RKI 
Долгожитель
|
   
ПРИМЕР105.
Плотность распределения случайной величины X имеет вид
f(x) = {C((x+1)^(-3/2)), x>=0
{0, x<0
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), M(X),
D(X) и вероятность P(|X-1/3|<1).
РЕШЕНИЕ.
f(x) = {C((x+1)^(-3/2)), x>=0
{0, x<0
1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} C((x+1)^(-3/2)) dx =
= 0 + C*int_{0}^{+бесконечность} ((x+1)^(-3/2)) dx =
= C*(-2)*((x+1)^(-1/2)) |_{0}^{+бесконечность} =
= -2C/sqrt(x+1) |_{0}^{+бесконечность} =
= -2C*( lim{x->+бесконечность}1/sqrt(x+1) - 1 ) =
= -2C*(0-1) = 2C
2C=1 => C=1/2
f(x) = {(1/2)*((x+1)^(-3/2)), x>=0
{0, x<0
--------------------------------------------------------------------------------
F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt
Если x<0, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если x>=0, то F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} f(t)dt + int_{0}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dt +
+ int_{0}^{x} (1/2)*((t+1)^(-3/2)) dt =
= 0 + (1/2)*int_{0}^{x} ((t+1)^(-3/2))dt =
= (1/2)*(-2)*((t+1)^(-1/2)) |_{0}^{x} =
= -1/sqrt(t+1) |_{0}^{x} = -(1/sqrt(x+1)) + 1
F(x) = {1 - (1/sqrt(x+1)), x>=0
{0, x<=0
--------------------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} xf(x)dx +
+ int_{0}^{=бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (1/2)*x*((x+1)^(-3/2)) dx =
= (1/2)*int_{0}^{+бесконечность} x*((x+1)^(-3/2)) dx =
(**) int x*((x+1)^(-3/2)) dx = int (x+1-1)*((x+1)^(-3/2)) dx =
= int (x+1)*((x+1)^(-3/2))dx - int ((x+1)^(-3/2)) dx =
= int ((x+1)^(-1/2))dx - int ((x+1)^(-3/2))dx =
= 2((x+1)^(1/2)) + 2((x+1)^(-1/2)) + const =
= 2sqrt(x+1) + 2/sqrt(x+1) + const =
= (2x+4)/sqrt(x+1) + const (**)
= (1/2)*( lim{x->+бесконечность} (2x+4)/sqrt(x+1) - 4 ) =
= бесконечность
математического ожидания не существует
дисперсии не существует
------------------------------------------------------------------------------
P(|X-1/3|<1) = P(-1<X-1/3<1) = P(-2/3<X<4/3) =
= F(4/3) - F(-2/3) = 1 - sqrt(3/7)
(Сообщение отредактировал RKI 22 янв. 2009 17:23)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 янв. 2009 15:42 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР106.
Плотность распределения случайной величины X имеет вид
f(x) = {C*e^x, x<=0
{0, x>0
Вычислить константу C, функцию распределения F(x), M(X),
D(X) и вероятность P(-2<X<1).
РЕШЕНИЕ.
1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} C*(e^x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} 0*dx =
= C*int{-бесконечность}^{0} (e^x) dx =
= C*(e^x) |_{-бесконечность}^{0} =
= C*(1 - lim{x->-бесконечность} (e^x) ) =
= C*(1-0) = C
C = 1
f(x) = {e^x, x<=0
{0, x>0
-----------------------------------------------------------------------------
F(x) = P(X<x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt
Если x<=0, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{x} (e^t)dt =
= (e^t) |_{-бесконечность}^{x} =
= (e^x) - lim{t->бесконечность} (e^t) = e^x
Если x>0, то
F(x) = int_{-бесконечность}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} f(t)dt + int_{0}^{x} f(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{0} (e^t)dt + int_{0}^{x} 0*dt =
= int_{-бесконечность}^{0} (e^t)dt =
= (e^t) |_{-бесконечность}^{0} =
= 1 - lim{t->-бесконечность} (e^t) =
= 1 - 0 = 1
F(x) = {e^x, x<=0
{1, x>0
---------------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} xf(x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} x(e^x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} 0*dx =
= int_{-бесконечность}^{0} x(e^x)dx =
(**) int x(e^x)dx = int xd(e^x) = x(e^x) - int (e^x)dx =
= x(e^x) - e^x + const (**)
= -1 - lim{x->бесконечность} (x(e^x) - e^x) = -1-0 = -1
M(X) = -1
-----------------------------------------------------------------------------
M(X^2) =
= int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)(e^x)dx =
(**) int (x^2)(e^x)dx = int (x^2)d(e^x) =
= (x^2)(e^x) - 2*int x(e^x)dx = (x^2)(e^x) - 2*int xd(e^x) =
= (x^2)(e^x) - 2x(e^x) + 2*int (e^x)dx =
= (x^2)(e^x) - 2x(e^x) + 2(e^x) + const (**)
= 2 - 0 = 2
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 2 - 1 = 1
-----------------------------------------------------------------------------
P(-2<X<1) = F(1) - F(-2) = 1 - e^(-2)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 янв. 2009 17:22 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР107.
Случайная величина X имеет функцию распределения
F(x) = {(1/2)(e^x), x<=0
{1-(1/2)(e^(-x)), x>0
Вычислить плотность случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и вероятность P(-1<X<3).
РЕШЕНИЕ.
f(x) = {(1/2)(e^x), x<=0
{(1/2)(e^(-x)), x>0
--------------------------------------------------------------------------------
M(X) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} xf(x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечнгость} xf(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} (1/2)x(e^x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (1/2)x(e^(-x))dx =
Во втором интеграле сделаем замену y=-x; dx=-dy
= (1/2)*int_{-бесконечность}^{0} x(e^x)dx +
+ (1/2)*int_{0}^{-бесконечность} (-y)(e^y)(-dy) =
= (1/2)*int_{-бесконечность}^{0} x(e^x)dx +
+ (1/2)*int_{0}^{-бесконечность} y(e^y)dy =
= (1/2)*int_{-бесконечность}^{0} x(e^x)dx -
- (1/2)*int_{-бесконечность}^{0} y(e^y)dy = 0
M(X) = 0
------------------------------------------------------------------------------
M(X^2) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx
= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)f(x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (x^2)f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} (1/2)(x^2)(e^x)dx +
+ int_{0}^{+бесконечность} (1/2)(x^2)(e^(-x))dx =
Во втором интеграле сделаем замену y=-x; dy=-dx
= (1/2)*int_{-бесконечность}^{0} (x^2)(e^x)dx +
+ (1/2)*int_{0}^{-бесконечность} (y^2)(e^y)(-dy) =
= (1/2)*int_{-бесконечность}^{0} (x^2)(e^x)dx +
+ (1/2)*int_{-бесконечность}^{0} (y^2)(e^y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} (x^2)(e^x)dx =
(**) int (x^2)(e^x)dx = int (x^2)d(e^x) =
= (x^2)(e^x) - 2*int x(e^x)dx = (x^2)(e^x) - 2*int xd(e^x) =
= (x^2)(e^x) - 2x(e^x) + 2*int (e^x)dx =
= (x^2)(e^x) - 2x(e^x) + 2(e^x) + const (**)
= 2 - lim{x->-бесконечность} [(x^2)(e^x) - 2x(e^x) + 2(e^x)] =
= 2 - 0 = 2
D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 2 - 0 = 2
--------------------------------------------------------------------------------
P(-1<X<3) = F(3) - F(-1) = 1 - (1/2)(e^(-3)) - (1/2)(e^(-1))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 22 янв. 2009 17:44 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР108.
Плотность распределения случайной величины X равна
f(x) = {C(x^(-3/2)), x>=1
{0, x<1
Найти постоянную C, плотность распределения случайной величины Y=1/X и вероятность P(0.25<Y<0.64).
РЕШЕНИЕ.
1 = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} f(x)dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{1} 0*dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} C(x^(-3/2))dx =
= 0 + C*int_{1}^{+бесконечность} (x^(-3/2))dx =
= -2C*(x^(-1/2)) |_{1}^{+бесконечность} =
= -2C*( lim{x->+бесконечность} (1/sqrt(x)) - 1) =
= -2C*(0-1) = 2C
1=2C => C=1/2
f(x) = {(1/2)*(x^(-3/2)), x>=1
{0, x<1
---------------------------------------------------------------------------------
F(y) = P(Y<y) = P(1/X<y)
Если y<0, то F(y) = P(1/X<y) = P(1/y<X<0) =
= int_{1/y}^{0} f(x)dx = 0
Если y=0, то F(y) = P(1/X<y) = P(X<0) =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx = 0
Если y>0, то F(y) = P(1/X<y) = P(X<0) + P(X>1/y) =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx +
+ int_{1/y}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx +
+ int_{1/y}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{1/y}^{+бесконечность} f(x)dx = (*)
Если 0<y<=1 (1/y>=1), то
(*) = int_{1/y}^{+бесконечность} (1/2)(x^(-3/2))dx =
= -(x^(-1/2)) |_{1/y}^{+бесконечность} =
= -(lim{x->+бесконечность} (1/sqrt(x)) - sqrt(y)) =
= -(0-sqrt(y)) = sqrt(y)
Если y>1 (0<1/y<1), то
(*) = int_{1/y}^{1} f(x)dx + int_{1}^{+бесконечность} f(x)dx
= int_{1/y}^{1} 0*dx +
+ int_{1}^{+бесконечность} (1/2)(x^(-3/2))dx =
= -(x^(-1/2)) |_{1}^{+бесконечность} =
= -(lim{x->+бесконечность} (1/sqrt(x)) - 1) =
= -(0-1) = 1
F(y) = {0, y<=0
{sqrt(y), 0<y<=1
{1, y>1
f(y) = {0, y<=0, y>1
{sqrt(y), 0<y<=1
-----------------------------------------------------------------------------
P(0.25<Y<0.64) = F(0.64) - F(0.25) = sqrt(0.64) - sqrt(0.25) =
= 0.8 - 0.5 = 0.3
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 янв. 2009 14:37 | IP
|
|
Iness
Новичок
|
Помогите срочно, я на зачете!
Найти вероятность того,что среди четырех выбранных наугад цифр все одинаковые. Выборка бесповторная.
(Сообщение отредактировал Iness 24 янв. 2009 16:07)
|
Всего сообщений: 3 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 24 янв. 2009 15:48 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР109.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке [1;3]. Найти плотность распределения случайной величины
Y = (X^2)+1.
РЕШЕНИЕ.
Плотность распределения случайной величины X имеет вид
f(x) = {1/2, 1<=x<=3
{0, x<1, x>3
Y = (X^2)+1
F(y) = P(Y<y) = P((X^2)+1<y)
Если y<=1, то F(y) = 0
Если y>1, то F(y) = int_{-sqrt(y-1)}^{sqrt(y-1)} f(x)dx = (*)
Если 1<y<2 (sqrt(y-1)<1), то (*) = 0.
Если 2<=y<=10 (1<=sqrt(y-1)<=3), то
(*) = int_{-sqrt(y-1)}^{1} f(x)dx + int_{1}^{sqrt(y-1)} f(x)dx =
= int_{-sqrt(y-1)}^{1} 0*dx + int_{1}^{sqrt(y-1)} dx/2 =
= (sqrt(y-1)-1)/2
Если y>10 (sqrt(y-1)>3), то
(*) = int_{-sqrt(y-1)}^{1} f(x)dx + int_{1}^{3} f(x)dx +
+ int_{3}^{sqrt(y-1)} f(x)dx =
= int_{-sqrt(y-1)}^{1} 0*dx + int_{1}^{3} dx/2 +
+ int_{3}^{sqrt(y-1)} 0*dx =
= (3-1)/2 = 1
F(y) = {0, y<2
{(sqrt(y-1)-1)/2, 2<=y<=10
{1, y>10
g(y) = {0, y<2, y>10
{1/4sqrt(y-1), 2<=y<=10
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 янв. 2009 16:26 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР110.
Стержень длиной 24 см ломают на две части; будем считать, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Чему равна средняя длина большей части стержня?
РЕШЕНИЕ.
Обозначим X - длина одной части сломанного стержня. Тогда (24-X) - длина другой части этого стержня. X и (24-X) являются случайными величинами. Известно, что точка излома распределена равномерно по всей длине стержня. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {0, x<0, x>24
{1/24, 0<=x<=24
Рассмотрим случайную величину Y = max{X; 24-X}. Данная случайная величина характеризует большую часть сломанного стержня.
F(y) = P(Y<y) = P(max{X;24-X}<y)
Если y<=12, то F(y) = 0
Если 12<y<=24, то F(y) = int_{24-y}^{y} f(x)dx =
= int_{24-y}^{y} dx/24 = (y-24+y)/24 = (2y-24)/24 = (y-12)/12
Если y>24, то F(y) = int_{24-y}^{y} f(x)dx =
= int_{24-y}^{0} f(x)dx + int_{0}^{24} f(x)dx +
+ int_{24}^{y} f(x)dx =
= int_{24-y}^{0} 0*dx + int_{0}^{24} dx/24 +
+ int_{24}^{y} 0*dx =
= 0 + (24-0)/24 + 0 = 1
F(y) = {0, y<=12
{(y-12)/12, 12<y<=24
{1, y>24
g(y) = {0, y<=12, y>24
{1/12, 12<y<=24
M(Y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} yg(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{12} yg(y)dy +
+ int_{12}^{24} yg(y)dy +
+ int_{24}^{+бесконечность} yg(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{12} y*0*dy +
+ int_{12}^{24} (y/12)dy +
+ int_{24}^{+бесконечность} y*0*dy =
= (y^2)/24 |_{12}^{24} = (576 - 144)/24 = 18
Средняя длина большей части стержня равна 18 см.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 янв. 2009 16:41 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР111.
Отрезок длиной 12 см случайным образом разрезается на две части. Точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Чему равна средняя длина малой части отрезка?
РЕШЕНИЕ.
Обозначим X - длина одной части разрезанного отрезка. Тогда (12-X) - длина другой части этого отрезка. X и (12-X) являются случайными величинами. Известно, что точка разреза равномерно распределена по всей длине отрезка. Следовательно, плотность распределения случайной величины X имеет вид:
f(x) = {0, x<0, x>12
{1/12, 0<=x<=12
Рассмотрим случайную величину Y = min{X; 12-X}. Данная случайная величина характеризует малую часть разрезанного отрезка.
F(y) = P(Y<y) = P(min{X;12-X}<y)
Если y<=0, то
F(y) = int_{-бесконечность}^{y} f(x)dx +
+ int_{12-y}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{y} 0*dx +
+ int_{12-y}^{+бесконечность} 0*dx = 0
Если 0<y<=6, то
F(y) = int_{-бесконечность}^{y} f(x)dx +
+ int_{12-y}^{+бесконечность} f(x)dx =
= int_{-бесконечность}^{0} f(x)dx + int_{0}^{y} f(x)dx +
+ int_{12-y}^{12} f(x)dx + int_{12}^{+бесконечность} f(x)dx
= int_{-бесконечность}^{0} 0*dx + int_{0}^{y} dx/12 +
+ int_{12-y}^{12} dx/12 + int_{12}^{+бесконечность} 0*dx =
= (y-0)/12 + (12-12+y)/12 = 2y/12 = y/6
Если y>6, то
F(y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} f(x)dx = 1
F(y) = {0, y<=0
{y/6, 0<y<=6
{1, y>6
g(y) = {0, y<=0, y>6
{1/6, 0<y<=6
M(Y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} yg(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} yg(y)dy +
+ int_{0}^{6} yg(y)dy +
+ int_{6}^{+бесконечность} yg(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{0} y*0*dy +
+ int_{0}^{6} (y/6)dy +
+ int_{6}^{+бесконечность} y*0*dy =
= (y^2)/12 |_{0}^{6} = (36 - 0)/12 = 3
Средняя длина малой части отрезка равна 3 см.
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 янв. 2009 17:12 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР112.
Случайная величина X равномерно распределена на отрезке
[-1;1]. Найти плотность распределения случайной величины
Y = -ln(X+2).
РЕШЕНИЕ.
Пусть заданы плотность f(x) случайной величины X и монотонная дифференцируемая функция y=Ф(x). Тогда плотность распределения случайной величины Y=Ф(X) равна
g(y) = f(Ф^(-1)(y))*|dФ^(-1)(y)/dy|. Здесь Ф^(-1)(y) - функция, обратная функции y=Ф(x). (см. пример 104)
-------------------------------------------------------------------------------
f(x) = {0, x<-1, x>1
{1/2, -1<=x<=1
Рассмотрим функцию y=-ln(x+2). Данная функция является монотонной и дифференцируемой. Найдем обратную к ней.
y = -ln(x+2)
ln(x+2) = -y
x+2 = e^(-y)
x = e^(-y) - 2 - обратная функция к исходной функции
Найдем производную обратной функции.
dx/dy = -e^(-y)
|dx/dy| = |-e^(-y)| = e^(-y)
Y = -ln(X+2)
g(y) = f(e^(-y)-2)*e^(-y) = {0, e^(-y)-2 < -1, e^(-y)-2 > 1
{1/2, -1 <= e^(-y)-2 <= 1
(*)
e^(-y)-2<-1 e^(-y)-2>1 -1<=e^(-y)-2<=1
e^(-y)<1 e^(-y)>3 1<=e^(-y)<=3
-y<0 -y>ln3 0<=-y<=ln3
y>0 y<-ln3 -ln3<=y<=0 (*)
g(y) = {0, y<-ln3, y>0
{1/2, -ln3<=y<=0
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 25 янв. 2009 12:06 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
ПРИМЕР113.
Случайные величины X1, X2, ..., Xn независимы и равномерно распределены на отрезке [a;b]. Найти функции распределения и функции плотности распределения величин
Y = min{X1, X2, ..., Xn} и Z = max{X1, X2, ..., Xn}. Доказать, что
M((Y+Z)/2) = (a+b)/2.
РЕШЕНИЕ.
Случайные величины Xi (i=1,2,...,n) равномерно распределены на отрезке [a;b]. Следовательно, плотность распределения случайной величины Xi имеет вид:
fi(x) = {1/(b-a), a<=x<=b
{0, x<a, x>b
P(Xi<x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt
Если x<a, то P(Xi<x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{x} 0*dt = 0
Если a<=x<=b, то P(Xi<x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{a} fi(t)dt + int_{a}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{a} 0*dt + int_{a}^{x} dt/(b-a) =
= 0 + (1/(b-a))*int_{a}^{x} dt = (x-a)/(b-a)
Если x>b, то P(Xi<x) = int_{-бесконечность}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{a} fi(t)dt + int_{a}^{b} fi(t)dt +
+ int_{b}^{x} fi(t)dt =
= int_{-бесконечность}^{a} 0*dt + int_{a}^{b} dt/(b-a) +
+ int_{b}^{x} 0*dt =
= 0 + (1/(b-a)) * int_{a}^{b} dt + 0 = (b-a)/(b-a) = 1
P(Xi<x) = {0, x<a
{(x-a)/(b-a), a<=x<=b
{1, x>b
P(Xi>=x) = 1 - P(Xi<x) = {1, x<a
{(b-x)/(b-a), a<=x<=b
{0, x>b
--------------------------------------------------------------------------
Y = min{X1, X2, ..., Xn}
P(Y<y) = P(min{X1, X2, ..., Xn}<y) =
= 1 - P(min{X1, X2, ..., Xn}>=y) =
= 1 - P(X1>=y, X2>=y, ..., Xn>=y) =
случайные величины X1, X2, ..., Xn независимы
= 1 - P(X1>=y)*P(X2>=y)*...*P(Xn>=y) = (*)
Если y<a, то (*) = 1-1 = 0
Если a<=y<=b, то (*) = 1 - ((b-y)/(b-a))^n
Если y>b, то (*) = 1-0 = 1
F(y) = P(Y<y) = {0, y<a
{1 - ((b-y)/(b-a))^n, a<=y<=b
{1, y>b
g(y) = {0, y<a, y>b
{(n/(b-a))*((b-y)/(b-a))^(n-1), a<=y<=b
------------------------------------------------------------------------------
M(Y) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} yg(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{a} yg(y)dy + int_{a}^{b} yg(y)dy +
+ int_{b}^{+бесконечность} yg(y)dy =
= int_{-бесконечность}^{a} y*0*dy +
+ int_{a}^{b} y*(n/(b-a))*((b-y)/(b-a))^(n-1) dy +
+ int_{b}^{+бесконечность} y*0*dy =
= int_{a}^{b} y*(n/(b-a))*((b-y)/(b-a))^(n-1) dy =
сделаем замену t = (b-y)/(b-a)
= int_{0}^{1} (b - (b-a)t)*n*t^(n-1) dt =
= int_{0}^{1} b*n*t^(n-1) dt +
+ int_{0}^{1} (b-a)*n*t^n dt =
= b*t^n |_{0}^{1} - ((b-a)n/(n+1))*t^(n+1) |_{0}^{1} =
= b - (b-a)n/(n+1)
M(Y) = b - (b-a)n/(n+1)
-------------------------------------------------------------------------------
Z = max{X1, X2, ..., Xn}
P(Z<z) = P(max{X1, X2, ..., Xn}<z) =
= P(X1<z, X2<z, ..., Xn<z) =
случайные величины X1, X2, ..., Xn независимы
= P(X1<z)*P(X2<z)*...*P(Xn<z) = (**)
Если z<a, то (**) = 0
Если a<=z<=b, то (**) = ((z-a)/(b-a))^n
Если z>b, то (**) = 1
F(z) = P(Z<z) = {0, z<a
{((z-a)/(b-a))^n, a<=z<=b
{1, z>b
h(z) = {0, z<a, z>b
{(n/(b-a))*((z-a)/(b-a))^(n-1), a<=z<=b
------------------------------------------------------------------------------
M(Z) = int_{-бесконечность}^{+бесконечность} zh(z)dz =
= int_{-бесконечность}^{a} zh(z)dz + int_{a}^{b} zh(z)dz +
+ int_{b}^{+бесконечность} zh(z)dz =
= int_{-бесконечность}^{a} z*0*dz +
+ int_{a}^{b} z*(n/(b-a))*((z-a)/(b-a))^(n-1) dz +
+ int_{b}^{+бесконечность} z*0*dz =
= int_{a}^{b} z*(n/(b-a))*((z-a)/(b-a))^(n-1) dz =
сделаем замену t = (z-a)/(b-a)
= int_{0}^{1} (a + (b-a)t)*n*t^(n-1) dt =
= int_{0}^{1} a*n*t^(n-1) dt +
+ int_{0}^{1} (b-a)*n*t^n dt =
= a*t^n |_{0}^{1} + ((b-a)n/(n+1))*t^(n+1) |_{0}^{1} =
= a + (b-a)n/(n+1)
M(Z) = a + (b-a)n/(n+1)
---------------------------------------------------------------------------
M(Y+Z) = M(Y) + M(Z) = b - (b-a)n/(n+1) + a + (b-a)n/(n+1) =
= b + a
M((Y+Z)/2) = (1/2)*M(Y+Z) = (b+a)/2
(Сообщение отредактировал RKI 25 янв. 2009 15:09)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 25 янв. 2009 15:07 | IP
|
|
|
Форум
2.6.2 Теория вероятностей в примерах
