Центр тяжести – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Он обладает свойством центра параллельных сил (Е. М. Никитин, § 42). Поэтому формулы для определения положения центра тяжести различных тел имеют вид:
xc = (∑ Gixi) / ∑ Gi;
(1) yc = (∑ Giyi) / ∑ Gi;
zc = (∑ Gizi) / ∑ Gi.
Если тело, центр тяжести которого нужно определить, можно отождествить с фигурой, составленной из линий (например, замкнутый или незамкнутый контур, изготовленный из проволоки, как на рис. 173), то вес Gi каждого отрезка li можно представить в виде произведения
Gi = lid,
где d – постоянный для всей фигуры вес единицы длины материала.
После подстановки в формулы (1) вместо Gi их значений lid постоянный множитель d в каждом слагаемом числителя и знаменателя можно вынести за скобки (за знак суммы) и сократить. Таким образом, формулы для определения координат центра тяжести фигуры, составленной из отрезков линий, примут вид:
xc = (∑ lixi) / ∑ li;
(2) yc = (∑ liyi) / ∑ li;
zc = (∑ lizi) / ∑ li.
Если тело имеет вид фигуры, составленной из расположенных различным образом плоскостей или кривых поверхностей (рис. 174), то вес каждой плоскости (поверхности) можно представить так:
Gi = Fip,
где Fi – площади каждой поверхности, а p – вес единицы площади фигуры.
После подстановки этого значения Gi в формулы (1) получаем формулы координат центра тяжести фигуры, составленной из площадей:
xc = (∑ Fixi) / ∑ Fi;
(3) yc = (∑ Fiyi) / ∑ Fi;
zc = (∑ Fizi) / ∑ Fi.
Если же однородное тело можно разделить на простые части определенной геометрической формы (рис. 175), то вес каждой части
Gi = Viγ,
где Vi – объем каждой части, а γ – вес единицы объема тела.
После подстановки значений Gi в формулы (1) получаем формулы для определения координат центра тяжести тела, составленного из однородных объемов:
xc = (∑ Vixi) / ∑ Vi;
(4) yc = (∑ Viyi) / ∑ Vi;
zc = (∑ Vizi) / ∑ Vi.
При решении некоторых задач на определение положения центра тяжести тел иногда необходимо знать, где расположен центр тяжести дуги окружности, кругового сектора или треугольника.
Если известен радиус дуги r и центральный угол 2α, стягиваемый дугой и выраженный в радианах, то положение центра тяжести C (рис. 176, а) относительно центра дуги O определится формулой:
(5) xc = (r sin α)/α.
Если же задана хорда AB=b дуги, то в формуле (5) можно произвести замену
sin α = b/(2r)
и тогда
(5а) xc = b/(2α).
В частном случае для полуокружности обе формулы примут вид (рис. 176, б):
(5б) xc = OC = 2r/π = d/π.
Положение центра тяжести кругового сектора, если задан его радиус r (рис. 176, в), определяется при помощи формулы:
(6) xc = (2r sin α)/(3α).
Если же задана хорда сектора, то:
(6а) xc = b/(3α).
В частном случае для полукруга обе последние формулы примут вид (рис. 176, г)
(6б) xc = OC = 4r/(3π) = 2d/(3π).
Центр тяжести площади любого треугольника расположен от любой стороны на расстоянии, равном одной трети соответствующей высоты.
У прямоугольного треугольника центр тяжести находится на пересечении перпендикуляров, восставленных к катетам из точек, расположенных на расстоянии одной трети длины катетов, считая от вершины прямого угла (рис. 177).
При решении задач на определение положения центра тяжести любого однородного тела, составленного либо из тонких стержней (линий), либо из пластинок (площадей), либо из объемов, целесообразно придерживаться следующего порядка:
1) выполнить рисунок тела, положение центра тяжести которого нужно определить. Так как все размеры тела обычно известны, при этом следует соблюдать масштаб;
2) разбить тело на составные части (отрезки линий или площади, или объемы), положение центров тяжести которых определяется исходя из размеров тела;
3) определить или длины, или площади, или объемы составных частей;
4) выбрать расположение осей координат;
5) определить координаты центров тяжести составных частей;
6) найденные значения длин или площадей, или объемов отдельных частей, а также координат их центров тяжести подставить в соответствующие формулы и вычислить координаты центра тяжести всего тела;
7) по найденным координатам указать на рисунке положение центра тяжести тела.
§ 23. Определение положения центра тяжести тела, составленного из тонких однородных стержней
В последней задаче, а также в задачах, приведенных в предыдущем параграфе, расчленение фигур на составные части не вызывает особых затруднений. Но иногда фигура имеет такой вид, который позволяет разделить ее на составные части несколькими способами, например тонкую пластинку прямоугольной формы с треугольным вырезом (рис. 183). При определении положения центра тяжести такой пластинки ее площадь можно разделить на четыре прямоугольника (1, 2, 3 и 4) и один прямоугольный треугольник 5 – несколькими способами. Два варианта показаны на рис. 183, а и б.
Наиболее рациональным является тот способ деления фигуры на составные части, при котором образуется наименьшее их число. Если в фигуре есть вырезы, то их можно также включать в число составных частей фигуры, но площадь вырезанной части считать отрицательной. Поэтому такое деление получило название способа отрицательных площадей.
Пластинка на рис. 183, в делится при помощи этого способа всего на две части: прямоугольник 1 с площадью всей пластинки, как будто она целая, и треугольник 2 с площадью, которую считаем отрицательной.
§ 26. Определение положения центра тяжести тела, составленного из частей, имеющих простую геометрическую форму
Чтобы решать задачи на определение положения центра тяжести тела, составленного из частей, имеющих простую геометрическую форму, необходимо иметь навыки определения координат центра тяжести фигур, составленных из линий или площадей.
