При решении задач, в которых рассматривается сложное движение точки или тела, необходимо уметь правильно расчленить сложное (составное), или так называемое абсолютное движение, на переносное и относительное. При расчленении сложного движения рекомендуется учитывать следующее.
Абсолютное (составное) движение происходит относительно неподвижной системы координат. Обычно эту систему координат связывают с Землей или с неподвижными относительно Земли предметами: зданием, деревом, полотном дороги и т. д.
Переносное движение точки или тела происходит вместе с некоторой материальной средой (телом), внутри или на поверхности которой находится рассматриваемое в задаче тело или рассматриваемая точка. Таким образом, переносное движение – это движение материальной среды вместе с точкой также относительно неподвижной системы координат.
Относительное движение точки или тела – это перемещение их внутри материальной среды, или по ее поверхности, независящее от движения самой материальной среды.
В тех случаях когда заданы движения двух (или более) тел (точек) относительно неподвижной системы координат и необходимо определить движение одного из этих тел относительно другого, удобно пользоваться теми же приведенными выше соображениями.
Тело, относительно которого требуется рассмотреть движение, мысленно остановим, а неподвижную систему координат заставим двигаться по его закону, но в обратном направлении. Тогда для второго тела это движение станет переносным, а движение второго тела – относительным. После этого очень просто понять, как будет двигаться второе тело по отношению к первому.
Этот последний прием использован при решении задач 177 и 184 и обычно его используют при рассмотрении планетарных механизмов (§ 40).
Решение всех задач на сложное движение необходимо иллюстрировать рисунком.
§ 36. Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой
При изучении сложного движения точки будем рассматривать только перемещение и скорость.
Если переносное и относительное движения направлены вдоль одной прямой, то:
а) перемещение точки в абсолютном движении равно алгебраической сумме перемещений в переносном и относительном движениях;
б) скорость точки в абсолютном движении равна алгебраической сумме переносной и относительной скоростей.
Условимся направление переносного перемещения и соответственно направление переносной скорости считать положительными. Тогда относительное перемещение и соответственно относительная скорость будут также положительными, если они направлены в ту же сторону, что и переносное. Если же относительное перемещение (и скорость) имеют направление, противоположное переносному, то будем считать их отрицательными.
Таким образом, при совпадении направлений переносного и относительного движений
sабс = sпер + sотн и vабс = vпер + vотн.
При противоположных друг другу направлениях переносного и относительного движений
sабс = sпер - sотн и vабс = vпер - vотн.
§ 37. Сложение движений точки, когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу
Когда переносное и относительное движения направлены под углом друг к другу, то перемещения и скорости складываются геометрически.
Таким образом, абсолютная скорость точки vабс определяется как геометрическая сумма векторов переносной vпер и относительной vотн скоростей:
(1) vабс = vотн + vпер,
т. е. либо как диагональ параллелограмма, построенного на переносной и относительной скоростях (рис. 214, а), либо как замыкающий вектор треугольника скоростей (рис. 214, б).
При решении задач на определение скоростей наиболее удобно применять графо-аналитический способ (см. § 3 настоящего пособия).
Если применяется правило параллелограмма, то модуль абсолютной скорости определяется по формуле, выведенной из теоремы косинусов
(2) vабс = sqrt(vотн2 + vпер2 + 2vотнvперcos α).
Если применяется правило треугольника, то модуль абсолютной скорости определяется по теореме синусов.
Направление абсолютной скорости по отношению к vпер или vотн можно найти также при помощи теоремы синусов.
В частном случае, когда параллелограмм скоростей превращается в прямоугольник или когда треугольник скоростей получается прямоугольным, для решения задачи используются тригонометрические функции и теорема Пифагора (см. ниже задачи 181, 182, 185).
Если в частном случае vпер=vотн, то при геометрическом сложении таких скоростей образуется ромб (рис. 215, а) или равнобедренный треугольник (рис. 215, б), тогда
(3) vабс = 2vперcos α/2 = 2vотнcos α/2.
Сложное плоскопараллельное движение твердого тела составляется из поступательного и вращательного движений (см. § 70 в учебнике Е. М. Никитина). Это свойство является основой первого способа определения скорости любой точки тела, находящегося в плоскопараллельном движении.
1. Поступательная часть плоскопараллельного движения принимается за переносное и зависит от движения какой-либо произвольно выбранной точки, называемой полюсом. За полюс принимают всегда ту точку, скорость которой в данный момент известна. Если движение является только поступательным, то все точки тела, в том числе и точка А (рис. 222, а), имеют ту же скорость, что и полюс О.
2. Вращательная часть плоскопараллельного движения вокруг выбранного полюса принимается за относительное.
Если движение тела является только вращательным, то точка А совершает движение по окружности с центром в полюсе О со скоростью
vAO = ωρ,
где ω – угловая скорость плоского сечения тела, в котором расположена данная точка A;
ρ=OA – расстояние от полюса до точки A (рис. 222, б).
3. Абсолютная скорость vA точки А равна геометрической сумме переносной скорости полюса vO и ее относительной скорости vAO вокруг полюса O (рис. 222, в). Таким образом, абсолютная скорость определяется либо при помощи правила параллелограмма, либо правила треугольника (см. выше § 37).
Второй способ определения скорости любой точки тела при его плоскопараллельном движении основан на использовании в качестве полюса мгновенного центра скоростей.
1. Как известно (§ 72 в учебнике Е. М. Никитина), мгновенным центром скоростей называется расположенная в плоскости сечения точка, абсолютная скорость которой в данный момент равняется нулю.
2. Если за полюс принять мгновенный центр скоростей, то в этот момент переносные (поступательные) скорости всех точек тела равны нулю и абсолютная скорость любой точки определяется по формуле
v = ωρ,
где ω – угловая скорость плоского сечения, которая не зависит от выбора полюса;
ρ – расстояние от мгновенного центра скоростей С до данной точки (рис. 223).
Для скоростей любых точек сечения имеем зависимость
vA/ρA = vB/ρB = vD/ρD = ... = ω.
В приведенных решениях задач показаны оба способа. При самостоятельном решении задач можно использовать любой из двух.
При решении некоторых задач оказывается целесообразным использовать теорему о равенстве между собой проекций скоростей двух точек плоского сечения на прямую, соединяющую эти точки (Е. М. Никитин, § 71).
При решении подобных задач иногда приходится выполнять довольно много промежуточных вычислений. Их можно избежать, если решить задачу графическим методом, но с приближенным результатом.
