Math
Удален
|
   
Дана следующая задача.
Записать в виде интеграла Стилтьеса и вычислить с помощью теоремы Рисса для пространства С([0,1]) норму функционала
Fx=lim( интеграл (x(t^n)dt)))
Словами: функционал есть предел (при n стремящемся к бесконечности) интеграла Подынтегральная функция - x(t^n), Интегрирования производится по t от 0 до 1.
t^n – t в степени n.
Я делал следующим образом. Делал замену переменных a=t^n, тогда под знаком дифференциала оказалась следующая функция g(u)=lim( n-корень из a) (n--->бесконечности).По теореме Рисса норма исходного функционала есть норма функции g(u) в пространстве функции ограниченных вариацией.(обозначается V).
Так вот у меня вопрос – чему равна норма g(u) в данном пространстве V. Я считал двумя способами
1)совершил предельный переход прямо в функции g(u) и получил 1. Но норма функции g(u)==1 в пространстве V равна 0.
2)Не совершая предельного перехода, просто в лоб посчитал вариацию. Получил
нераскрывающуюся неопределенность «0 в степени 1/n» или “0 в степени 0”.
Хотя может кто-то найдет ошибку в рассуждениях. Буду рад, если кто-нибудь сможет все объяснить с пояснениями и обоснованиями или дать ссылку на литературу или сайты
Спасибо, надеюсь не запутал в обозначениях.
p.s. И еще вопрос, при каких условиях можно совершать предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 6 окт. 2005 21:31 | IP
|
|
dm
Удален
|
Норма может равняться нулю только для нулевого вектора.
Вы неправильно себе представляете, что является нормой в пространстве функций ограниченной вариации. Вариация сама по себе нормой не является. Вы потеряли еще одно слагаемое: |x(0)|.
Условия *-слабой сходимости в пространстве функций ограниченной вариации дает теорема Хелли: F_n(x)->F(x) во всех точках х непрерывности F, F_n(0)->F(0), F_n(1)->F(1).
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 6 окт. 2005 22:51 | IP
|
|
Math
Удален
|
Цитата: dm написал 6 окт. 2005 22:51
Норма может равняться нулю только для нулевого вектора.
Да что вы такое говорите ...а вы знаете что нулевой вектор можно предсттавить самым разнообразным способом
напрмиер x=(y+1)+(1-y)-2. Ну это один из простейших вариантов. Это во-первых, во-вторых норма в пространстве ф-ии огр.вар. есть sup по всем суммам вариацией произвольного разбиения отрезка [0,1]/ Другое дело, что обычно отрезок делят на интервалы монотонности. Так что на вопрос вы не ответили. Но спасибо за обсуждение.
Предлагаю Вам решить и сказать ответ. Лично у меня два варианта 0 или 1.
(Сообщение отредактировал Math 7 окт. 2005 21:50)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 7 окт. 2005 21:48 | IP
|
|
dm
Удален
|
Да что вы такое говорите ...а вы знаете что нулевой вектор можно предсттавить самым разнообразным способом
напрмиер x=(y+1)+(1-y)-2. Ну это один из простейших вариантов.
И что это меняет? 
Условие невырожденности (т.е. обращение в нуль только на нулевом элементе) входит в определение нормы. Если его отбросить, то это уже не будет норма. (Иногда рассматривают так называемые полунормы, для которых не выполнено условие невырожденности.)
В пространстве функций ограниченной вариации сама вариация нормой не будет (только полунормой), а нормой была бы, например, |x(0)|+Var_[0,1]x(.)
Это во-первых, во-вторых норма в пространстве ф-ии огр.вар. есть sup по всем суммам вариацией произвольного разбиения отрезка [0,1]/ Другое дело, что обычно отрезок делят на интервалы монотонности.
Вариация сама по себе просто в пространстве функций ограниченной вариации является только полунормой.
Другое дело, что сопряженным пространством к пространству непрерывных функций обычно выбирают пространство функций ограниченной вариации, обращающихся в ноль в нуле и непрерывных справа на (0,1]. В нем уже сама вариация будет нормой.
Так что на вопрос вы не ответили. Но спасибо за обсуждение.
Предлагаю Вам решить и сказать ответ. Лично у меня два варианта 0 или 1.
А я предлагаю Вам понять, что на этом форуме не решают за Вас стандартные задачи. На этом форуме отвечают на вопросы людям, которые не ленятся заглянуть в учебник и подумать. Я объяснил Вам, почему ответ ноль не может быть правильным. Теперь Вам имело бы смысл заглянуть в учебник по функциональному анализу, подумать (в том числе над тем, что я написал здесь) и дорешать задачу. А если что-нибудь будет непонятно, задавать вопросы дальше.
(Сообщение отредактировал dm 8 окт. 2005 10:17)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 окт. 2005 5:17 | IP
|
|
Math
Удален
|
Ой да мне и не нужно решение, вся проблема в том, что я не знаю когда надо производить предельный переход. Вся соль задачи,в том что в определении фукнционала присутсвует предел. Если бы предела не было, то ответ понятен - 1 и здесь я с Вами не спорю.
(Сообщение отредактировал Math 8 окт. 2005 17:57)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 окт. 2005 17:52 | IP
|
|
dm
Удален
|
Цитата: Math написал 8 окт. 2005 16:52
вся проблема в том, что я не знаю когда надо производить предельный переход.
Я же написал условия, когда можно переходить к пределу:
Цитата: dm написал 6 окт. 2005 21:51
теорема Хелли: F_n(x)->F(x) во всех точках х непрерывности F, F_n(0)->F(0), F_n(1)->F(1).
Если что-то непонятно, спрашивайте.
Цитата: Math написал 8 окт. 2005 16:52
Вся соль задачи,в том что в определении фукнционала присутсвует предел.
На самом деле сейчас считается явный вид этого предельного функционала. Он окажется очень простым.  И чтобы его найти, даже необязательно делать замену переменной в интеграле. Можно просто перейти к пределу в интеграле (предел занесется под интеграл) по теореме Лебега о мажорированной сходимости (а потом предел занесется под аргумент в силу непрерывности функции).
Но можно решать и по теореме Хелли, честно проверяя, что такие-то функционалы слабо сходятся к такому-то функционалу.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 8 окт. 2005 18:58 | IP
|
|
Math
Удален
|
На самом деле сейчас считается явный вид этого предельного функционала. Он окажется очень простым. И чтобы его найти, даже необязательно делать замену переменной в интеграле. Можно просто перейти к пределу в интеграле (предел занесется под интеграл) по теореме Лебега о мажорированной сходимости (а потом предел занесется под аргумент в силу непрерывности функции).
но занеся предел в аргумент получим подинтегральную функцию x(0), а норма данного функционала равна 1.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 окт. 2005 12:53 | IP
|
|
dm
Удален
|
И что Вас в этом удивляет?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 9 окт. 2005 15:11 | IP
|
|
Math
Удален
|
У меня возник еще один вопрос. На этот раз надо справиться с весьма необычным функционалом. fx=x(1/2) . Пространтсво С([0,1]). Найти норму. Я посчитал и получился ответ 1.
Как делал. В общем представил данную функцию в виде интеграла Стильтеса. Получился интеграл с мерой
{ t, t=1/2
dFn(x)= {
{ 0, t!=1/2
Норма данной фукнции равна вариации. Но т.к у нас фукнция всюду равна 0 кроме, 1/2, то её вариация равна 1/2+1/2 = 1. Хотел бы узнать ваше мненеи насчет правильности решения.
Спасибо
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 11 окт. 2005 21:56 | IP
|
|
dm
Удален
|
На этот раз надо справиться с весьма необычным функционалом. fx=x(1/2)
Чем же этот функционал необычнее предыдущего? Это в точности такого же типа функционал. Дельта-функция Дирака в некоторой точке.
Как делал. В общем представил данную функцию в виде интеграла Стильтеса.
Можно, конечно, и так. Но ничуть не сложнее (а, может, и проще) сейчас считается норма и просто по определению нормы функционала в произвольном нормированном пространстве (без использования информации об интегральном виде функционала).
Получился интеграл с мерой
{ t, t=1/2
dFn(x)= {
{ 0, t!=1/2
Странная запись. Слева есть d, справа нет, слева есть n, справа нет, слева х, справа t.
Но т.к у нас фукнция всюду равна 0 кроме, 1/2, то её вариация равна 1/2+1/2 = 1.
Нет. Как Вы считаете вариацию? Вариация функции, которая всюду на отрезке, кроме одной внутренней точки, равна нулю, а в ней единице, равна не 1, а 2.
Но сейчас дело в том, что Вы неправильно выбрали функцию F. Я же выше писал, что норма в пространстве функций ограниченной вариации равна вариации, если Вы берете функции ограниченной вариации обращающимися в ноль в нуле и непрерывными справа на (0,1]. Ваша F сейчас не такая. Можете сами проверить, что ей сейчас соответствует вовсе не функционал, ставящий в соответствие функции ее значение в некоторой точке, а тождественно нулевой функционал.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 12 окт. 2005 3:48 | IP
|
|
|
Форум
Функциональный анализ
