ProstoVasya
Долгожитель
|
   
Т.к. у Вас оператор линейный, то достаточно доказать его ограниченность. Надо доказать неравенство ||Cx||<= A||x||, где А-константа. Когда напишите интеграл от квадрата Cx, то выполните замену переменной y=(1-t^3)^(1/3) и учтите, что | (1+i*sin y)|^2 <=2.
Всё должно получится.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 18 дек. 2008 21:06 | IP
|
|
Halfpronoob
Новичок
|
К завтрышнему дню нужно сдать задачки по функану, хотел посоветоваться по поводу правильности, так как после а\о мало что помню.
Задача: Пусть Х - нормированное пространство. Доказать, что для любых x,y принадлежащих Х, таких что х<>y(не равно), существует функционал f из Х*(сопряженного к Х), такой, что f(x)<>f(y).
Решение(?):Предположим, что х>y, тогда х=y+z, а по аддитивности и однородности f(так как оно из Х*), можем расписать, что f(x)=f(y+z)=f(y)+f(z).
Предположив обратное, требуемому, получим, что для любого f из Х* => f(x)=f(y) => f(y)+f(z)=f(y) => f(z)=0, а так как f из X* непрерывен, то по теореме об эквивалентности непрерывности и непрерывности в нуле, получаем, что z=0, т.е. x=y. Противоречие.
Правильно ли решение?
Либо чуть упростил:
if x<>y then x=y+z, где z<>0 и z принадлежит Х
тогда по следствию из th Хана-Банаха
существует f из X* : ||f|| = 1 и f(z)=||z||
из линейности f => f(x) = f(y+z) = f(y) +f(z)
т.к f(z)<>0 => f(x)<>f(y)
("<>" - неравно)
(Сообщение отредактировал Halfpronoob 19 дек. 2008 20:46)
|
Всего сообщений: 8 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 19 дек. 2008 17:36 | IP
|
|
Halfpronoob
Новичок
|
Подкину сразу еще пару задачек,
1)Найти норму функционала f принадлежит l1*(эль 1 со звездой)
f(x)=x1+x2
я понять не могу, норма тупо равна 2?
или тут норма функционала в l1* эквивалентна норме a=(1,1,0,0,...) в l(infinum). Подскажите как правильно и какой ответ?
2)Принадлежит ли функционал f(x) = sum(k from 1 to inf) (2-1/k)Xk
(сумма по к от 1 до бесконечности (2-1/k)Хкатых)
пространству Х*, если Х=l1,l2,l(inf) (эль1. эль2. эль бесконечность), если да то найти норму функционала.
3)Пусть х=С[-1,1], f(x) =x`(0). Найти областо определения функции f и исслед его на ограниченность.
(область определения все непрерывные функции на [-1,1], дифф. в нуле? и как быть с ограниченностью?)
Методичку разбирал, но так как под рукой нету прорешаных примеров, то тяжело разбираться. Буду рад любой помощи, заранее спасибо.
|
Всего сообщений: 8 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 19 дек. 2008 20:02 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
В первом письме о разделяющем свойстве функционалов Вы правильно применяете следствие теоремы Банаха о продолжении линейного функционала. Только чётче проведите рассуждение от противного.
В задаче 1) норма, конечно, равна 2 (сопряжённое к l_1 является
l _беск., норма в котором равна supremum).
В задаче 2)функционал непрерывен на l_1, т.к. последовательность а_к=(2-1/k) ограничена. Но этот функционал не будет непрерывным на l_2, т.к. последовательность а_к не принадлежит l_2. Он не будет ограниченным и на l _беск., т.к. легко придумать ограниченную последовательность из l _беск., на которой значения этого функционала неограниченно возрастают (ряд из а_к расходится).
Наконец, задача 3). Функционал неограничен в метрике С[-1,1]. Рассмотрите последовательность функций sin(kx) и вычислите значения функционала на этих функциях.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 19 дек. 2008 23:58 | IP
|
|
Halfpronoob
Новичок
|
Спасибо Вам за помощь.
Есть еще одна задача, но тут у меня совсем нету идей(потому и осталась на сладкое).
Задача:
Пусть L={х из l_2 : x=(x_1,..,x_n,..), sum(n from 1 to inf) |x_n| < inf}
a=(1,1/2,..,1/n,..)
Найти в пространстве l_2 расстояние(a,L);
как lim( sum(n from 1 to inf)|1-1/n|^2 )^1/2?
(Сообщение отредактировал Halfpronoob 20 дек. 2008 1:13)
|
Всего сообщений: 8 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 20 дек. 2008 0:24 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Извините, но я вчера допустил ошибку, когда говорил о задаче1. В той трактовке задаче, как я написал, норма функционала равна 1. Действительно, |x_1 + x_2| <= 1 (|x_1| + |x_2|).
В последней задаче я не понял, что Вы написали:
lim( sum(n from 1 to inf)|1-1/n|^2 )^1/2
Здесь сумма равна бесконечности.
Если понимать расстояние в l_2 в обычном смысле, то L плотное в l_2 множество. Поэтому Вопрос сводится к определению расстояния до l_2. Но a=(1,1/2,..,1/n,..) принадлежит l_2. Поэтому расстояние равно 0.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 20 дек. 2008 7:54 | IP
|
|
Halfpronoob
Новичок
|
Огромное спасибо за помощь, после проверки отпишусь.
|
Всего сообщений: 8 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 20 дек. 2008 11:53 | IP
|
|
krondor89
Новичок
|
Здраствуйте, надеюсь постю туда куда надо. Вопрос возник по интегралам Стильтьеса. Не подскажете как решить такой:
int(sin(Pi*x)dS(x)) от 0 до 1, где S(x) - канторова лестница, непрерывная монотонная функция постоянная на каждом интервале дополнения канторова множества. На интервале длины принимает значение кратное 0.5.
По идее надо рассматривать интеграл, как предел сумм, только не знаю как их составить. Читал Рудина и некоторые статейки, правда примеров решенных не нашел. Может посоветуете как его решить, или где можно найти похожие примеры.
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 3 янв. 2009 14:20 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Есть хороший задачник, в котором есть похожие задачи:
Макаров Б. М. Голузина М.Г. Лодкин А.А. Избранные задачи по вещественному анализу 1992
Этот задачник можно найти с помощью сайта
внешняя ссылка удалена
Конечно можно составлять суммы, но можно попытаться написать формулу интегрирования по частям.
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 3 янв. 2009 23:42 | IP
|
|
krondor89
Новичок
|
У меня есть этот задачник, собственно оттуда и есть идеяя про суммы. Но ни одного примера для балбесов там не обьяснено((( Тока маленькая рекомендация(составить сумму)
Посмотрел еще Фихтенгольца, блин такие я соображаю вроде как решать, а этот...
Тут подумал, вопрос в том я правильно рассуждаю или нет вообще: на интервалах 1/3^n, т.е там где она кратна 0.5 интеграл будет равен нулю вообще, тоесть нам они не нужны. Дальше иы попадаем на лестницу, если наше число удовлетворяет слудующему: сумма по к от 1 до n 2*eps_k/3^k ну и eps_k - либо 0 либо 1, то есть это двойная сумма: внешняя по eps_1..eps_n которые либо 1 либо ноль и вот эта внутренняя. Это вроде как можно ведь взять как разбиение нашей S(x)? Потом умножаем на sin(Pi*x_k) и получаем сумму... Но меня тут смущает что-то, я где-то неправ, только срастить не могу никак...
(Сообщение отредактировал krondor89 4 янв. 2009 3:47)
(Сообщение отредактировал krondor89 4 янв. 2009 4:36)
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: январь 2009 | Отправлено: 4 янв. 2009 3:23 | IP
|
|
|
Форум
Функциональный анализ
