RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР19.
В первом ящике 3 белых и 2 черных шара, во втором 1 белый и 3 черных. Из первого ящика извлечены 2 шара, из второго - один. Найдите вероятность того, что все извлеченные шары одного цвета.
РЕШЕНИЕ.
A={шары одного цвета}
B={шары белого цвета}
P(B) = 3/10*1/4
C={шары черного цвета}
P(C) = 1/10*3/4
P(A) = P(B)+P(C)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 нояб. 2008 14:31 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР20.
Дана функция распределения F(x) случайной величины X. Найти плотность распределения вероятностей f(x), математическое ожидание, дисперсию и вероятность попадания случайной величины Х на отрезок
[3П/4; 5П/6].
{0 если x<3П/4
F(x)= {Cos2x если 3П/4<=x<=П
{1 если x>П
РЕШЕНИЕ.
f(x)=F'(x)
Тогда
{0 если x<3П/4
f(x)= {-2sin2x если 3П/4<=x<=П
{0 если x>П
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность}xf(x)dx =
= -2 int_{3П/4}^{П}xsin2xdx =
= int_{3П/4}^{П}xd(cos2x) =
= П - int_{3П/4}^{П}cos2xdx =
= П - 1/2
M(X^2) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность}x^2f(x)dx =
= -2 int_{3П/4}^{П}x^2sin2xdx = (*)
-2 int{x^2sin2xdx} = int{x^2d(cos2x)} =
= x^2cos2x - int{2xcos2xdx} =
= x^2cos2x - int{xd(sin2x)} =
= x^2cos2x - xsin2x + int{sin2xdx} =
= x^2cos2x - xsin2x - cos2x/2
(*) = П^2 - 1/2 - 3П/2
D(X) = (M(X))^2 - M(X^2) =
= (П - 1/2)^2 - П^2 + 1/2 + 3П/2 =
= П^2 - П + 1/4 - П^2 + 1/2 + 3П/2 =
= П/2 + 3/4
P(3П/4<=X<=5П/6) =
= int_{3П/4}^{5П/6}f(x)dx =
= -2int_{3П/4}^{5П/6}sin2xdx =
= int_{3П/4}^{5П/6}d(cos2x) =
= cos(5П/3) - cos(3П/2) = 1/2
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 6 нояб. 2008 16:43 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР21.
В денежно-вещевой лотерее на 1000 билетов приходится 24 денежных и 10 вещевых выигрышей. Некто
приобрел 2 билета. Какова вероятность выигрыша:
a) хотя бы на один билет
б) по первому билету - денег, а по второму - вещей.
РЕШЕНИЕ.
Всего возможностей достать 2 билета из 1000 имеющихся
n = C из 1000 по 2 = 1000!/2!998! = 499500
а) A = {выигрыш хотя бы на один билет}
B = {отсутствие выигрыша}
Всего возможностей достать 2 невыигрышных билета из 966 имеющихся невыигрышных билетов
m = C из 966 по 2 = 966!/2!964! = 466095
P(B) = m/n = 466095/499500 = 93219/99900
P(A) = 1-P(B) = 6681/99900 = 2227/33300
б) C = {выигрыш по первому билету - денег, по второму - вещей}
m = 24*10 = 240
P(C) = m/n = 240/499500 = 12/24975
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 8 нояб. 2008 11:56 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР22.
При разрыве сноряда образуются крупные, средние и мелкие осколки в отношении 1:3:6. При попадании в танк
крупный осколок пробивает броню с вероятностью 0.9, средний - 0.3, мелкий 0.1. Какова вероятность того что
попавший в броню осколок пробьет ее?
РЕШЕНИЕ.
A = {осколок пробил броню танка}
H1 = {крупный осколок} P(H1) = 0.1
H2 = {средний осколок} P(H2) = 0.3
H3 = {мелкий осколок} P(H3) = 0.6
A|H1 = {осколок пробил броню танка при условии, что осколок крупный} P(A|H1) = 0.9
A|H2 = {осколок пробил броню танка при условии, что осколок средний} P(A|H2) = 0.3
A|H3 = {осколок пробил броню танка при условии, что осколок мелкий} P(A|H3) = 0.1
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + P(H3)P(A|H3) - подставить и посчитать
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 8 нояб. 2008 13:40 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР23.
Имеются две урны. В первой урне 3 белых и 4 черных шара, во второй - 2 белых и 3 черных шара. Из первой урны наудачу
перекладывают во вторую 2 шара, а затем из второй урны наудачу вынимают один шар. Он оказался белым. Каков состав
переложенных шаров является наиболее вероятным?
РЕШЕНИЕ.
A = {после добавления двух шаров из второй урны достали белый шар}
H1 = {из первой урны достали два белых шара}
всего возможностей достать 2 шара из 7 имеющихся шаров в первой урне n = C из 7 по 2 = 7!/5!2! = 21
возможностей достать 2 белых шара из 3 белых шаров, имеющихся в первой урне, m = C из 3 по 2 = 3!/2!1! = 3
P(H1) = m/n = 3/21 = 1/7
H2 = {из первой урны достали два черных шара}
всего возможностей достать 2 шара из 7 имеющихся шаров в первой урне n = C из 7 по 2 = 7!/5!2! = 21
возможностей достать 2 черных шара из 4 черных шаров, имеющихся в первой урне, m = C из 4 по 2 = 4!/2!2! = 6
P(H2) = m/n = 6/21 = 2/7
H3 = {из первой урны достали один черный и один белый шара}
всего возможностей достать 2 шара из 7 имеющихся шаров в первой урне n = C из 7 по 2 = 7!/5!2! = 21
возможностей достать белый шар из 3 возможных белых шаров и один черный шар из 4 возможных черных шаров
m = 3*4 = 12
P(H3) = m/n = 12/21 = 4/7
A|H1 = {из второй урны достали белый шар при условии, что в нее было доложено два белых шара}
Когда из первой урны во вторую доложили 2 белых шара, то во второй урне стало 4 белых и 3 черных шара.
P(A|H1) = 4/7
A|H2 = {из второй урны достали белый шар при условии, что в нее было доложено два черных шара}
Когда из первой урны во вторую доложили 2 черных шара, то во второй урне стало 2 белых и 5 черных шара.
P(A|H2) = 2/7
A|H3 = {из второй урны достали белый шар при условии, что в нее было доложено один белый и один черный шара}
Когда из первой урны во вторую доложили два шара различного цвета, то во второй урне стало 3 белых и 4 черных шара.
P(A|H3) = 3/7
По формуле полной вероятности
P(A) = P(H1)P(A|H1) + P(H2)P(A|H2) + P(H3)P(A|H3) =
= 1/7*4/7 + 2/7*2/7 + 4/7*3/7 = 20/49
H1|A = {во вторую урну было положено два белых шара из первой урны}
по формуле Байеса
P(H1|A) = P(H1)P(A|H1)/P(A) = 1/5
H2|A = {во вторую урну было положено два черных шара из первой урны}
по формуле Байеса
P(H2|A) = P(H2)P(A|H2)/P(A) = 1/5
H3|A = {во вторую урну было положено два шара разного цвета из первой урны}
по формуле Байеса
P(H3|A) = P(H3)P(A|H3)/P(A) = 3/5
Таким образом, наиболее вероятно, что были переложены 2 шара разного цвета.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 8 нояб. 2008 13:57 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР24.
Три охотника одновременно увидели лису и одновременно выстрелили в нее. Предположим, что каждый из них на таком расстоянии обычно в 2 случаях из 3 убивает лису. Найти вероятность того, что лису не убьют.
РЕШЕНИЕ.
A = {лиса не убита} = {три охотника промахнулись}
B = {промахнулся первый охотник}
C = {промахнулся второй охотник}
D = {промахнулся третий охотник}
P(B) = P(C) = P(D) = 1/3
A = BCD
P(A) = P(BCD) = P(B)P(C)P(D) = 1/27
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 8 нояб. 2008 14:10 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР25. Среди 7 купленных театральных билетов 3 билета на балкон. Составить закон распределения числа билетов на балкон среди трех наудачу выбранных билетов. Найти функцию распределения этой случайной величины.
РЕШЕНИЕ.
X - количество билетов на балкон среди трех наудачу выбранных
Данная случайная величина дискретна и может принимать следующие значения
X = 0 - среди трех выбранных билетов билета на балкон нет
X = 1 - среди трех выбранных билетов один на балкон
X = 2 - среди трех выбранных билетов два на балкон
X = 3 - среди трех выбранных билетов все на балкон
всего возможностей выбрать 3 билета из 7 имеющихся
n = C из 7 по 3 = 7!/3!4! = 35
всего выбрать 3 билета из 4 билетов не на балкон
m0 = C из 4 по 3 = 4!/3!1! = 4
возможностей выбрать 1 билет на балкон из 3 подходящих и 2 билета из 4 билетов не на балкон
m1 = 3*C из 4 по 2 = 3*4!/2!2! = 3*6 = 18
возможностей выбрать 2 билета на балкон из 3 подходящих и 1 билета из 4 билетов не на балкон
m2 = 4*C из 3 по 2 = 4*3!/2!1! = 4*3 = 12
возможностей выбрать 3 билета на балкон из 3 подходящих билетов
m3 = 1
Тогда
P(X=0) = m0/n = 4/35
P(X=1) = m1/n = 18/35
P(X=2) = m2/n = 12/35
P(X=3) = m3/n = 1/35
Функция распределения F(X) случайной величины X имеет вид
{0, X<0
{4/35, 0<=X<1
F(X) = {22/35, 1<=X<2
{34/35, 2<=X<3
{1, X>=3
(Сообщение отредактировал RKI 8 нояб. 2008 16:09)
(Сообщение отредактировал RKI 8 нояб. 2008 17:53)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 8 нояб. 2008 16:06 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР26.
Плотность вероятности случайной величины Х имет вид:
f(х)= {а при 0< x <5
{0 в остальных случаях
Найти:
а) параметр а
б) математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X)
в) вероятность P(0<X<3).
РЕШЕНИЕ.
а) Известно, что
int_{-бесконечность}^{+бесконечность}f(x)dx = 1
Посчитаем
int_{-бесконечность}^{+бесконечность}f(x)dx =
= int_{0}^{5}adx = ax|_{0}^{5} = 5a
Это должно равняться 1. Следовательно, 5a = 1
a = 1/5
f(х)= {1/5 при 0< x <5
{0 в остальных случаях
б) M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность}xf(x)dx =
= int_{0}^{5}x/5dx = x^2/10|_{0}^{5} = 25/10 = 5/2
M(X^2) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность}x^2f(x)dx =
= int_{0}^{5}x^2/5dx = x^3/15|_{0}^{5} = 125/15 = 25/3
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 25/3 - 25/4 = 25/12
в) P(0<X<3) = int_{0}^{3}f(x)dx =
= int_{0}^{3}1/5dx = x/5|_{0}^{3} = 3/5
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 8 нояб. 2008 17:00 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР 27.
Имеются 10 билетов: 1 билет в партер стоимостью 500 руб., 3 билета в амфитеатр по 300 руб. и 6 билетов на балкон по 100 руб. После реализации части билетов осталось три билета. Составить закон распределения случайной величины Х – стоимости непроданных билетов.
РЕШЕНИЕ.
{X=300} - стоимость непроданных билетов 300 рублей - не продано 3 билета по 100 рублей
{X=500} - стоимость непроданных билетов 500 рублей - не продано 2 билета по 100 рублей и 1 по 300 рублей
{X=700} - стоимость непроданных билетов 700 рублей - не продано 2 билета по 100 рублей и 1 билет по 500 рублей ИЛИ не продано 1 билет по 100 рублей и 2 билета по 300 рублей
{X=900} - стоимость непроданных билетов равна 900 рублей - не продано 1 билет по 100 рублей, 1 билет по 300 рублей и 1 билет по 500 рублей ИЛИ не продано 3 билета по 300 рублей
{X=1100} - стоимость непроданных билетов равна 1100 рублей - не продано 2 билета по 300 рублей и 1 билет по 500 рублей
возможностей достать 3 билета из имеющихся 10
n = C из 10 по 3 = 10!/3!7! = 120
возможностей достать 3 билета по 100 рублей из 6 имеющихся
m300 = C из 6 по 3 = 6!/3!3! = 20
возможностей достать 2 билета по 100 рублей и 1 билет по 300 рублей из имеющихся 6 билетов по 100 рублей и 3 билетов по 300 рублей
m500 = 3*C из 6 по 2 = 3*6!/2!4! = 3*15 = 45
возможностей достать 2 билета по 100 рублей (из 6 имеющихся) и 1 билет по 500 рублей (из 1 имеющегося) ИЛИ 1 билет по 100 рублей (из 6 имеющихся) и 2 билета по 300 рублей (из 3 имеющихся)
m700 = 1*C из 6 по 2 + 6*C из 3 по 2 =
= 6!/2!4! + 6*3!/2!1! = 15 + 6*3 = 33
возможностей достать 1 билет по 100 рублей (из 6 имеющихся), 1 билет по 300 рублей (из 3 имеющихся) и 1 билет по 500 рублей (из 1 имеющегося) ИЛИ 3 билета по 300 рублей (из имеющихся 3)
m900 = 6*3*1 + 1 = 19
возможностей достать 2 билета по 300 рублей (из 3 имеющихся) и 1 билет по 500 рублей (из 1 имеющегося)
m1100 = 1*C из 3 по 2 = 3!/2!1! = 3
P(X=300) = m300/n = 20/120 = 1/6
P(X=500) = m500/n = 45/120 = 3/8
P(X=700) = m700/n = 33/120 = 11/40
P(X=900) = m900/n = 19/120
P(X=1100) = m1100/n = 3/120 = 1/40
Таким образом, ряд распределения случайной величины имеет вид
300 500 700 900 1100
1/6 3/8 11/40 19/120 1/40
Функция распределения данной случайной величины имеет вид
{0, X<300
{1/6, 300<=X<500
{13/24, 500<=X<700
F(x)= {49/60, 700<=X<900
{117/120, 900<=X<1100
{1, X>=1100
(Сообщение отредактировал RKI 8 нояб. 2008 19:15)
(Сообщение отредактировал RKI 8 нояб. 2008 19:29)
(Сообщение отредактировал RKI 8 нояб. 2008 20:07)
(Сообщение отредактировал RKI 9 нояб. 2008 9:49)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 8 нояб. 2008 18:58 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР28.
Имеется 5 различных ключей, из которых только один подходит к замку. Составить закон распределения числа опробованных ключей при открывании замка, если испробованный ключ в последующих попытках открыть замок не используется. Вычислить математическое ожидание и дисперсию, а также построить функцию распределения.
РЕШЕНИЕ.
Обозначим X - число опробованных ключей. Данная случайная величина может принимать следующие значения:
{X=1} - испробовали только один ключ (первый ключ является подходящим)
{X=2} - испробовали два ключа (первый ключ не подошел, второй ключ является искомым)
{X=3}- испробовали три ключа (первые два ключа не подошли, третий ключ является искомым)
{X=4}}- испробовали четыре ключа (первые три ключа не подошли, четвертый ключ является искомым)
{X=5} }- испробовали пять ключей (первые четыре ключа не подошли, пятый ключ является искомым)
P(X=1) = 1/5
P(X=2) = 4/5*1/4 = 1/5
P(X=3) = 4/5*3/4*1/3 = 1/5
P(X=4) = 4/5*3/4*2/3*1/2 = 1/5
P(X=5) = 4/5*3/4*2/3*1/2*1 = 1/5
Ряд распределения случайной величины имеет вид
1 2 3 4 5
1/5 1/5 1/5 1/5 1/5
M(X) = 1*1/5 + 2*1/5 + 3*1/5 + 4*1/5 + 5*1/5 = 15/5 = 3
M(X^2) = 1*1/5 + 4*1/5 + 9*1/5 + 16*1/5 + 25*1/5 = 55/5 = 11
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 11 - 9 = 2
Функция распределения случайной величины имеет вид
{0, X<1
{1/5, 1<=X<2
{2/5, 2<=X<3
F(X) = {3/5, 3<=X<4
{4/5, 4<=X<5
{1, X>=5
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 9 нояб. 2008 14:02 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
