В этой главе рассмотрено несколько простейших типовых задач, при решении которых можно использовать теоремы динамики для точки и системы материальных точек – теорему об изменении количества движения, теорему об изменении кинетической энергии и основной закон динамики для вращательного движения твердого тела.
В начале главы даны примеры решения задач, в которых рассматриваются движущиеся точки или поступательно движущиеся тела. В конце главы даны примеры решения задач на динамику вращающегося тела.
§ 46. Задачи на поступательное движение тела
Если точка массой m, находясь под действием постоянной силы F в течение t сек, двигается прямолинейно, то теорема об изменении количества движения (Е. М. Никитин, § 89) выражается формулой
(1) mv - mv0 = Ft,
где разность mv-mv0 – величина изменения проекции количества движения на ось, совпадающую с направлением движения, а произведение Ft – проекция импульса силы на ту же ось.
В СИ количество движения и импульс силы измеряются в ньютон-секундах (Н*с).
Если, рассматривая действие силы F на материальную точку массой m, учитывать не продолжительность ее действия, а протяженность, т. е. то расстояние, на котором действует сила, то получим теорему об изменении кинетической энергии точки (Е. М. Никитин, § 91):
(2) mv2/2 - mv02/2 = A,
где A – работа всех сил, приложенных к точке, а mv02/2 и mv2/2 – кинетическая энергия точки соответственно в начале и конце действия сил.
Кинетическая энергия измеряется единицами работы, т. е. в СИ – в джоулях (Дж).
Необходимость введения двух динамических характеристик объясняется тем, что одна характеристика не отражает все особенности движения точки. Например, зная количество движения автомобиля (т. е. величину mv, а не величины m и v в отдельности) и действующую на него при торможении силу, можно определить, через сколько секунд автомобиль остановится, но по этим данным нельзя найти пройденный за время торможения путь. Наоборот, зная начальную кинетическую энергию автомобиля и тормозящую силу, можно определить тормозной путь, но по этим данным нельзя найти время торможения.
Если же в задаче заданы и масса точки, и ее скорость, то в принципе можно использовать для решения любую из теорем, но при этом необходимо иметь в виду, что для определения времени движения целесообразно использовать теорему об изменении количества движения, а для определения пройденного пути – теорему об изменении кинетической энергии.
Уравнения (1) и (2) применимы также и при рассмотрении поступательно движущихся тел. В этом случае любое твердое тело отождествляется с материальной точкой, имеющей массу всего тела и расположенной в его центре массы (Е. М. Никитин, § 94) или в точке, совпадающей с центром тяжести тела.
Мерой инертности материальной точки, а также тела при поступательном движении является их масса.
Если же тело вращается, то мерой инертности служит его момент инерции – величина, зависящая от величины массы тела и от того, каким образом масса распределена относительно оси вращения тела.
Как известно (Е. М. Никитин, § 95), моментом инерции тела относительно некоторой оси называется величина, составленная из суммы произведений масс всех материальных точек тела на квадраты расстояний от этих точек до оси вращения.
В математической форме величину момента инерции тела можно представить такой формулой:
J = ∫ R2dm,
где J – момент инерции тела; dm – масса материальной точки; R– расстояние от точки до оси вращения. Интегрировать необходимо по всему объему тела.
Этой формулой можно пользоваться для определения моментов инерции тел, имеющих геометрическую форму тел вращения.
Если тело составлено из нескольких частей, имеющих определенную геометрическую форму, удобно использовать теорему Штейнера:
J = JC + ma2,
где JC – момент инерции тела относительно центральной оси (т. е. относительно оси, проходящей через центр тяжести тела); J – момент инерции тела относительно оси, параллельной центральной оси; m – масса тела и a – расстояние между осями.
Если тело имеет очень сложную форму, то момент инерции определяется либо из опыта, либо по формулам, приведенным в различных технических справочниках.
Приведем несколько формул для определения моментов инерции тел (во всех формулах m – масса тела, а линейные размеры обозначены на рисунках).
1. Момент инерции тонкого прямого стержня относительно его центральной оси, перпендикулярной к стержню (рис. 265, а):
(1) J = ml2/12.
2. Момент инерции тонкого прямого стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и расположенной у одного из его концов (рис. 265, б):
(2) J = ml2/3.
3. Момент инерции сплошного однородного цилиндра относительно его геометрической оси (рис. 266, а)
(3) J = md2/8.
4. Момент инерции полого однородного цилиндра относительно его геометрической оси (рис. 266, б)
(4) J = m(D2 + d2)/8.
Сопоставляя между собой при помощи рисунков формулы (1) и (2), а также (3) и (4), необходимо учитывать то, что при одной и той же массе стержней и одинаковой длине второй стержень обладает в четыре раза большим моментом инерции (см. рис. 265, б), а также при одинаковых внешних размерах цилиндров и одинаковой массе (если цилиндры изготовлены из различных материалов, например из алюминия и стали) полый цилиндр обладает большим моментом инерции.
Если в формуле (4) пренебречь толщиной стенки цилиндра, т. е считать, что D=d (вся масса распределена по ободу цилиндра), то
J = md2/4.
Единицей измерения момента инерции тела в СИ является 1 кг*1 м2=1 кг*м2.
При вращательном движении (см. § 45) движущим фактором является вращающий момент (пара сил).
Если алгебраическая сумма моментов всех пар сил, приложенных к телу, имеющему ось вращения, не равна нулю, то тело приобретает угловое ускорение, числовое значение которого прямо пропорционально вращающему моменту Мвр:
Мвр = Jε.
В этом уравнении, выражающем основной закон динамики для вращательного движения тела, множителем пропорциональности является момент инерции тела. Тело с большим моментом инерции труднее привести во вращение.
Кинетическая энергия вращающегося тела
Eвр = Jω2/2.
Если тело находится в плоскопараллельном движении, например, катящееся колесо, то его кинетическая энергия складывается из двух слагаемых:
Eоб = mv2/2 + Jω2/2,
где mv2/2 – кинетическая энергия, получающаяся от поступательной части этого сложного движения (см. § 37) при скорости v, равной
скорости центра тяжести тела, а Jω2/2 – кинетическая энергия от вращательной части, причем J – момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести тела.
