agathis
Начинающий
|
    
Народ, помогите решить! Реально надо!
1)В гильбертовом пространстве L^2 (L в степени 2) (0,1) найти
ортогональное дополнение к множеству
многочленов с нулевым свободным членом.
Первое, что приходит в голову – это метод решения в лоб, хотя при этом искомый результат и представляется в виде суммы довольно экзотического ряда;
-Вас устроит такой вариант?
Множество всех многочленов, как известно, плотно в L^2[0,1], то есть ф-ции:
1, x, …,x^n,… образуют базис(не ортогональный) в L^2[0,1]. Подпространство, порождаемое всеми линейными комбинациями элементов x, …,x^n,… совпадает с множеством многочленов с нулевым свободным членом. В то же время оно может быть дополнено до базиса путем прибавления 1. Значит искомое ортогональное дополнение одномерно. Достаточно найти произвольный ненулевой элемент орт. дополнения.
Ортогонализируем множество x, …,x^n , то есть перейдем к новой системе векторов, которая будет ортогональна и порождать то же самое подпространство.
Возьмем wn = x^n - S(i=1;n-1)wi(x^n,wi), здесь S(i=1;n-1) означает суммирование от i=1 до n-1. Теперь осталось добавить к этой системе векторов 1 и найти соответствующий w0 , ортогональный ко всем wi : w0 = 1 - S(i=1;N)wi(1,wi) , здесь через N обозначена бесконечность.
|
Всего сообщений: 59 | Присоединился: август 2006 | Отправлено: 9 окт. 2006 17:50 | IP
|
|
llorin1
Участник
|
см. Ядро соот. автоморфизма.
|
Всего сообщений: 147 | Присоединился: июнь 2006 | Отправлено: 9 окт. 2006 18:29 | IP
|
|
agathis
Начинающий
|
Цитата: llorin1 написал 9 окт. 2006 18:29
см. Ядро соот. автоморфизма.
это ты кому?
|
Всего сообщений: 59 | Присоединился: август 2006 | Отправлено: 10 окт. 2006 15:08 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
agathis, это он собой любуется
Цитата: llorin1 написал 9 окт. 2006 18:29
см. Ядро соот. автоморфизма.
llorin1, Вы уже не в первый раз пытаетесь показать себя очень умным и в то же время не дать ответа на конкретный вопрос (к тому же, как и все эльфы  , Вы кичитесь своим превосходством ).
Если Вы такой умный, ответьте, пожалуйста, на вопрос:
Морфизм какой категории, и почему он должен быть обязательно автоморфизмом? Приведите его. Какой теоремой о ядре автоморфизма необходимо воспользоваться?
Если не ответите, значит Вы пустослов.
Guest, давайте без перехода на личности.
#genrih
(Сообщение отредактировал Genrih 12 окт. 2006 12:00)
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 12 окт. 2006 11:31 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Прошу прощения, ув. Модератор, но перечитайте ветку про стохастические д.у. и Вы поймёте причину моего возмущения.
Здесь повторяется тоже самое, фигурально выражаясь, в лице llorin1 опять начинается фаллометрия (ради бога простите меня за этот эффемизм).
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 12 окт. 2006 15:41 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
"Вернемся к нашим баранам".
Цитата: agathis написал 9 окт. 2006 16:50
1, x, …,x^n,… образуют базис(не ортогональный) в L^2[0,1].
Еще здесь у Вас ошибка. Данная последовательность не будет базисом даже в С[0,1], тем паче и в L^2 .
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 12 окт. 2006 23:37 | IP
|
|
sms
Удален
|
Многочленов всевозможных степеней или до фиксированной?
(Это про условие задачи)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 13 окт. 2006 19:04 | IP
|
|
Guest
Новичок
|
Цитата: Genrih написал 12 окт. 2006 23:37
"Вернемся к нашим баранам".
Цитата: agathis написал 9 окт. 2006 16:50
1, x, …,x^n,… образуют базис(не ортогональный) в L^2[0,1].
Еще здесь у Вас ошибка. Данная последовательность не будет базисом даже в С[0,1], тем паче и в L^2 .
Genrih, тут Вы неправы -- Эта система функций будет полной и в С[0,1] (теорема Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывной на отрезке функции полиномами) и в L^2[0,1]
|
Всего сообщений: Нет | Присоединился: Never | Отправлено: 14 окт. 2006 0:17 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Цитата: Guest написал 14 окт. 2006 0:17
Цитата: Genrih написал 12 окт. 2006 23:37
"Вернемся к нашим баранам".
Цитата: agathis написал 9 окт. 2006 16:50
1, x, …,x^n,… образуют базис(не ортогональный) в L^2[0,1].
Еще здесь у Вас ошибка. Данная последовательность не будет базисом даже в С[0,1], тем паче и в L^2 .
Genrih, тут Вы неправы -- Эта система функций будет полной и в С[0,1] (теорема Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывной на отрезке функции полиномами) и в L^2[0,1]
Смотря как трактовать систему
1) 1, x, x^2, x^3, ..., x^n - конечное к-во функций,
или
2) 1, x, x^2, x^3, ..., x^n,... - беск. функциональная последовательность.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 14 окт. 2006 8:06 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Идет речь о бесконечном числе, т.е. 1, x, x^2, ...,x^n, ...
Теорема. В сепарабельном пространстве всякая полная система будет базисом.
Для несепарабельных етого сказать нельзя.
Еще и так можно рассуждать:
пусть полиномы образуют базис в С[0,1] и f= c0 + c1*t + ...+ cn*t^n+ ... . Из равномерной сходимости ряда при t<1 следует аналитичность функции f. Однако пространство C [0,1] не исчерпывается етими функциями.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 14 окт. 2006 12:39 | IP
|
|
|
Форум
Функциональный анализ
