2(1-r^2)}]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-[1/2(1-r^2)][z^2 + 2rtz]}dz =
= [1/2Пsqrt(1-r^2)б1]*[Exp{-(t^2)/2(1-r^2)}]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-[1/2(1-r^2)][z^2 + 2rtz + (r^2)(t^2) - (r^2)(t^2)]}dz =
= [1/2Пsqrt(1-r^2)б1]*[Exp{-(t^2)/2(1-r^2) + (r^2)(t^2)/2(1-r^2)}]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-[1/2(1-r^2)][z^2 + 2rtz + (r^2)(t^2)]}dz =
= [1/2Пsqrt(1-r^2)б1]*[Exp{-(t^2)/2}]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-((z-rt)^2)/2(1-r^2)}dz =
= <w = (z-rt)/sqrt(1-r^2); dw = dz/sqrt(1-r^2)> =
= [1/2Пб1]*[Exp{-(t^2)/2}]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-(w^2)/2}dw =
= [1/2Пб1]*[Exp{-(t^2)/2}]*[sqrt(2П)] =
= [1/sqrt(2П)б1]*[Exp{-(t^2)/2}] =
= [1/sqrt(2П)б1]*[Exp{-((x-a1)^2)/2(б1)^2}]
Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = [1/sqrt(2П)б1]*[Exp{-((x-a1)^2)/2(б1)^2}].
Это означает, что случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a1 и б1: X ~ N(a1;б1).
Аналогично плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
f(y) = [1/sqrt(2П)б2]*[Exp{-((y-a2)^2)/2(б2)^2}].
Это означает, что случайная величина Y имеет нормальное распределение с параметрами a2 и б2: Y ~ N(a2;б2).
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 авг. 2009 14:59 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 549 (продолжение)
Пусть X* = (X-a1)/б1, Y* = (Y-a2)/б2.
M(X*) = M(Y*) = 0
б(X*) = б(Y*) = 1
Плотность распределения двумерной случайной величины (X*,Y*) имеет вид:
f(x,y) = [1/2Пsqrt(1-r^2)]Exp{-[1/2(1-r^2)][x^2 - 2rxy + y^2]}.
M(X*Y*) = int int_{R^2} xyf(x,y)dxdy =
= [1/2Пsqrt(1-r^2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность}y int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xExp{-[1/2(1-r^2)][x^2 - 2rxy + y^2]}dxdy =
= [1/2Пsqrt(1-r^2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность}yExp{-(y^2)/2(1-r^2)} int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xExp{-[1/2(1-r^2)][x^2 - 2rxy]}dxdy =
= [1/2Пsqrt(1-r^2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность}yExp{-(y^2)/2(1-r^2)} int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xExp{-[1/2(1-r^2)][x^2 - 2rxy + (r^2)(y^2) - (r^2)(y^2)]}dxdy =
= [1/2Пsqrt(1-r^2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность}yExp{-(y^2)/2(1-r^2)+(r^2)(y^2)/2(1-r^2)} int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xExp{-[1/2(1-r^2)][x^2 - 2rxy + (r^2)(y^2)]}dxdy =
= [1/2Пsqrt(1-r^2)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность}yExp{-(y^2)/2} int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xExp{-((x-ry)^2)/2(1-r^2)}dxdy =
= <z = (x-ry)/sqrt(1-r^2); dz = dx/sqrt(1-r^2)> =
= [1/2П]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность}yExp{-(y^2)/2} int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (ry + zsqrt(1-r^2))Exp{-(z^2)/2}dzdy = (*)
int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (ry + zsqrt(1-r^2))Exp{-(z^2)/2}dz =
= ry*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-(z^2)/2}dz + sqrt(1-r^2)*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} zExp{-(z^2)/2}dz =
= <функция zExp{-(z^2)/2} является нечетной> =
= rysqrt(2П) + 0 = rysqrt(2П)
(*) = [r/sqrt(2П)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (y^2)Exp{-(y^2)/2} dy =
= - [r/sqrt(2П)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} yd(Exp{-(y^2)/2}) =
= <по частям> =
= - [r/sqrt(2П)]yExp{-(y^2)/2} |_{-бесконечность}^{+бесконечность} + [r/sqrt(2П)]*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} Exp{-(y^2)/2}dy =
= 0 + [r/sqrt(2П)]*[sqrt(2П)] = r
M(X*Y*) = r
cov(X*,Y*) = M(X*Y*) - M(X*)M(Y*) = r - 0 = r
r(X*,Y*) = cov(X*,Y*)/б(X*)б(Y*) = r/1 = r
Известно, что r(X,Y) = r(X*,Y*) = r
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 15 авг. 2009 15:28 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 550
Доказать, что для нормально распределённых случайных величин условие независимости эквивалентно условию некоррелированности.
РЕШЕНИЕ.
Пусть случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами a1 и б1: X ~ N(a1; б1).
Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = [1/sqrt(2П)б1]*[Exp{-((x-a1)^2)/2(б1)^2}].
Пусть случайная величина Y имеет нормальное распределение с параметрами a2 и б2: Y ~ N(a2; б2).
Плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
f(y) = [1/sqrt(2П)б2]*[Exp{-((y-a2)^2)/2(б2)^2}].
Докажем прямое утверждение: Если случайные величины X и Y независимы, то r(X,Y) = 0.
Пусть случайные величины X и Y являются независимыми. По определению независимых случайных величин f(x,y) = f(x)f(y).
M(XY) = int int_{R^2} xyf(x,y)dxdy =
= int int_{R^2} xyf(x)f(y)dxdy =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xyf(x)f(y)dxdy =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x) [int_{-бесконечность}^{+бесконечность} yf(y)dy] dx =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)M(Y)dx =
= M(Y)*int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= M(Y)M(X)
Таким образом, M(XY) = M(X)M(Y).
cov(X,Y) = M(XY) - M(X)M(Y) = M(X)M(Y) - M(X)M(Y) = 0.
r(X,Y) = cov(X,Y)/б(X)б(Y) = 0/б(X)б(Y) = 0.
Докажем обратное утверждение: Если r(X,Y) = 0, то случайные величины X и Y являются независимыми.
Плотность распределения двумерной величины (X,Y) имеет вид:
f(x,y) = [1/2Пsqrt(1-r^2)б1б2]Exp{-[1/2(1-r^2)][((x-a1)/б1)^2 - 2r(x-a1)(y-a2)/б1б2 + ((y-a2)/б2)^2]}.
Известно, что r(X,Y) = r (см. пример 549). Если r(X,Y) = 0, то r=0. Следовательно, плотность распределения двумерной случайной величины (X,Y) имеет вид:
f(x,y) = [1/2Пб1б2]Exp{-[1/2][((x-a1)/б1)^2 + ((y-a2)/б2)^2]}.
f(x,y) = [1/2Пб1б2]Exp{-[1/2][((x-a1)/б1)^2 + ((y-a2)/б2)^2]} =
= [1/2Пб1б2]*Exp{-((x-a1)^2)/2(б1)^2}*Exp{-((y-a2)^2)/2(б2)^2} =
= [1/sqrt(2П)б1]*[Exp{-((x-a1)^2)/2(б1)^2}]*[1/sqrt(2П)б2]*[Exp{-((y-a2)^2)/2(б2)^2}] =
= f(x)f(y)
Таким образом, f(x,y) = f(x)f(y). Это означает, что случайные величины X и Y являются независимыми.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 18 авг. 2009 10:52 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 551
Случайная величина X ~ Exp(m). Найти распределение случайной величины Y = e^(-mX).
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром m: X ~ Exp(m).
Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {m(e^(-mx)), x >= 0
{0, x < 0
Y = e^(-mX)
F(y) = P(Y<y) = P((e^(-mX)) < y)
Если y <= 0, то F(y) = P((e^(-mX)) < y) = 0.
Если y > 0, то
F(y) = P((e^(-mX)) < y) = P(-mX < lny) = P(X > - (lny)/m) =
= int_{-(lny)/m}^{+бесконечность} f(x)dx.
Если -(lny)/m <= 0, то есть y >= 1, то
F(y) = int_{-(lny)/m}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-(lny)/m}^{0} f(x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-(lny)/m}^{0} 0*dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} m(e^(-mx))dx =
= 0 - (e^(-mx))|_{0}^{+бесконечность} = 0 + 1 = 1
Если -(lny)/m > 0, то есть y < 1, то
F(y) = int_{-(lny)/m}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-(lny)/m}^{+бесконечность} m(e^(-mx))dx =
= - (e^(-mx)) |_{-(lny)/m}^{+бесконечность} =
= 0 + e^(lny) = 0 + y = y.
Функция распределения случайной величины Y имеет вид:
F(y) = {0, y <= 0
{y, 0 < y < 1
{1, y >= 1
Плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {0, y <= 0
{1, 0 < y < 1
{0, y >= 1
Таким образом, случайная величина Y имеет равномерное распределение на интервале (0,1): Y ~ R(0;1).
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 авг. 2009 16:48 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 552
Случайная величина X имеет строго возрастающую функцию распределения F(x). Найти распределение случайной величины Y = F(X).
РЕШЕНИЕ.
По условию задачи функция распределения F(x) является строго возрастающей. Следовательно, существует функция F^(-1) - функция, обратная функции F.
Y = F(X)
G(Y) = P(Y<y) = P(F(X) < y)
Если y <= 0, то G(y) = P(F(X) < y) = 0, так как по свойству функции распределения F(x) >= 0 для любого x.
Если y >= 1, то G(y) = P(F(X) < y) = 1, так как по свойству функции распределения F(x) <= 1 для любого x.
Если 0 < y < 1, то
G(y) = P(F(X) < y) = P(X < (F^(-1))(y)) = F((F^(-1))(y)) = y.
Функция распределения случайной величины Y имеет вид:
G(y) = {0, y <= 0
{y, 0 < y < 1
{0, y >= 1
Плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {0, y <= 0
{1, 0 < y < 1
{0, y >= 1
Таким образом, случайная величина Y имеет равномерное распределение на интервале (0; 1).
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 19 авг. 2009 17:14 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 553
Случайная величина X ~ N(0;1). Найти плотность распределения случайной величины Y = X^2.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами 0 и 1: X ~ N(0;1).
Плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = [1/sqrt(2П)]*[Exp{-(x^2)/2}].
Y = X^2
F(y) = P(Y<y) = P(X^2 < y)
Если y <= 0, то F(y) = P(X^2 < y) = 0.
Если y > 0, то
F(y) = P(X^2 < y) = P(-sqrt(y) < X < sqrt(y)) =
= int_{-sqrt(y)}^{sqrt(y)} f(x)dx =
= int_{-sqrt(y)}^{sqrt(y)} [1/sqrt(2П)]*[Exp{-(x^2)/2}]dx =
= [1/sqrt(2П)]*int_{-sqrt(y)}^{sqrt(y)} [Exp{-(x^2)/2}]dx.
Функия распределения случайной величины Y имеет вид:
F(y) = {[1/sqrt(2П)]*int_{-sqrt(y)}^{sqrt(y)} [Exp{-(x^2)/2}]dx, y>0
{0, y <= 0
Плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
f(y) = {[1/sqrt(2Пy)]*[Exp{-y/2}], y > 0
{0, y <= 0
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 авг. 2009 11:01 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
