Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        2.5.1 Теория матриц
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Viktori


Новичок

Помогите пожалуйста найти матрицу обратную данной и сделать проверку А= а11 а12 а13
                                  а21 а22 а23
                                  а31 а32 а33
-3 1 2
4 -1 4
 2 1 4


и еще пожалуйста помогите Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса и методом Крамера.
2х1-7х2+х3= -4
3х1+х2-х3 = 17
х1-х2+3х3= 3

(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 19:50)

Всего сообщений: 13 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 28 окт. 2009 11:18 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: Jane Smit написал 27 окт. 2009 19:11
Помогите пожалуйста решить систему уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера.

2x1-x2+3x3=9
3x1-5x2+x3=-4
4x1-7x2+x3=5



метод Гаусса

2 -1  3  9
3 -5  1 -4
4 -7  1  5

Третью строку умножаем на -3. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.

-10  20  0  -6
3    -5    1 -4
4    -7    1  5

Третью строку умножаем на -1. Складываем со второй строкой. Результат записываем во вторую строку.

-10  20  0  -6
-1    2    0  -9
4    -7    1  5

Вторую строку умножаем на -1.

-10  20  0  -6
1    -2    0  9
4    -7    1  5

Вторую строку умножаем на 10. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.

0     0    0  84
1    -2    0  9
4    -7    1  5

Из первой строки получено, что 0 = 84. Система не имеет решений.



Цитата: Jane Smit написал 27 окт. 2009 19:11

2x1-x2+3x3=9
3x1-5x2+x3=-4
4x1-7x2+x3=5


Метод Крамера
        |2 -1 3|
|A| = |3 -5  1| = 2*|-5 1| - (-1)*|3  1| + 3*|3 -5| =
        |4 -7 1|         |-7 1|           |4  1|        |4 -7|

2*(-5+7) + 1*(3-4) + 3*(-21+20) = 4 - 1 - 3 = 0

Метод Крамера не применим.

(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 20:02)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 окт. 2009 11:24 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: SSSergey написал 27 окт. 2009 19:54
Помогите пожалуйста решить систему уравнений методом:
1)матричного исчисления
2)методом Крамера
3)методом Гаусса




1) метод обратной матрицы
     3  2  1
A = 2  3  1
     2  1  3

Найдем обратную матрицу A^(-1).

        |3  2  1|
|A| = |2  3  1| = 3*|3  1| - 2*|2  1| + 1*|2  3| =
        |2  1  3|        |1  3|       |2  3|         |2  1|

= 3*(9 - 1) - 2*(6 - 2) + 1*(2 - 6) = 24 - 8 - 4 = 12

M11 = |3  1| = 9 - 1 = 8
          |1  3|

M12 = |2  1| = 6 - 2 = 4
          |2  3|

M13 = |2  3| = 2 - 6 = - 4
          |2  1|

M21 = |2  1| = 6 - 1 = 5
          |1  3|

M22 = |3  1| = 9 - 2 = 7
          |2  3|

M23 = |3  2| = 3 - 4 = -1
          |2  1|

M31 = |2  1| = 2 - 3 = -1
          |3  1|

M32 = |3  1| = 3 - 2 = 1
          |2  1|

M33 = |3  2| = 9 - 4 = 5
          |2  3|

x11 = M11/|A| = 8/12
x12 = - M21/|A| = -5/12
x13 = M31/|A| = -1/12
x21 = - M12/|A| = -4/12
x22 = M22/|A| = 7/12
x23 = - M32/|A| = -1/12
x31 = M13/|A| = -4/12
x32 = - M23/|A| = 1/12
x33 = M33/|A| = 5/12

               8/12  -5/12  -1/12
A^(-1) = -4/12   7/12  -1/12
              -4/12   1/12   5/12

     5
B = 1
     1

AX = B

X = A^(-1)*B

       34/12
X = -14/12
      -14/12

x1 = 34/12 = 17/6
x2 = - 14/12 = - 7/6
x3 = - 14/12 = - 7/6



Цитата: SSSergey написал 27 окт. 2009 19:54
Помогите пожалуйста решить систему уравнений методом:
1)матричного исчисления
2)методом Крамера
3)методом Гаусса




2) метод Крамера

|A| = 12 (было посчитано выше)

          |5  2  1|
|A1| = |1  3  1| = 5*|3  1| - 2*|1  1| + 1*|1  3| =
          |1  1  3|        |1  3|       |1  3|         |1  1|

= 5*(9-1) - 2*(3-1) + (1-3) = 40 - 4 - 2 = 34

          |3  5  1|
|A2| = |2  1  1| = 3*|1  1| - 5*|2  1| + 1*|2  1| =
          |2  1  3|        |1  3|       |2  3|        |2  1|

= 3*(3 - 1) - 5*(6 - 2) + 1*(2 - 2) = 6 - 20 = - 14

          |3  2  5|
|A3| = |2  3  1| = 3*|3  1| - 2*|2  1| + 5*|2  3| =
          |2  1  1|        |1  1|       |2  1|        |2  1|

= 3*(3 - 1) - 2*(2 - 2) + 5*(2 - 6) = 6 - 20 = - 14

x1 = |A1|/|A| = 34/12 = 17/6
x2 = |A2|/|A| = - 14/12 = - 7/6
x3 = |A3|/|A| = - 14/12 = - 7/6


3) метод Гаусса

3  2  1  5
2  3  1  1
2  1  3  1

Первую строку умножаем на -1. Складываем со второй строкой. Результат записываем во вторую строку.

3  2  1  5
-1  1  0  -4
2  1  3  1

Первую строку умножаем на -3. Складываем стретьей строкой. Результат записываем в третью строку.

3   2  1  5
-1   1  0  -4
-7  -5  0  -14

Вторую строку умножаем на -2. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.

5   0  1   13
-1   1  0  -4
-7  -5  0  -14

Вторую строку умножаем на 5. Складывем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.

5     0  1   13
-1     1  0  -4
-12   0  0  -34

Третью строку делим на -12.

5  0  1   13
-1  1  0  -4
1  0  0  17/6

Третью и вторую строки складываем. Результа записываем во вторую строку.

5  0  1   13
0  1  0  -7/6
1  0  0  17/6

Третью строку умножаем на -5. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.

0  0  1  -7/6
0  1  0  -7/6
1  0  0  17/6

x1 = 17/6
x2 = -7/6
x3 = -7/6

(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 20:04)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 окт. 2009 11:41 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: Viktori написал 28 окт. 2009 11:18
Помогите пожалуйста найти матрицу обратную данной и сделать проверку А= а11 а12 а13
                 а21 а22 а23
                 а31 а32 а33
-3 1 2
4 -1 4
 2 1 4


     -3  1  2
A =  4 -1  4
      2  1  4

        |-3  1  2|
|A| = | 4 -1  4| = -3*|-1  4| - 1*|4  4| + 2*|4 -1| =
        | 2  1  4|         |  1  4|       |2  4|        |2   1|

= - 3*(-4-4) - 1*(16-8) + 2*(4+2) = 24 - 8 + 12 = 28

M11 = |-1  4| = -4-4 = -8
         |  1  4|

M12 = |4  4| = 16 - 8 = 8
          |2  4|

M13 = |4 -1| = 4 + 2 = 6
          |2  1|

M21 = |1  2| = 4 - 2 = 2
          |1  4|

M22 = |-3  2| = - 12 - 4 = - 16
          | 2  4|

M23 = |-3  1| = - 3 - 2 = - 5
          | 2  1|

M31 = | 1  2| = 4 + 2 = 6
          |-1  4|

M32 = |-3  2| = - 12 - 8 = - 20
          | 4  4|

M33 = |-3  1| = 3 - 4 = -1
          |4  -1|

x11 = M11/|A| = - 8/28 = -2/7
x12 = - M21/|A| = - 2/28 = -1/14
x13 = M31/|A| = 6/28 = 3/14
x21 = - M12/|A| = - 8/28 = -2/7
x22 = M22/|A| = - 16/28 = -4/7
x23 = - M32/|A| = 20/28 = 5/7
x31 = M13/|A| = 6/28 = 3/14
x32 = - M23/|A| = 5/28
x33 = M33/|A| = - 1/28

              -2/7  -1/14   3/14
A^(-1) = -2/7   -4/7     5/7
               3/14  5/28   -1/28


метод Гаусса

2 -7  1 -4
3  1 -1  17
1 -1  3  3

Первую и вторую строки складываем. Результат записываем во вторую строку.

2 -7  1 -4
5 -6  0  13
1 -1  3  3

Первую строку умножаем на -3. Складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.

2  -7   1 -4
5  -6   0  13
-5  20  0  15

Вторую и третью строку складываем. Результат записываем во вторую строку.

2  -7  1  -4
0  14  0  28
-5  20  0  15

Вторую строку делим на 14.

2  -7   1  -4
0   1   0   2
-5  20  0  15

Третью строку делим на -5.

2  -7  1   -4
0   1   0   2
1  -4   0  -3

Вторую строку умножаем на 4. Складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.

2  -7  1   -4
0   1   0   2
1   0   0   5

Вторую строку умножаем на 7. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.

2   0   1   10
0   1   0   2
1   0   0   5

Третью строку умножаем на -2. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.

0   0   1   0
0   1   0   2
1   0   0   5

x1 = 5
x2 = 2
x3 = 0


метод Крамера

        |2 -7  1|
|A| = |3  1 -1| = 2*|1 -1| - (-7)*|3 -1| + 1*|3  1| =
        |1 -1  3|        |-1 3|           |1  3|         |1 -1|

= 2*(3 - 1) + 7*(9 + 1) + (-3 - 1) = 4 + 70 - 4 = 70

         |-4 -7  1|
|A1| = |17 1 -1| = (-4)*|1 -1| - (-7)*|17 -1| + 1*|17  1| =
         | 3 -1  3|             |-1 3|           | 3  3|         | 3  -1|

= (-4)*(3 - 1) + 7*(51 + 3) + (- 17 - 3) = - 8 + 378 - 20 = 350

          |2  -4   1|
|A2| = |3  17 -1| = 2*|17 -1| - (-4)*|3 -1| + 1*|3  17| =
          |1   3   3|        | 3   3|           |1  3|         |1    3|

= 2*(51 + 3) + 4*(9 + 1) + (9 - 17) = 108 + 40 - 8 = 140

          |2  -7  -4|
|A3| = |3   1  17| = 2*|1 17| - (-7)*|3 17| + (-4)*|3  1| =
          |1  -1   3|         |-1 3|            |1  3|            |1 -1|

= 2*(3 + 17) + 7*(9 - 17) - 4*(-3-1) = 40 - 56 + 16 = 0

x1 = |A1|/|A| = 350/70 = 5
x2 = |A2|/|A| = 140/70 = 2
x3 = |A3|/|A| = 0/70 = 0

(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 20:06)

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 окт. 2009 12:12 | IP
oc



Новичок

найти фундаментальную систему решений и выписать общее решение
2x1-x2+x4=0
4x1-2x2+x3+2x4=0                            
8x1-4x2+3x3+4x4=0                            
Методом Гаусса)

Всего сообщений: 8 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 29 окт. 2009 8:43 | IP
milavica


Новичок

RKI, спасибо огроменное за помощь, так подробно всё разъясняете! Я заочница, поэтому приходится самой вникать.
Я не бездумно списываю, а ещё раз прорешиваю, по вашему направлению. Спасибо!!!
Подскажите как находить собственные числа???

Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы А =
9 27 30
6 18 18
-7 -21 -22

Всего сообщений: 4 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 29 окт. 2009 10:15 | IP
Luntik


Новичок

Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы
{ 5-4   4}
{5       0}

Всего сообщений: 1 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 29 окт. 2009 15:48 | IP
RKI



Долгожитель


Цитата: milavica написал 29 окт. 2009 10:15
RKI,
Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы А =
9 27 30
6 18 18
-7 -21 -22



Обозначим собственные значения через a. Для их нахождения необходимо решить следующее уравнение: |A - aE| = 0, где E - единичная матрица.

             |9-a    27      30  |
|A-aE| = |6      18-a    18  | =  
             |-7     -21    -22-a|

= (9-a)*|18-a     18   | - 27*| 6     18  | - 30*| 6   18-a| =  
            | -21     -22-a|         |-7  -22-a|         | -7    -21|

= (9-a)((18-a)(-22-a) + 378) - 27(6(-22-a) + 126) -
- 30*(-126 + 7(18-a)) =

= (9-a)(- 396 - 18a + 22a + a^2 + 378) -
- 27(- 132 - 6a + 126) - 30(- 126 + 126 - 7a) =
= (9-a)(a^2 + 4a - 18) - 27(- 6a - 6) - 210a =
= 9a^2 + 36a - 162 - a^3 - 4a^2 + 18a + 162a + 162 - 210a =
= - a^3 + 5a^2 + 6a = - a(a^2 - 5a - 6) = - a(a-6)(a+1) = 0

a1 = 0
a2 = 6
a3 = - 1

Найдем собственные вектора, соответствующие каждому собственному значению. Для их нахождения необходимо решить систему линейных уравнений: (A-aE)X = 0.

a1 = 0

9   27   30  0
6   18   18  0
-7 -21  -22  0

Сложим первую и третью строки. Результат записываем в первую строку.

2     6     8  0
6   18   18  0
-7 -21  -22  0

Первую строку делим на 2.

1     3     4  0
6   18   18  0
-7 -21  -22  0

Первую строку умножаем на -6. Складываем со второй строкой. Результат записываем во вторую строку.

1     3     4  0
0     0   -6  0
-7 -21  -22  0

Первую строку умножаем на 7. Складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.

1  3  4  0
0  0 -6  0
0  0  6  0

Вторую и третью строку складываем. Результат записываем в третью строку.

1  3  4  0
0  0 -6  0
0  0  0  0

Третья строка обнулилась. Вычеркиваем ее из рассмотрения.

1  3  4  0
0  0 -6  0

Вторую строку делим на -6.

1  3  4  0
0  0  1  0

Вторую строку умножаем на -4. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.

1  3  0  0
0  0  1  0

Таким образом, получаем,

x1 + 3x2 = 0
x3 = 0

x1 = - 3x2
x3 = 0

x2 - свободная переменная

Собственный вектор, соотвествующий собственному значению a1=0, имеет вид:
X = (-3x2; x2; 0)

Аналогично находятся остальные собственные векторы

Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 окт. 2009 21:45 | IP
Onibaka



Новичок

Помогите разобраться что делаю не так при решении матричным методом:

       3  4  2
A =  1  5  2
       2  3  4



         |3  4  2|
|A| =   |1  5  2| = 3*|5  2| - 4*|1  2| + 2*|1  5| =
          |2  3  4|     |3  4|     |2  4|     |2  3|

= 3*(20 - 6) - 2*(4 - 4) + 2*(3 - 10) = 28

M11 = |5  2| = 20 - 6 = 14
          |3  4|

M12 = |1  2| = 4 - 4 = 0
          |2  4|

M13 = |1  5| = 3 - 10 = - 7
         |2  3|

M21 = |4  2| = 16 - 6 = 10
         |3  4|

M22 = |3  2| = 12 - 4 = 8
         |2  4|

M23 = |3  4| = 9 - 8 = 1
         |2  3|

M31 = |4  2| = 8 - 10 = -2
         |5  2|

M32 = |3  1| = 6 - 2 = 4
         |2  1|

M33 = |3  4| = 15 - 4 = 11
         |1  5|


                   14/12  10/12  -2/12
A^(-1) =       0/12   8/12  4/12
                  -7/12   1/12   11/12

      8
B =  5
      3

Ну а дальше что то не то...
При решении методом Крамера получились
x1 = 2, x2 = 1, x3 = -1.

Всего сообщений: 13 | Присоединился: ноябрь 2009 | Отправлено: 5 нояб. 2009 21:26 | IP
ProstoVasya


Долгожитель

Когда выписывали обратную матрицу, то забыли изменить знак у миноров M21, M23 и M32. Кроме того, надо делить на определитель, т.е. 28, а не на 12.


(Сообщение отредактировал ProstoVasya 5 нояб. 2009 21:39)

Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2009 21:33 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com