RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР114.
Случайная величина X подчинена закону Лапласа с параметром a (a>0):
f(x) = C*e^(-a|x|). Найти коэффициент C; записать плотность распределения и функцию распределения; найти M(X) и D(X); найти вероятности событий
{|X|<sqrt(D(X))} и {|X|<3sqrt(D(X))}.
РЕШЕНИЕ.
f(x) = C*e^(-a|x|)
1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} C*e^(-a|x|) dx =
= int_{-бесконечность}^{0} C*e^(-a|x|) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} C*e^(-a|x|) dx =
= int_{-бесконечность}^{0} C*e^(ax) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} C*e^(-ax) dx =
во втором интеграле сделаем замену t=-x
= int_{-бесконечность}^{0} C*e^(ax) dx -
- int_{0}^{-бесконечность} C*e^(at) dt =
= int_{-бесконечность}^{0} C*e^(ax) dx +
+ int_{-бесконечность}^{0} C*e^(at) dt =
= 2 * int_{-бесконечность}^{0} C*e^(ax) dx =
= 2*С*int_{-бесконечность}^{0} e^(ax) dx =
= (2C/a)*e^(ax) |_{-бесконечность}^{0} =
= (2C/a)*(1 - lim{x->-бесконечность} e^(ax) ) =
= (2C/a)*(1-0) = 2C/a
1=2C/a => C=a/2
f(x) = (a/2)*e^(-a|x|)
-------------------------------------------------------------------
F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt = (*)
Если x<0, то
(*) = int_{-бесконечность}^{x} (a/2)*e^(-a|t|) dt =
= (a/2)*int_{-бесконечность}^{x} e^(-a|t|) dt =
= (a/2)*int_{-бесконечность}^{x} e^(at) dt =
= (1/2)*e^(at) |_{-бесконечность}^{x} =
= (1/2)*(e^(ax) - lim{t->-бесконечность} e^(at) ) =
= (1/2)*(e^(ax) - 0) = (1/2)*e^(ax)
Если x>=0, то
(*) = int_{-бесконечность}^{x} (a/2)*e^(-a|t|) dt =
= (a/2)*int_{-бесконечность}^{x} e^(-a|t|) dt =
= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} e^(-a|t|) dt +
+ int_{0}^{x} e^(-a|t|) dt] =
= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} e^(at) dt +
+ int_{0}^{x} e^(-at) dt] =
= (1/2)*[e^(at) |_{-бесконечность}^{0} - e^(-at) |_{0}^{x}] =
= (1/2)*[1 - lim{t->-бесконечность} e^(at) - e^(-ax) + 1] =
= (1/2)*[1 - 0 - e^(-ax) + 1] = (1/2)*[2 - e^(-ax)] =
= 1 - (1/2)*e^(-ax)
F(x) = {(1/2)*e^(ax), x<0
{1 - (1/2)*e^(-ax), x>=0
--------------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} xf(x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} x*(a/2)*e^(-a|x|) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} x*(a/2)*e^(-a|x|) dx =
= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} x*e^(-a|x|) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} x*e^(-a|x|) dx ] =
= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} x*e^(ax) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} x*e^(-ax) dx ] =
во втором интеграле сделаем замену t=-x
= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} x*e^(ax) dx +
+ int_{-бесконечность}^{0} (-t)*e^(at) dt ] =
= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} x*e^(ax) dx -
- int_{-бесконечность}^{0} t*e^(at) dt ] =
= (a/2)*0 = 0
M(X) = 0
---------------------------------------------------------------------
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*(a/2)*e^(-a|x|) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (x^2)*(a/2)*e^(-a|x|) dx =
= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*e^(-a|x|) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (x^2)*e^(-a|x|) dx ] =
= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*e^(ax) dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (x^2)*e^(-ax) dx ] =
во втором интеграле сделаем замену t=-x
= (a/2)*[int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*e^(ax) dx +
+ int_{-бесконечность}^{0} (t^2)*e^(at) dt ] =
= a*int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*e^(ax) dx =
(**) int (x^2)*e^(ax) dx = (1/a) int (x^2) d(e^(ax)) =
= (1/a)*(x^2)*e^(ax) - (2/a)*int x*e^(ax) dx =
= (1/a)*(x^2)*e^(ax) - (2/a^2)*int x*d(e^(ax)) =
= (1/a)*(x^2)*e^(ax) - (2/a^2)*x*e^(ax) +
+ (2/a^2) int e^(ax) dx =
= (1/a)*(x^2)*e^(ax) - (2/a^2)*x*e^(ax) +
+ (2/a^3)*e^(ax) (**)
= a*(2/a^3) = 2/a^2
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 2/(a^2) - 0 = 2/(a^2)
-------------------------------------------------------------------------
P(|X|<sqrt(D(X))) = P(|X|<sqrt(2)/a) =
= (-sqrt(2)/a<X<sqrt(2)/a) = F(sqrt(2)/a) - F(-sqrt(2)/a) =
= 1 - (1/2)*e^(-sqrt(2)) - (1/2)*e^(-sqrt(2)) =
= 1 - e^(-sqrt(2)) = 0.7569
P(|X|<3sqrt(D(X))) = P(|X|<3sqrt(2)/a) =
= (-3sqrt(2)/a<X<3sqrt(2)/a) = F(3sqrt(2)/a) - F(-3sqrt(2)/a) =
= 1 - (1/2)*e^(-3sqrt(2)) - (1/2)*e^(-3sqrt(2)) =
= 1 - e^(-3sqrt(2)) = 0.9856
(Сообщение отредактировал RKI 25 янв. 2009 17:41)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 25 янв. 2009 17:39 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР115.
Плотность распределения случайной величины X имеет вид
f(x) = {C*(1-x^2), |x|<=1
{0, |x|>1
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), M(X),
D(X) и вероятность P(|X-(1/2)|<1/4).
РЕШЕНИЕ.
f(x) = {C*(1-x^2), -1<=x<=1
{0, x<-1, x>1
1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-1} f(x)dx + int_{-1}^{1} f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-1} 0*dx +
+ int_{-1}^{1} C*(1-x^2) dx +
int_{1}^{+бесконечность} 0*dx =
= 0 + int_{-1}^{1} C*(1-x^2) dx + 0 =
= C*int_{-1}^{1} (1-x^2) dx =
= C*(x - (x^3)/3) |_{-1}^{1} = C*(1 - 1/3) - C*(-1 + 1/3) =
= C*(1 - 1/3 +1 - 1/3) = (4/3)*C
1 = (4/3)*C => C = 3/4
f(x) = {(3/4)*(1-x^2), -1<=x<=1
{0, x<-1, x>1
--------------------------------------------------------------------
F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt
Если x<-1, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если -1<=x<=1, то F(x) - int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} f(t)dt + int_{-1}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} 0*dt +
+ int_{-1}^{x} (3/4)*(1-t^2) dt =
= 0 + (3/4)*int_{-1}^{x} (1-t^2) dt =
= (3/4)*(t - (t^3)/3) |_{-1}^{x} =
= (3/4)*(x - (x^3)/3) - (3/4)*(-1 + 1/3) =
= (3/4)*(x - (x^3)/3 +1 - 1/3) =
= (3/4)*(x - (x^3)/3 + 2/3) = (1/4)*(3x - (x^3) + 2)
Если x>1, то F(x) = int_{-бесконечность}^{1} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} f(t)dt + int_{-1}^{1} f(t)dt +
+ int_{1}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{-1} 0*dt +
+ int_{-1}^{1} (3/4)*(1 - t^2) dt + int_{1}^{x} 0*dt =
= 0 + (3/4)*int_{-1}^{1} (1 - t^2)dt + 0 =
= (3/4)*(t - (t^3)/3) |_{-1}^{1} =
= (3/4)*(1 - 1/3) - (3/4)*(-1 + 1/3) =
= (3/4)* (1 - 1/3 + 1 - 1/3) = (3/4)*(4/3) = 1
F(x) = {0, x<-1
{(1/4)*(3x - (x^3) +2), -1<=x<=1
{1, x>1
---------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-1} xf(x)dx + int_{-1}^{1} xf(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-1} x*0*dx +
+ int_{-1}^{1} x*(3/4)*(1-x^2)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} x*0*dx =
= 0 + (3/4)*int_{-1}^{1} x(1-x^2)dx + 0 =
= (3/4)*int_{-1}^{1} (x - x^3) dx =
= (3/4)*( (x^2)/2 - (x^4)/4 ) |_{-1}^{1} =
= (3/4)*( 1/2 - 1/4 ) - (3/4)*( 1/2 - 1/4 ) = (3/4)*0 = 0
M(X) = 0
-----------------------------------------------------------------
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-1} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{-1}^{1} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{-1} (x^2)*0*dx +
+ int_{-1}^{1} (x^2)*(3/4)*(1-x^2)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =
= 0 + (3/4)*int_{-1}^{1} (x^2)*(1-x^2)dx + 0 =
= (3/4)*int_{-1}^{1} ( (x^2) - (x^4) ) dx =
= (3/4)*( (x^3)/3 - (x^5)/5 ) |_{-1}^{1} =
= (3/4)*( 1/3 - 1/5 ) - (3/4)*( - 1/3 + 1/5 ) =
= (3/4)*( 1/3 - 1/5 + 1/3 - 1/5 ) = (3/4)*(4/15) = 1/5
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (1/5) - 0 = 1/5
------------------------------------------------------------------
P(|X - (1/2)| < 1/4) = P( -1/4 < X - (1/2) < 1/4 ) =
= P( 1/4 < X < 3/4 ) = F(3/4) - F(1/4) =
= (1/4)*( 9/4 - 27/64 + 2 ) - (1/4)*( 3/4 - 1/64 + 2 ) =
= (1/4)*(245/64) - (1/4)*(175/64) = (1/4)*(70/64) = 35/128
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 13:14 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР116.
Случайная величина X имеет функцию распределения
F(x) = {0, x<0
{x^2, 0<=x<=1
{1, x>1
Найти функцию распределения случайной величины
Y = 1/(1-X).
РЕШЕНИЕ.
Функция распределения случайной величины X имеет вид:
F(x) = {0, x<0
{x^2, 0<=x<=1
{1, x>1
Тогда плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {0, x<0, x>1
{2x, 0<=x<=1
Y = 1/(1-X)
F(y) = P(Y<y) = P( 1/(1-X) < y )
Если y<0, то F(y) = int_{1}^{1-(1/y)} f(x)dx =
= int_{1}^{1-(1/y)} 0*dx = 0
Если y = 0, то F(y) = int_{1}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{1}^{+бесконечность} 0*dx = 0
Если y>0, то F(y) = int_{-бесконечность}^{1-(1/y)} f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1-(1/y)} f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} 0*dx =
= int_{-бесконечность}^{1-(1/y)} f(x)dx + 0 =
= int_{-бесконечность}^{1-(1/y)} f(x)dx = (*)
Если 0<y<1 (=> 1-(1/y) <0 ), то
(*) = int_{-бесконечность}^{1-(1/y)} 0*dx = 0
Если y>=1 (=> 1-(1/y) >= 0 ), то
(*) = int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx +
+ int_{0}^{1-(1/y)} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx +
+ int_{0}^{1-(1/y)} 2xdx =
= 0 + (x^2)|_{0}^{1-(1/y)} = (1-(1/y))^2
Функция распределения случайной величины Y имеет вид:
F(y) = {0, y<1
{(1-(1/y))^2, y>=1
Плотность распределения случайной величины Y имеет вид:
g(y) = {0, y<1
{(2/(y^2))*(1-(1/y)), y>=1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 13:39 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР117.
Найти плотность распределения суммы двух случайных величин, имеющих равномерное распределение на [0;a].
РЕШЕНИЕ.
Случайные величины X и Y равномерно распределены на отрезке [0;a]. Следовательно, точка (X;Y) равномерно распределена в квадрате [0;a]x[0;a].
Z = X+Y
F(z) = P(Z<z) = P(X+Y<z)
Если z<=0, то F(z)=0
Если 0<z<=a, то F(z) = (1/2)*(z^2)/(a^2)
Если a<z<=2a, то F(z) = ((a^2) - (1/2)*(2a-z)^2)/(a^2) =
= 1 - (1/2)*((2a-z)^2)/(a^2)
Если z>2a, то F(z) = 1
F(z) = {0, z<=0
{(1/2)*(z^2)/(a^2), 0<z<=a
{1 - (1/2)*((2a-z)^2)/(a^2), a<z<=2a
{1, z>2a
f(z) = {0, z<=0, z>2a
{z/(a^2), 0<z<=a
{(2a-z)/(a^2), a<z<=2a
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 14:40 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР118.
Найти плотность распределения разности двух случайных величин, имеющих равномерное распределение на [0;a].
РЕШЕНИЕ.
Случайные величины X и Y равномерно распределены на отрезке [0;a]. Следовательно, точка (X;Y) равномерно распределена в квадрате [0;a]x[0;a].
Z = X-Y
F(z) = P(Z<z) = P(X-Y<z)
Если z<=-a, то F(z)=0
Если -a<z<=0, то F(z) = (1/2)*((a+z)^2)/(a^2)
Если 0<z<=a, то F(z) = ((a^2) - (1/2)*(a-z)^2)/(a^2) =
= 1 - (1/2)*((a-z)^2)/(a^2)
Если z>a, то F(z) = 1
F(z) = {0, z<=-a
{(1/2)*((a+z)^2)/(a^2), -a<z<=0
{1 - (1/2)*((a-z)^2)/(a^2), 0<z<=a
{1, z>a
f(z) = {0, z<=-a, z>a
{(a+z)/(a^2), -a<z<=0
{(a-z)/(a^2), 0<z<=a
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 17:18 | IP
|
|
pavlin
Новичок
|
вот задачка-как говорят довльно легкая
заранее Благодарен за решение и помощь!
в партии из 10 изделий 4 бракованных.
Наудачу и без возвращения извлекают 3 изделия.
Пусть Х-число бракованных изделий в выборке.
Описать закон распределения Х и вычислить Fx(3)
|
Всего сообщений: 12 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 18:16 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Pavlin
Перенесите вопрос в "Теория вероятностей-2"
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 18:22 | IP
|
|
pavlin
Новичок
|
перенес,тогда это сообщение удалите
|
Всего сообщений: 12 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 26 янв. 2009 18:31 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР119.
Функция распределения случайной величины X имеет вид
F(x) = {0, x<=0
{2x - (x^2), 0<x<1
{1, x>=1
Найдите числовые характеристики данной величины: M(X) и
D(X).
РЕШЕНИЕ.
Функция распределения случайной величины X имеет вид:
F(x) = {0, x<=0
{2x - (x^2), 0<x<1
{1, x>=1
Тогда плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {0, x<=0, x>=1
{2 - 2x, 0<x<1
-------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} xf(x)dx + int_{0}^{1} xf(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} x*0*dx +
+ int_{0}^{1} x*(2 - 2x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} x*0*dx =
= 0 + int_{0}^{1} (2x - 2(x^2)) dx + 0 =
= ((x^2) - (2/3)*(x^3)) |_{0}^{1} = 1 - (2/3) = 1/3
M(X) = 1/3
-----------------------------------------------------------------
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{0}^{1} (x^2)*f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} (x^2)*f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)*0*dx +
+ int_{0}^{1} (x^2)*(2 - 2x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} (x^2)*0*dx =
= 0 + int_{0}^{1} (2(x^2) - 2(x^3)) dx + 0 =
= ((2/3)*(x^3) - (1/2)*(x^4)) |_{0}^{1} = (2/3) - (1/2) = 1/6
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = (1/6) - (1/9) = 1/18
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 янв. 2009 13:10 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР120.
Случайная величина X имеет показательное распределение с параметром a. Найти функции плотности распределения случайных величин:
а) Y = aX;
б) Z = X^2.
РЕШЕНИЕ.
Так как случайная величина X имеет показательное распределение с параметром a, то плотность распределения данной случайной величины имеет вид:
f(x) = {ae^(-ax), x>=0
{0, x<0
а) Y = aX
F(y) = P(Y<y) = P(aX<y) = P(X<y/a) =
= int_{-бесконечность}^{y/a} f(x)dx
Если y<0 (=> (y/a)<0 ), то
F(y) = int_{-бесконечность}^{y/a} 0*dx = 0
Если y>=0 (=> (y/a)>=0), то
F(y) = int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx + int_{0}^{y/a} f(x)dx
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx + int_{0}^{y/a} ae^(-ax)dx
= -e^(-ax) |_{0}^{y/a} = -(e^(-y) - 1) = 1 - e^(-y)
F(y) = {0, y<0
{1 - e^(-y), y>=0
g(y) = {0, y<0
{e^(-y), y>=0
-------------------------------------------------------------------
б) Z = X^2
F(z) = P(Z<z) = P((X^2)<z)
Если z<=0, то F(z) = 0
Если z>0, то F(z) = int_{-sqrt(z)}^{sqrt(z)} f(x)dx =
= int_{-sqrt(z)}^{0} f(x)dx + int_{0}^{sqrt(z)} f(x)dx =
= int_{-sqrt(z)}^{0} 0*dx + int_{0}^{sqrt(z)} ae^(-ax)dx =
= -e^(-ax) |_{0}^{sqrt(z)} = -(e^(-a*sqrt(z)) - 1) =
= 1 - e^(-a*sqrt(z))
F(z) = {0, z<=0
{1 - e^(-a*sqrt(z)), z>0
h(z) = {0, z<=0
{(a/2sqrt(z))*e^(-a*sqrt(z)), z>0
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 27 янв. 2009 13:26 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
