Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Функциональный анализ
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Roman Osipov



Долгожитель

Функционал это же частный случай оператора, потом molly написала, что этот оператор ставит непрерывной на [0;1] функции действительное число (просто написала оператор, вместо функционал), так что же Вас смущает, MEHT

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 23 марта 2008 23:41 | IP
MEHT



Долгожитель

Спасибо, теперь ничего.
Однако, если А - функционал, то в данном случае зависимости от t в левой части быть не должно.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 23 марта 2008 23:53 | IP
Roman Osipov



Долгожитель

Это не зависимость, просто записано, что A действует на функцию, зависящую от t.
Вы нашли норму?

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 марта 2008 0:01 | IP
MEHT



Долгожитель

Пока что получил только ту же оценку
1 + 1/pi >= ||A||.
Есть подозрение, норма меньше единицы и равна 1/pi.
Но опять таки - только догадка...

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 марта 2008 0:58 | IP
Roman Osipov



Долгожитель

Например, если рассмотреть последовательность функций
x(t)=exp(-k*(t-(1/2))^2),
k — натуральное (ясно, что все такие функции принадлежат C[0;1] и их Чебышова норма равна 1), и увеличивать k, то в таком случае ||Ax(t)||--->1. Поэтому, норма функционала должна быть очень близка к 1, а с учетом того, что при нахождении ||A|| берется sup||Ax(t)|| по ||x(t)||=1, получается, что 1=<||A||<=1+1/pi. У меня есть подозрение, нужно аккуратно проверить, что ||A|| не можеть быть больше единицы, тогда будет доказано, что ||A||=1


(Сообщение отредактировал Roman Osipov 24 марта 2008 9:17)

-----
Уникальный курс "Технологии Wolfram в действии" о Mathematica 10, Wolfram Cloud, Wolfram|ALpha, CDF и многом другом, не пропустите! Подробнее....

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 марта 2008 9:15 | IP
MEHT



Долгожитель

Эти функции в точке x=1/2 имеют максимум. При увеличении k график сужается около этого значения - площадь под графиком уменьшается. ЭТо обстоятоятельство сказывается на интеграл под знаком нормы - он также уменьшается. Вследствие этого на значение нормы существенно сказывается не интеграл, а значение x(1/2)=1.

Ну а если рассмотреть функции, обращающиеся в точке t=1/2 в нуль.
Максимум x(t0)=1 достигался бы любой другой точке - например в точке t0=1/4 или t0=3/4 (или в обоих точках одновременно).
И по мере увеличения k площадь под графиком бы нарастала около максимума (максимумов).
(аналитического выражения пока подбирать не пытался)

В этом случае норма бы существенно зависела от интеграла и по мере увеличения площади под графиком,
||Ax(t)|| стремилась бы к 1/pi.

Это только формальные рассуждения, не претендующие на математическую строгость. Возможно, что где-то и ошибаюсь.

Наскольно я понял, Вы являетесь студентом-математиком, я же студент-физик и в подобных вопросах во многом Вам уступаю, т.к. на настоящий момент функциональный анализ знаю довольно посредственно.

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 марта 2008 14:53 | IP
Roman Osipov



Долгожитель

Нельзя забывать, что функция x(t) непрерывна и ее область значений не может "выходить" за пределы полосы [-1;1] (т. к. мы ищем sup||Ax(t)|| по ||x(t)||=1). В этих условиях получается, что интеграл для такой функции x(t) не превысит 1/pi. Но стоит задача найти sup, и мой пример строго показывает (вернее, применяя его можно строго показать), что ||A||>=1.
К Вашему примеру:
Так как функция f(t)=t*sin(pi*t) неотрицательна и не превышает единицы на отрезке [0,1], то если мы рассмотрим функцию x(t), такую, что x(1/2)=0 и к тому же ||x(t)||=1, то получим, что для таких функций ||Ax(t)||<=1/pi, но для того чтобы найти норму оператора нужна точная верхняя грань ||Ax(t)|| при ||x(t)||=1, Вы же получили простно верхнюю грань, для некоторого специального вида функций.
Стоит вопрос: можно ли найти непрерывную функцию x(t), с нормой 1, такую, что ||Ax(t)||>1, если удастся доказать, что нет, то с использованием моих функций специального вида будет доказано, что ||A||=1.
Над последним вопросом я сейчас думаю.

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 марта 2008 17:10 | IP
Molly


Новичок

большое всем спасибо. Сделала и сдала. Норма А=1

Всего сообщений: 16 | Присоединился: март 2008 | Отправлено: 24 марта 2008 18:37 | IP
Roman Osipov



Долгожитель

Рад, что мой ответ правилен

Всего сообщений: 2356 | Присоединился: май 2007 | Отправлено: 24 марта 2008 19:36 | IP
MEHT



Долгожитель

Roman Osipov, благодарю за ответ.
Каюсь - не учёл того, что супремум должен быть точным...

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 марта 2008 19:48 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com