agathis
Начинающий
|
    
Цитата: Genrih написал 12 окт. 2006 23:37
"Вернемся к нашим баранам".
Цитата: agathis написал 9 окт. 2006 16:50
1, x, …,x^n,… образуют базис(не ортогональный) в L^2[0,1].
Еще здесь у Вас ошибка. Данная последовательность не будет базисом даже в С[0,1], тем паче и в L^2 .
А разве L^2[0,1] не сепарабельно?
любой элемент из L^2[0,1] можно представить как предел
последовательности многочленов(или, что то же самое, бесконечной суммы ф-ций 1, x^2, ... , x^n, ...).
Кстати, бесконечная линейная комбинация этих ф-й легко может выйти за пределы L^2[0,1]
|
Всего сообщений: 59 | Присоединился: август 2006 | Отправлено: 14 окт. 2006 16:19 | IP
|
|
agathis
Начинающий
|
Цитата: Genrih написал 14 окт. 2006 12:39
Идет речь о бесконечном числе, т.е. 1, x, x^2, ...,x^n, ...
Теорема. В сепарабельном пространстве всякая полная система будет базисом.
Для несепарабельных етого сказать нельзя.
Еще и так можно рассуждать:
пусть полиномы образуют базис в С[0,1] и f= c0 + c1*t + ...+ cn*t^n+ ... . Из равномерной сходимости ряда при t<1 следует аналитичность функции f. Однако пространство C [0,1] не исчерпывается етими функциями.
Genrih, в вашем контрпримере Вы исключаете точку 1. Таким образом f принадлежит не L^2[0,1], а L^2[0,1) . Разница существенна, так-как первое пространство компактно, а второе - нет.
|
Всего сообщений: 59 | Присоединился: август 2006 | Отправлено: 14 окт. 2006 17:01 | IP
|
|
agathis
Начинающий
|
прошу прощения, описка вышла:
там, где я сказал, что бесконечная линейная комбинация этих ф-й легко может выйти за пределы L^2[0,1],
я имел в виду C[0,1] .
|
Всего сообщений: 59 | Присоединился: август 2006 | Отправлено: 14 окт. 2006 17:05 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Страница 181 из Садовничий "Теория операторов" -- внешняя ссылка удалена
или в jpeg
(Сообщение отредактировал Genrih 14 окт. 2006 17:53)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 окт. 2006 18:48 | IP
|
|
agathis
Начинающий
|
Цитата: Genrih написал 14 окт. 2006 18:48
Страница 181 из Садовничий "Теория операторов" -- внешняя ссылка удалена
или в jpeg
хорошо, с классической монографией спорить не стану.
Выношу на повестку дня следующую проблему:
-как соотносятся L^2(X,dM) и L^1(X,dM) в зависимости от X и M.
Здесь M - это какая-либо мера на X. В частности, как их взаимное отношение зависит от того, компактно ли X.
Некоторые примеры я уже могу привести, скажем если взять L^2(R,dM) и L^1(R,dM), где M - это обычная мера Лебега, то ни одно из этих пространств не включает другого,
т.к. легко можно построить примеры ф-й, принадлежащих L^2(R,dM) и не принадлежащих L^1(R,dM) и наоборот.
(Сообщение отредактировал Genrih 14 окт. 2006 17:53)
|
Всего сообщений: 59 | Присоединился: август 2006 | Отправлено: 15 окт. 2006 11:12 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Цитата: agathis написал 15 окт. 2006 10:12
хорошо, с классической монографией спорить не стану.
Не в етом дело. Мне, поначалу казалось верным ваше решение. Но, задумавшись, действтительно нашлись "дырки" в вашем доказательстве. Задача, действительно интересная.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 15 окт. 2006 12:27 | IP
|
|
agathis
Начинающий
|
Итак, что мы имеем: искомое ортогональное дополнение пока не найдено.
|
Всего сообщений: 59 | Присоединился: август 2006 | Отправлено: 15 окт. 2006 17:11 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
agathis, попытайтесь описать класс функций, ортогональных всей данной системе многочленов (или, как выразился llorin1, рассмотреть ядро автоморфизма), т.е. описать все {f}:
Sp(x)*f(x)dx = 0 для всех p(x)
(S-интеграл от 0 до 1, p(x)- один из многочленов системы).
(Сообщение отредактировал Genrih 15 окт. 2006 22:10)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 15 окт. 2006 23:10 | IP
|
|
agathis
Начинающий
|
Цитата: Genrih написал 15 окт. 2006 23:10
agathis, попытайтесь описать класс функций, ортогональных всей данной системе многочленов (или, как выразился llorin1, рассмотреть ядро автоморфизма), т.е. описать все {f}:
Sp(x)*f(x)dx = 0 для всех p(x)
(S-интеграл от 0 до 1, p(x)- один из многочленов системы).
(Сообщение отредактировал Genrih 15 окт. 2006 22:10)
Когда я впервые увидел постановку задачи, то именно так и попытался сделать - не получилось. Оказалось, что не от чего отталкиваться при поиске таких f. Вообще говоря, не ясно даже а каком виде следует искать эти ф-и. Хотя, пожалуй, следует еще попытаться.
p.s. Самое забавное в этой ситуации то, что в дискуссию по поводу доказательства ввязались уже почти все, посещающие этот раздел, а пользователь Nitka, который как раз и просил решить эту задачу, судя по всему, здесь уже давно не появляется.
|
Всего сообщений: 59 | Присоединился: август 2006 | Отправлено: 16 окт. 2006 15:22 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
А дополнением к {x} что будет ?
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 17 окт. 2006 14:47 | IP
|
|
|
Форум
Функциональный анализ
