RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР121.
Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром a. Найти функции плотности распределения случайных величин:
а) Y = sqrt(X);
б) Z = 1 - e^(-aX).
РЕШЕНИЕ.
Так как случайная величина X имеет показательное распределение с параметром a, то плотность распределения данной случайной величины имеет вид:
f(x) = {ae^(-ax), x>=0
{0, x<0
а) Y = sqrt(X)
F(y) = P(Y<y) = P(sqrt(X)<y)
Если y<=0, то F(y) = 0
Если y>0, то F(y) = int_{0}^{y^2} f(x)dx =
= int_{0}^{y^2} ae^(-ax) dx = -e^(-ax) |_{0}^{y^2} =
= -(e^(-a(y^2)) -1) = 1 - e^(-a(y^2))
F(y) = {0, y<=0
{1 - e^(-a(y^2)), y>0
g(y) = {0, y<=0
{2ay*e^(-a(y^2)), y>0
---------------------------------------------------------------
б) Z = 1 - e^(-aX)
F(z) = P(Z<z) = P( (1-e^(-aX)) < z)
Если z<0, то
F(z) = int_{-бесконечность}^{-(1/a)*ln(1-z)} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-(1/a)*ln(1-z)} 0*dx = 0
Если 0<=z<=1, то
F(z) = int_{-бесконечность}^{-(1/a)*ln(1-z)} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx +
+ int_{0}^{-(1/a)*ln(1-z)} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx +
+ int_{0}^{-(1/a)*ln(1-z)} ae^(-ax) dx =
= -e^(-ax) |_{0}^{-(1/a)*ln(1-z)} =
= -(e^(ln(1-z)) - 1) = -(1-z-1) = z
Если z>1, то
F(z) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} ae^(-ax) dx =
= -e^(-ax) |_{0}^{+бесконечность} =
= -( lim{x->+бесконечность} e^(-ax) - 1) = -(0-1) = 1
F(z) = {0, z<0
{z, 0<=z<=1
{1, z>1
h(z) = {0, z<0, z>1
{1, 0<=z<=1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 янв. 2009 13:43 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР122.
Случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение (то есть с параметрами a=0 и б^2 = 1). Найти плотность случайной величины Y = X^2.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X имеет стандартное нормальное распределение. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = (1/sqrt(2П))*e^(-(x^2)/2).
Y = X^2
F(y) = P(Y<y) = P( X^2 < y )
Если y<=0, то F(y) = 0
Если y>0, то F(y) = int_{-sqrt(y)}^{sqrt(y)} f(x)dx =
= (1/sqrt(2П))*int_{-sqrt(y)}^{sqrt(y)} e^(-(x^2)/2) dx
F(y)={0, y<=0
{(1/sqrt(2П))*int_{-sqrt(y)}^{sqrt(y)} e^(-(x^2)/2) dx, y>0
g(y) = {0, y<=0
{(1/sqrt(2Пy))*e^(-y/2), y>0
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 янв. 2009 14:43 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР123.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;1]. Найти плотности распределения случайных величин:
а) Y = 2X+1;
б) Z = -ln(1-X).
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;1]. Следовательно, плотность распределения данной случайной величины имеет вид:
f(x) = {0, x<0, x>1
{1, 0<=x<=1
а) Y = 2X+1
F(y) = P(Y<y) = P(2X+1<y) = P(X<(y-1)/2) =
= int_{-бесконечность}^{(y-1)/2} f(x)dx
Если y<1 (=> (y-1)/2 < 0), то
F(y) = int_{-бесконечность}^{(y-1)/2} 0*dx = 0
Если 1<=y<=3 (=> 0 <= (y-1)/2 <= 1), то
F(y) = int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx +
+ int_{0}^{(y-1)/2} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx + int_{0}^{(y-1)/2} dx =
= 0 + (y-1)/2 - 0 = (y-1)/2
Если y>3 (=> (y-1)/2 > 1), то
F(y) = int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx + int_{0}^{1} f(x)dx +
+ int_{1}^{(y-1)/2} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx + int_{0}^{1} dx +
+ int_{1}^{(y-1)/2} 0*dx = 0 + 1 + 0 = 1
F(y) = {0, y<1
{(y-1)/2, 1<=y<=3
{1, y>3
g(y) = {0, y<1, y>3
{1/2, 1<=y<=3 - равномерное распределение на [1;3]
-----------------------------------------------------------------------
б) Z = -ln(1-X)
F(z) = P(Z<z) = P( -ln(1-X) < z ) = P( X < 1-e^(-z)) =
= int_{-бесконечность}^{1-e^(-z)} f(x)dx
Если z<0 (=> 1-e^(-z) < 0), то
F(z) = int_{-бесконечность}^{1-e^(-z)} 0*dx = 0
Если z>=0 (=> 0 <= 1-e^(-z) <= 1), то
F(z) = int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx +
+ int_{0}^{1-e^(-z)} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx + int_{0}^{1-e^(-z)} dx =
= 0 + 1 - e^(-z) - 0 = 1 - e^(-z)
F(z) = {1-e^(-z), z>=0
{0, z<0
h(z) = {e^(-z), z>=0 - показательное распределение
{0, z<0 с параметром a=1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 янв. 2009 15:34 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР124.
Найти плотность распределения частного двух случайных величин, имеющих равномерное распределение на [0;a].
РЕШЕНИЕ.
Случайные величины X и Y равномерно распределены на отрезке [0;a]. Следовательно, точка (X;Y) равномерно распределена в квадрате [0;a]x[0;a].
Z = Y/X
F(z) = P(Z<z) = P( (Y/X) < z )
Если z<=0, то F(z) = 0
Если 0<z<=1, то F(z) = (1/2)*a*az/(a^2) = (1/2)*z
Если z>1, то F(z) = ((a^2) - (1/2)*a*(a/z))/(a^2) = 1 - 1/(2z)
F(z) = {0, z<=0
{(1/2)*z, 0<z<=1
{1 - 1/(2z), z>1
f(z) = {0, z<=0
{(1/2), 0<z<=1
{1/(2*z^2), z>1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 янв. 2009 16:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР125.
Случайная точка A имеет в круге радиусом R равномерное распределение. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния r точки до центра круга. Показать, что величина r^2 равномерно распределена на отрезке [0;R^2].
РЕШЕНИЕ.
Пусть дан круг радиусом R с центром в точке (a;b). Обозначим координаты точки A через (x;y). Случайная точка A имеет в круге радиусом R равномерное распределение. Следовательно, точка (x;y) равномерно распределена в заданном круге.
Случайная величина r - расстояние от точки (x;y) до центра круга (a;b)
r = sqrt( (x-a)^2 + (y-b)^2 )
F(z) = P(r<z) = P( sqrt((x-a)^2 + (y-b)^2) < z )
Если z<=0, то F(z) = 0
Если 0<z<=R, то
F(z) = P( sqrt((x-a)^2 + (y-b)^2) < z ) =
= P( (x-a)^2 + (y-b)^2 < z^2) = П(z^2)/П(R^2) = (z^2)/(R^2)
Если z>R, то F(z) = 1
F(z) = {0, z<=0
{(z^2)/(R^2), 0<z<=R
{1, z>R
f(z) = {0, z<=0, z>R
{2z/(R^2), 0<z<=R
-------------------------------------------------------------------------
M(r) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} zf(z)dz =
= int_{-бесконечность}^{0} zf(z)dz + int_{0}^{R} zf(z)dz +
+ int_{R}^{+бесконечность} zf(z)dz =
= int_{-бесконечность}^{0} z*0*dz +
+ int_{0}^{R} 2(z^2)dz/(R^2) +
+ int_{R}^{+бесконечность} z*0*dz =
= 0 + (2/(R^2))*int_{0}^{R} (z^2)dz + 0 =
= 2(z^3)/3(R^2) |_{0}^{R} = (2/3)R
M(r) = (2/3)R
--------------------------------------------------------------------
M(r^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (z^2)f(z)dz =
= int_{-бесконечность}^{0} (z^2)f(z)dz +
+ int_{0}^{R} (z^2)f(z)dz +
+ int_{R}^{+бесконечность} (z^2)f(z)dz =
= int_{-бесконечность}^{0} (z^2)*0*dz +
+ int_{0}^{R} 2(z^3)dz/(R^2) +
+ int_{R}^{+бесконечность} (z^2)*0*dz =
= 0 + (2/(R^2))*int_{0}^{R} (z^3)dz + 0 =
= (z^4)/2(R^2) |_{0}^{R} = (1/2)(R^2)
D(r) = M(r^2) - (M(r))^2 = (1/2)(R^2) - (4/9)(R^2) = (1/18)(R^2)
---------------------------------------------------------------------------
s = r^2
F(t) = P(s<t) = P( r^2 < t )
Если t<=0, то F(t) = 0
Если t>0, то F(t) = int_{-sqrt(t)}^{sqrt(t)} f(z)dz =
= int_{-sqrt(t)}^{0} f(z)dz + int_{0}^{sqrt(t)} f(z)dz =
= int_{-sqrt(t)}^{0} 0*dz + int_{0}^{sqrt(t)} f(z)dz =
= int_{0}^{sqrt(t)} f(z)dz
Если 0<t<=R^2 (=> 0 < sqrt(t) <= R), то
F(t) = int_{0}^{sqrt(t)} f(z)dz = int_{0}^{sqrt(t)} 2zdz/(R^2) =
= (2/(R^2))*int_{0}^{sqrt(t)} zdz =
= (z^2)/(R^2) |_{0}^{sqrt(t)} = t/(R^2)
Если t>R^2 (=> sqrt(t) > R), то
F(t) = int_{0}^{sqrt(t)} f(z)dz =
= int_{0}^{R} f(z)dz + int_{R}^{sqrt(t)} f(z)dz =
= int_{0}^{R} 2zdz/(R^2) + int_{R}^{sqrt(t)} 0*dz =
= (2/(R^2))*int_{0}^{R} zdz + 0 =
= (z^2)/(R^2) |_{0}^{R} = 1
F(t) = {0, t<=0
{t/(R^2), 0<t<=R^2
{1, t>R^2
g(t) = {0, t<=0, t>R^2
{1/(R^2), 0<t<=R^2 - равномерное распределение
на [0; R^2]
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 янв. 2009 17:51 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР126.
Пусть X и Y - независимые случайные величины, распределенные по показательному закону с параметром a=2. Вычислить плотность суммы X+Y.
РЕШЕНИЕ.
Пусть X и Y - независимые случайные величины с плотностями
f(x) и g(y). Плотность случайной величины X+Y вычисляется по формуле свертки:
h(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy
------------------------------------------------------------------------
Поскольку X и Y распределены по показательному закону с параметром a=2, их плотности равны:
f(x) = {2e^(-2x), x>=0
{0, x<0
g(y) = {2e^(-2y), y>=0
{0, y<0
Плотность распределения суммы X+Y вычисляется по формуле свертки:
h(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{0}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x-y)*0*dy +
+ int_{0}^{+бесконечность} f(x-y)*(2e^(-2y))*dy =
= int_{0}^{+бесконечность} f(x-y)*(2e^(-2y))*dy =
Сделаем замену z=x-y
= int_{x}^{-бесконечность} f(z)*(2e^(2z-2x))*(-dz) =
= int_{-бесконечность}^{x} f(z)*(2e^(2z-2x))*dz
Если x<0, то
h(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(z)*(2e^(2z-2x))*dz =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*(2e^(2z-2x))*dz = 0
Если x>=0, то
h(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(z)*(2e^(2z-2x))*dz =
= int_{-бесконечность}^{0} f(z)*(2e^(2z-2x))*dz +
+ int_{0}^{x} f(z)*(2e^(2z-2x))*dz =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*(2e^(2z-2x))*dz +
+ int_{0}^{x} (2e^(-2z))*(2e^(2z-2x))*dz =
= int_{0}^{x} 4e^(-2x) dz = (4e^(-2x))*int_{0}^{x} dz =
= (4e^(-2x))*(x-0) = 4x*e^(-2x)
h(x) = {0, x<0
{4x*e^(-2x), x>=0
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 янв. 2009 12:06 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР127.
Найти функцию плотности и функцию распределения суммы двух независимых величин X и Y с равномерными законами распределения на отрезках [1;3] и [0;1] соответственно.
РЕШЕНИЕ.
Пусть X и Y - независимые случайные величины с плотностями
f(x) и g(y). Плотность случайной величины X+Y вычисляется по формуле свертки:
h(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy
---------------------------------------------------------------------------
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [1;3]. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1/2, 1<=x<=3
{0, x<1, x>3
Случайная величина Y равномерно распределена на отрезке [0;1]. Следовательно, плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {1, 0<=y<=1
{0, y<0, y>1
Плотность распределения суммы X+Y вычисляется по формуле свертки:
h(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{0}^{1} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{1}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x-y)*0*dy +
+ int_{0}^{1} f(x-y)*1*dy +
+ int_{1}^{+бесконечность} f(x-y)*0*dy =
= int_{0}^{1} f(x-y)dy =
Сделаем замену z=x-y
= int_{x}^{x-1} f(z)*(-dz) = int_{x-1}^{x} f(z)dz
Если x<1, то h(x) = int_{x-1}^{x} 0*dz = 0
Если 1<=x<2 (=> 0 <= x-1 < 1), то
h(x) = int_{x-1}^{1} f(z)dz + int_{1}^{x} f(z)dz =
= int_{x-1}^{1} 0*dz + int_{1}^{x} (1/2)dz =
= 0 + (1/2)*int_{1}^{x} dz = (x-1)/2
Если 2<=x<3 (=> 1 <= x-1 < 2), то
h(x) = int_{x-1}^{x} f(z)dz = int_{x-1}^{x} (1/2)dz =
= (1/2)*int_{x-1}^{x} = (1/2)*(x-x+1) = 1/2
Если 3<=x<4 (=> 2 <= x-1 < 3), то
h(x) = int_{x-1}^{3} f(z)dz + int_{3}^{x} f(z)dz =
= int_{x-1}^{3} (1/2)dz + int_{3}^{x} 0*dz =
= (1/2)*int_{x-1}^{3} dz + 0 = (1/2)*(3-x+1) = (4-x)/2
Если x>=4 (=> x-1 >= 3), то
h(x) = int_{x-1}^{x} 0*dz = 0
h(x) = {0, x<1, x>=4
{(x-1)/2, 1<=x<2 - плотность распределения
{1/2, 2<=x<3 суммы X+Y
{(4-x)/2, 3<=x<4
F(x) = P(X+Y<x) = int_{-бесконечность}^{x} h(t)dt
Если x<1, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если 1<=x<2, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} h(t)dt + int_{1}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{x} (t-1)dt/2 =
= 0 + (1/2)*int_{1}^{x} (t-1)dt =
= (1/2)*((t^2)/2 - t) |_{1}^{x} =
= (1/2)*((x^2)/2 - x) - (1/2)*((1/2) - 1) =
= (x^2)/4 - x/2 + 1/4
Если 2<=x<3, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} h(t)dt +
+ int_{1}^{2} h(t)dt + int_{2}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt +
+ int_{1}^{2} (t-1)dt/2 + int_{2}^{x} (1/2)dt =
= 0 + (1/2)*int_{1}^{2} (t-1)dt + (1/2)*int_{2}^{x} dt =
= (1/2)*((t^2)/2 - t) |_{1}^{2} + (1/2)*(x-2) =
= (1/2)*(0+1/2) + (1/2)x - 1 = (1/2)x - (3/4) =
= (2x-3)/4
Если 3<=x<4, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} h(t)dt + int_{1}^{2} h(t)dt +
+ int_{2}^{3} h(t)dt + int_{3}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{2} (t-1)dt/2 +
+ int_{2}^{3} (1/2)dt + int_{3}^{x} (4-t)dt/2 =
= 0 + (1/2)*int_{1}^{2} (t-1)dt + (1/2)*int_{2}^{3} dt +
+ (1/2)*int_{3}^{x} (4-t)dt =
= (1/2)*((t^2)/2 - t) |_{1}^{2} + (1/2)*(3-2) +
+ (1/2)*(4t - (t^2)/2) |_{3}^{x} =
= (1/2)*(0+1/2) + (1/2) + (1/2)*(4x - (x^2)/2 - 15/2) =
= 2x - (x^2)/4 - 3
Если x>4, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{1} h(t)dt + int_{1}^{2} h(t)dt +
+ int_{2}^{3} h(t)dt + int_{3}^{4} h(t)dt + int_{4}^{x} h(t)dt
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dt + int_{1}^{2} (t-1)dt/2 +
+ int_{2}^{3} (1/2)dt + int_{3}^{4} (4-t)dt/2 +
+ int_{4}^{x} 0*dt =
= 0 + (1/2)*int_{1}^{2} (t-1)dt + (1/2)*int_{2}^{3} dt +
+ (1/2)*int_{3}^{4} (4-t)dt + 0 =
= (1/2)*((t^2)/2 - t) |_{1}^{2} + (1/2)*(3-2) +
+ (1/2)*(4t - (t^2)/2) |_{3}^{4} =
= (1/2)*(1/2) + (1/2) + (1/2)*(8 - 15/2) = (1/4) + (1/2) + (1/4) = 1
F(x) = {0, x<1
{(1/4)*((x^2)-2x+1), 1<=x<2
{(1/4)*(2x-3), 2<=x<3 - функция распределения
{(1/4)*(8x-(x^2)-12), 3<=x<4 суммы X+Y
{1, x>=4
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 янв. 2009 13:45 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР128.
Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезках [0;2] и [3;4] соответственно. Вычислить функцию и плотность суммы X+Y.
РЕШЕНИЕ.
Пусть X и Y - независимые случайные величины с плотностями
f(x) и g(y). Плотность случайной величины X+Y вычисляется по формуле свертки:
h(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy
---------------------------------------------------------------------------
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [0;2]. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1/2, 0<=x<=2
{0, x<0, x>2
Случайная величина Y равномерно распределена на отрезке [3;4]. Следовательно, плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {1, 3<=y<=4
{0, y<3, y>4
Плотность распределения суммы X+Y вычисляется по формуле свертки:
h(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{3} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{3}^{4} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{4}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{3} f(x-y)*0*dy +
+ int_{3}^{4} f(x-y)*1*dy +
+ int_{4}^{=бесконечность} f(x-y)*0*dy =
= int_{3}^{4} f(x-y)dy =
Сделаем замену z=x-y
= int_{x-3}^{x-4} f(z)*(-dz) = int_{x-4}^{x-3} f(z)dz
Если x<3 (=> x-4<-1, x-3<0), то
h(x) = int_{x-4}^{x-3} 0*dz = 0
Если 3<=x<4 (=> -1<=x-4<0, 0<=x-3<1), то
h(x) = int_{x-4}^{0} f(z)dz + int_{0}^{x-3} f(z)dz =
= int_{x-4}^{0} 0*dz + int_{0}^{x-3} (1/2)dz =
= 0 + (1/2)*int_{0}^{x-3} = (x-3)/2
Если 4<=x<5 (=> 0<=x-4<1, 1<=x-3<2), то
h(x) = int_{x-4}^{x-3} f(z)dz = int_{x-4}^{x-3} (1/2)dz =
= (1/2)*int_{x-4}^{x-3} dz = (1/2)*(x-3-x+4) = 1/2
Если 5<=x<6 (=> 1<=x-4<2; 2<=x-3<3), то
h(x) = int_{x-4}^{2} f(z)dz + int_{2}^{x-3} f(z)dz =
= int_{x-4}^{2} (1/2)dz + int_{2}^{x-3} 0*dz =
= (1/2)*int_{x-4}^{2} dz + 0 = (1/2)*(2-x+4) = (6-x)/2
Если x>=6 (=> x-4>=2; x-3>=3), то
h(x) = int_{x-4}^{x-3} f(z)dz = int_{x-4}^{x-3} 0*dz = 0
h(x) = {0, x<3, x>=6
{(x-3)/2, 3<=x<4 - плотность распределения
{1/2, 4<=x<5 суммы X+Y
{(6-x)/2, 5<=x<6
F(x) = P(X+Y<x) = int_{-бесконечность}^{x} h(t)dt
Если x<3, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если 3<=x<4, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{3} h(t)dt + int_{3}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{3} 0*dt + int_{3}^{x} (t-3)dt/2 =
= 0 + (1/2)*int_{3}^{x} (t-3)dt = (1/2)*((t^2)/2 - 3t) |_{3}^{x}
= (1/2)*((x^2)/2 - 3x + 9/2) = (1/4)*((x^2) - 6x + 9)
Если 4<=x<5, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{3} h(t)dt + int_{3}^{4} h(t)dt +
+ int_{4}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{3} 0*dt + int_{3}^{4} (t-3)dt/2 +
+ int_{4}^{x} (1/2)dt =
= 0 + (1/2)*int_{3}^{4} (t-3)dt + (1/2)*int_{4}^{x} dt =
= (1/2)*((t^2)/2 - 3t) |_{3}^{4} + (1/2)*(x-4) =
= (1/2)*(-4+9/2) + (1/2)*(x-4) = (1/2)*(1/2+x-4) =
= (1/2)*(x-7/2) = (1/4)*(2x-7)
Если 5<=x<6, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{3} h(t)dt + int_{3}^{4} h(t)dt +
+ int_{4}^{5} h(t)dt + int_{5}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{3} 0*dt +
+ int_{3}^{4} (t-3)dt/2 + int_{4}^{5} (1/2)dt +
+ int_{5}^{x} (6-t)dt/2 =
= 0 + (1/2)*int_{3}^{4} (t-3)dt + (1/2)*int_{4}^{5} dt +
+ (1/2)*int_{5}^{x}(6-t)dt =
= (1/2)*((t^2)/2 - 3t) |_{3}^{4} + (1/2)*(5-4) +
+ (1/2)*(6t - (t^2)/2) |_{5}^{x} =
= (1/2)*(-4+9/2) + (1/2) + (1/2)*(6x - (x^2)/2 - 35/2) =
= (1/2)*(1/2 + 1 + 6x - (x^2)/2 - 35/2) =
= (1/2)*(6x - (x^2)/2 - 16) = (1/4)*(12x - (x^2) - 32)
Если x>=6, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{3} h(t)dt + int_{3}^{4} h(t)dt +
+ int_{4}^{5} h(t)dt + int_{5}^{6} h(t)dt +
+ int_{6}^{x} h(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{3} 0*dt +
+ int_{3}^{4} (t-3)dt/2 + int_{4}^{5} (1/2)dt +
+ int_{5}^{6} (6-t)dt/2 + int_{6}^{x} 0*dt =
= 0 + (1/2)*int_{3}^{4} (t-3)dt + (1/2)*int_{4}^{5} dt +
+ (1/2)*int_{5}^{6}(6-t)dt + 0 =
= (1/2)*((t^2)/2 - 3t) |_{3}^{4} + (1/2)*(5-4) +
+ (1/2)*(6t - (t^2)/2) |_{5}^{6} =
= (1/2)*(-4+9/2) + (1/2) + (1/2)*(18 - 35/2) =
= (1/2)*(1/2 + 1 + 1/2) = 1
F(x) = {0, x<3
{(1/4)*((x^2) - 6x + 9), 3<=x<4 - функция
{(1/4)*(2x-7), 4<=x<5 распределения
{(1/4)*(12x - (x^2) - 32), 5<=x<6 суммы X+Y
{1, x>=6
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 янв. 2009 14:49 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР129.
Случайные величины X и Y независимы и равномерно распределены на отрезках [1;3] и [2;4] соответственно. Вычислить плотность суммы X+Y.
РЕШЕНИЕ.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [1;3]. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {1/2, 1<=x<=3
{0, x<1, x>3
Случайная величина Y равномерно распределена на отрезке [2;4]. Следовательно, плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {1/2, 2<=y<=4
{0, y<2, y>4
Плотность распределения суммы X+Y вычисляется по формуле свертки:
h(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{2} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{2}^{4} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{4}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{2} f(x-y)*0*dy +
+ int_{2}^{4} f(x-y)*(1/2)*dy +
+ int_{4}^{+бесконечность} f(x-y)*0*dy =
= 0 + (1/2)*int_{2}^{4} f(x-y)dy + 0 =
= (1/2)*int_{2}^{4} f(x-y)dy =
сделаем замену z=x-y
= (1/2)*int_{x-2}^{x-4} f(z)*(-dz) =
= (1/2)*int_{x-4}^{x-2} f(z)dz
Если x<3 (=> x-4<-1; x-2<1), то
h(x) = (1/2)*int_{x-4}^{x-2} 0*dz = 0
Если 3<=x<5 (=> -1<=x-4<1; 1<=x-2<3), то
h(x) = (1/2)*int_{x-4}^{1} f(z)dz +
+ (1/2)*int_{1}^{x-2} f(z)dz =
= (1/2)*int_{x-4}^{1} 0*dz + (1/2)*int_{1}^{x-2} (1/2)dz =
= 0 + (1/4)*int_{1}^{x-2} dz = (1/4)*(x-2-1) = (x-3)/4
Если 5<=x<7 (=> 1<=x-4<3; 3<=x-2<5), то
h(x) = (1/2)*int_{x-4}^{3} f(z)dz +
+ (1/2)*int_{3}^{x-2} f(z)dz =
= (1/2)*int_{x-4}^{3} (1/2)dz + (1/2)*int_{3}^{x-2} 0*dz =
= (1/4)*int_{x-4}^{3} + 0 = (1/4)*(3-x+4) = (7-x)/4
Если x>=7 (=>x-4>=3; x-2>=5), то
h(x) = (1/2)*int_{x-4}^{x-2} f(z)dz =
= (1/2)*int_{x-4}^{x-2} 0*dz = 0
Плотность распределения суммы X+Y имеет вид:
h(x) = {0, x<3, x>=7
{(x-3)/4, 3<=x<5
{(7-x)/4, 5<=x<7
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 янв. 2009 16:06 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР130.
Случайные величины X1 и X2 независимы и имеют показательное распределение с плотностью
f(x) = {e^(-x), x>=0
{0, x<0.
Найти плотность распределения их суммы.
РЕШЕНИЕ.
Плотность распределения случайной величины X1 имеет вид:
f(x) = {e^(-x), x>=0
{0, x<0
Плотность распределения случайной величины X2 имеет вид:
g(y) = {e^(-y), y>=0
{0, y<0
Плотность распределения суммы X1+X2 вычисляется по формуле свертки:
h(x) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x-y)g(y)dy +
+ int_{0}^{+бесконечность} f(x-y)g(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x-y)*0*dy +
+ int_{0}^{+бесконечность} f(x-y)*(e^(-y))dy =
= int_{0}^{+бесконечность} f(x-y)*(e^(-y))dy =
сделаем замену z=x-y
= int_{x}^{-бесконечность} f(z)*(e^(z-x))*(-dz) =
= int_{-бесконечность}^{x} f(z)*(e^(z-x)) dz
Если x<0, то
h(x) = int_{-бесконечность}^{x} 0*(e^(z-x)) dz = 0
Если x>=0, то
h(x) = int_{-бесконечность}^{0} f(z)*(e^(z-x)) dz +
+ int_{0}^{x} f(z)*(e^(z-x)) dz =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*(e^(z-x)) dz +
+ int_{0}^{x} (e^(-z))*(e^(z-x)) dz =
= 0 + int_{0}^{x} (e^(-x)) dz = (e^(-x))*int_{0}^{x} dz =
= x*(e^(-x))
h(x) = {0, x<0
{x*(e^(-x)), x>=0
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 янв. 2009 16:25 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
