Viktori
Новичок
|
    
Помогите пожалуйста найти матрицу обратную данной и сделать проверку А= а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
-3 1 2
4 -1 4
2 1 4
и еще пожалуйста помогите Решить систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Гаусса и методом Крамера.
2х1-7х2+х3= -4
3х1+х2-х3 = 17
х1-х2+3х3= 3
(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 19:50)
|
Всего сообщений: 13 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 28 окт. 2009 11:18 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
Цитата: Jane Smit написал 27 окт. 2009 19:11
Помогите пожалуйста решить систему уравнений методом Гаусса и по правилу Крамера.
2x1-x2+3x3=9
3x1-5x2+x3=-4
4x1-7x2+x3=5
метод Гаусса
2 -1 3 9
3 -5 1 -4
4 -7 1 5
Третью строку умножаем на -3. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.
-10 20 0 -6
3 -5 1 -4
4 -7 1 5
Третью строку умножаем на -1. Складываем со второй строкой. Результат записываем во вторую строку.
-10 20 0 -6
-1 2 0 -9
4 -7 1 5
Вторую строку умножаем на -1.
-10 20 0 -6
1 -2 0 9
4 -7 1 5
Вторую строку умножаем на 10. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.
0 0 0 84
1 -2 0 9
4 -7 1 5
Из первой строки получено, что 0 = 84. Система не имеет решений.
Цитата: Jane Smit написал 27 окт. 2009 19:11
2x1-x2+3x3=9
3x1-5x2+x3=-4
4x1-7x2+x3=5
Метод Крамера
|2 -1 3|
|A| = |3 -5 1| = 2*|-5 1| - (-1)*|3 1| + 3*|3 -5| =
|4 -7 1| |-7 1| |4 1| |4 -7|
2*(-5+7) + 1*(3-4) + 3*(-21+20) = 4 - 1 - 3 = 0
Метод Крамера не применим.
(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 20:02)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 окт. 2009 11:24 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: SSSergey написал 27 окт. 2009 19:54
Помогите пожалуйста решить систему уравнений методом:
1)матричного исчисления
2)методом Крамера
3)методом Гаусса
1) метод обратной матрицы
3 2 1
A = 2 3 1
2 1 3
Найдем обратную матрицу A^(-1).
|3 2 1|
|A| = |2 3 1| = 3*|3 1| - 2*|2 1| + 1*|2 3| =
|2 1 3| |1 3| |2 3| |2 1|
= 3*(9 - 1) - 2*(6 - 2) + 1*(2 - 6) = 24 - 8 - 4 = 12
M11 = |3 1| = 9 - 1 = 8
|1 3|
M12 = |2 1| = 6 - 2 = 4
|2 3|
M13 = |2 3| = 2 - 6 = - 4
|2 1|
M21 = |2 1| = 6 - 1 = 5
|1 3|
M22 = |3 1| = 9 - 2 = 7
|2 3|
M23 = |3 2| = 3 - 4 = -1
|2 1|
M31 = |2 1| = 2 - 3 = -1
|3 1|
M32 = |3 1| = 3 - 2 = 1
|2 1|
M33 = |3 2| = 9 - 4 = 5
|2 3|
x11 = M11/|A| = 8/12
x12 = - M21/|A| = -5/12
x13 = M31/|A| = -1/12
x21 = - M12/|A| = -4/12
x22 = M22/|A| = 7/12
x23 = - M32/|A| = -1/12
x31 = M13/|A| = -4/12
x32 = - M23/|A| = 1/12
x33 = M33/|A| = 5/12
8/12 -5/12 -1/12
A^(-1) = -4/12 7/12 -1/12
-4/12 1/12 5/12
5
B = 1
1
AX = B
X = A^(-1)*B
34/12
X = -14/12
-14/12
x1 = 34/12 = 17/6
x2 = - 14/12 = - 7/6
x3 = - 14/12 = - 7/6
Цитата: SSSergey написал 27 окт. 2009 19:54
Помогите пожалуйста решить систему уравнений методом:
1)матричного исчисления
2)методом Крамера
3)методом Гаусса
2) метод Крамера
|A| = 12 (было посчитано выше)
|5 2 1|
|A1| = |1 3 1| = 5*|3 1| - 2*|1 1| + 1*|1 3| =
|1 1 3| |1 3| |1 3| |1 1|
= 5*(9-1) - 2*(3-1) + (1-3) = 40 - 4 - 2 = 34
|3 5 1|
|A2| = |2 1 1| = 3*|1 1| - 5*|2 1| + 1*|2 1| =
|2 1 3| |1 3| |2 3| |2 1|
= 3*(3 - 1) - 5*(6 - 2) + 1*(2 - 2) = 6 - 20 = - 14
|3 2 5|
|A3| = |2 3 1| = 3*|3 1| - 2*|2 1| + 5*|2 3| =
|2 1 1| |1 1| |2 1| |2 1|
= 3*(3 - 1) - 2*(2 - 2) + 5*(2 - 6) = 6 - 20 = - 14
x1 = |A1|/|A| = 34/12 = 17/6
x2 = |A2|/|A| = - 14/12 = - 7/6
x3 = |A3|/|A| = - 14/12 = - 7/6
3) метод Гаусса
3 2 1 5
2 3 1 1
2 1 3 1
Первую строку умножаем на -1. Складываем со второй строкой. Результат записываем во вторую строку.
3 2 1 5
-1 1 0 -4
2 1 3 1
Первую строку умножаем на -3. Складываем стретьей строкой. Результат записываем в третью строку.
3 2 1 5
-1 1 0 -4
-7 -5 0 -14
Вторую строку умножаем на -2. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.
5 0 1 13
-1 1 0 -4
-7 -5 0 -14
Вторую строку умножаем на 5. Складывем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.
5 0 1 13
-1 1 0 -4
-12 0 0 -34
Третью строку делим на -12.
5 0 1 13
-1 1 0 -4
1 0 0 17/6
Третью и вторую строки складываем. Результа записываем во вторую строку.
5 0 1 13
0 1 0 -7/6
1 0 0 17/6
Третью строку умножаем на -5. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.
0 0 1 -7/6
0 1 0 -7/6
1 0 0 17/6
x1 = 17/6
x2 = -7/6
x3 = -7/6
(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 20:04)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 окт. 2009 11:41 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: Viktori написал 28 окт. 2009 11:18
Помогите пожалуйста найти матрицу обратную данной и сделать проверку А= а11 а12 а13
а21 а22 а23
а31 а32 а33
-3 1 2
4 -1 4
2 1 4
-3 1 2
A = 4 -1 4
2 1 4
|-3 1 2|
|A| = | 4 -1 4| = -3*|-1 4| - 1*|4 4| + 2*|4 -1| =
| 2 1 4| | 1 4| |2 4| |2 1|
= - 3*(-4-4) - 1*(16-8) + 2*(4+2) = 24 - 8 + 12 = 28
M11 = |-1 4| = -4-4 = -8
| 1 4|
M12 = |4 4| = 16 - 8 = 8
|2 4|
M13 = |4 -1| = 4 + 2 = 6
|2 1|
M21 = |1 2| = 4 - 2 = 2
|1 4|
M22 = |-3 2| = - 12 - 4 = - 16
| 2 4|
M23 = |-3 1| = - 3 - 2 = - 5
| 2 1|
M31 = | 1 2| = 4 + 2 = 6
|-1 4|
M32 = |-3 2| = - 12 - 8 = - 20
| 4 4|
M33 = |-3 1| = 3 - 4 = -1
|4 -1|
x11 = M11/|A| = - 8/28 = -2/7
x12 = - M21/|A| = - 2/28 = -1/14
x13 = M31/|A| = 6/28 = 3/14
x21 = - M12/|A| = - 8/28 = -2/7
x22 = M22/|A| = - 16/28 = -4/7
x23 = - M32/|A| = 20/28 = 5/7
x31 = M13/|A| = 6/28 = 3/14
x32 = - M23/|A| = 5/28
x33 = M33/|A| = - 1/28
-2/7 -1/14 3/14
A^(-1) = -2/7 -4/7 5/7
3/14 5/28 -1/28
метод Гаусса
2 -7 1 -4
3 1 -1 17
1 -1 3 3
Первую и вторую строки складываем. Результат записываем во вторую строку.
2 -7 1 -4
5 -6 0 13
1 -1 3 3
Первую строку умножаем на -3. Складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.
2 -7 1 -4
5 -6 0 13
-5 20 0 15
Вторую и третью строку складываем. Результат записываем во вторую строку.
2 -7 1 -4
0 14 0 28
-5 20 0 15
Вторую строку делим на 14.
2 -7 1 -4
0 1 0 2
-5 20 0 15
Третью строку делим на -5.
2 -7 1 -4
0 1 0 2
1 -4 0 -3
Вторую строку умножаем на 4. Складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.
2 -7 1 -4
0 1 0 2
1 0 0 5
Вторую строку умножаем на 7. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.
2 0 1 10
0 1 0 2
1 0 0 5
Третью строку умножаем на -2. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.
0 0 1 0
0 1 0 2
1 0 0 5
x1 = 5
x2 = 2
x3 = 0
метод Крамера
|2 -7 1|
|A| = |3 1 -1| = 2*|1 -1| - (-7)*|3 -1| + 1*|3 1| =
|1 -1 3| |-1 3| |1 3| |1 -1|
= 2*(3 - 1) + 7*(9 + 1) + (-3 - 1) = 4 + 70 - 4 = 70
|-4 -7 1|
|A1| = |17 1 -1| = (-4)*|1 -1| - (-7)*|17 -1| + 1*|17 1| =
| 3 -1 3| |-1 3| | 3 3| | 3 -1|
= (-4)*(3 - 1) + 7*(51 + 3) + (- 17 - 3) = - 8 + 378 - 20 = 350
|2 -4 1|
|A2| = |3 17 -1| = 2*|17 -1| - (-4)*|3 -1| + 1*|3 17| =
|1 3 3| | 3 3| |1 3| |1 3|
= 2*(51 + 3) + 4*(9 + 1) + (9 - 17) = 108 + 40 - 8 = 140
|2 -7 -4|
|A3| = |3 1 17| = 2*|1 17| - (-7)*|3 17| + (-4)*|3 1| =
|1 -1 3| |-1 3| |1 3| |1 -1|
= 2*(3 + 17) + 7*(9 - 17) - 4*(-3-1) = 40 - 56 + 16 = 0
x1 = |A1|/|A| = 350/70 = 5
x2 = |A2|/|A| = 140/70 = 2
x3 = |A3|/|A| = 0/70 = 0
(Сообщение отредактировал attention 8 дек. 2009 20:06)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 28 окт. 2009 12:12 | IP
|
|
oc
Новичок
|
найти фундаментальную систему решений и выписать общее решение
2x1-x2+x4=0
4x1-2x2+x3+2x4=0
8x1-4x2+3x3+4x4=0
Методом Гаусса)
|
Всего сообщений: 8 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 29 окт. 2009 8:43 | IP
|
|
milavica
Новичок
|
RKI, спасибо огроменное за помощь, так подробно всё разъясняете! Я заочница, поэтому приходится самой вникать.
Я не бездумно списываю, а ещё раз прорешиваю, по вашему направлению. Спасибо!!!
Подскажите как находить собственные числа???
Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы А =
9 27 30
6 18 18
-7 -21 -22
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 29 окт. 2009 10:15 | IP
|
|
Luntik
Новичок
|
Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы
{ 5-4 4}
{5 0}
|
Всего сообщений: 1 | Присоединился: октябрь 2009 | Отправлено: 29 окт. 2009 15:48 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: milavica написал 29 окт. 2009 10:15
RKI,
Найти собственные числа и соответствующие им собственные векторы для матрицы А =
9 27 30
6 18 18
-7 -21 -22
Обозначим собственные значения через a. Для их нахождения необходимо решить следующее уравнение: |A - aE| = 0, где E - единичная матрица.
|9-a 27 30 |
|A-aE| = |6 18-a 18 | =
|-7 -21 -22-a|
= (9-a)*|18-a 18 | - 27*| 6 18 | - 30*| 6 18-a| =
| -21 -22-a| |-7 -22-a| | -7 -21|
= (9-a)((18-a)(-22-a) + 378) - 27(6(-22-a) + 126) -
- 30*(-126 + 7(18-a)) =
= (9-a)(- 396 - 18a + 22a + a^2 + 378) -
- 27(- 132 - 6a + 126) - 30(- 126 + 126 - 7a) =
= (9-a)(a^2 + 4a - 18) - 27(- 6a - 6) - 210a =
= 9a^2 + 36a - 162 - a^3 - 4a^2 + 18a + 162a + 162 - 210a =
= - a^3 + 5a^2 + 6a = - a(a^2 - 5a - 6) = - a(a-6)(a+1) = 0
a1 = 0
a2 = 6
a3 = - 1
Найдем собственные вектора, соответствующие каждому собственному значению. Для их нахождения необходимо решить систему линейных уравнений: (A-aE)X = 0.
a1 = 0
9 27 30 0
6 18 18 0
-7 -21 -22 0
Сложим первую и третью строки. Результат записываем в первую строку.
2 6 8 0
6 18 18 0
-7 -21 -22 0
Первую строку делим на 2.
1 3 4 0
6 18 18 0
-7 -21 -22 0
Первую строку умножаем на -6. Складываем со второй строкой. Результат записываем во вторую строку.
1 3 4 0
0 0 -6 0
-7 -21 -22 0
Первую строку умножаем на 7. Складываем с третьей строкой. Результат записываем в третью строку.
1 3 4 0
0 0 -6 0
0 0 6 0
Вторую и третью строку складываем. Результат записываем в третью строку.
1 3 4 0
0 0 -6 0
0 0 0 0
Третья строка обнулилась. Вычеркиваем ее из рассмотрения.
1 3 4 0
0 0 -6 0
Вторую строку делим на -6.
1 3 4 0
0 0 1 0
Вторую строку умножаем на -4. Складываем с первой строкой. Результат записываем в первую строку.
1 3 0 0
0 0 1 0
Таким образом, получаем,
x1 + 3x2 = 0
x3 = 0
x1 = - 3x2
x3 = 0
x2 - свободная переменная
Собственный вектор, соотвествующий собственному значению a1=0, имеет вид:
X = (-3x2; x2; 0)
Аналогично находятся остальные собственные векторы
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 29 окт. 2009 21:45 | IP
|
|
Onibaka
Новичок
|
 
Помогите разобраться что делаю не так при решении матричным методом:
3 4 2
A = 1 5 2
2 3 4
|3 4 2|
|A| = |1 5 2| = 3*|5 2| - 4*|1 2| + 2*|1 5| =
|2 3 4| |3 4| |2 4| |2 3|
= 3*(20 - 6) - 2*(4 - 4) + 2*(3 - 10) = 28
M11 = |5 2| = 20 - 6 = 14
|3 4|
M12 = |1 2| = 4 - 4 = 0
|2 4|
M13 = |1 5| = 3 - 10 = - 7
|2 3|
M21 = |4 2| = 16 - 6 = 10
|3 4|
M22 = |3 2| = 12 - 4 = 8
|2 4|
M23 = |3 4| = 9 - 8 = 1
|2 3|
M31 = |4 2| = 8 - 10 = -2
|5 2|
M32 = |3 1| = 6 - 2 = 4
|2 1|
M33 = |3 4| = 15 - 4 = 11
|1 5|
14/12 10/12 -2/12
A^(-1) = 0/12 8/12 4/12
-7/12 1/12 11/12
8
B = 5
3
Ну а дальше что то не то...
При решении методом Крамера получились
x1 = 2, x2 = 1, x3 = -1.
|
Всего сообщений: 13 | Присоединился: ноябрь 2009 | Отправлено: 5 нояб. 2009 21:26 | IP
|
|
ProstoVasya
Долгожитель
|
Когда выписывали обратную матрицу, то забыли изменить знак у миноров M21, M23 и M32. Кроме того, надо делить на определитель, т.е. 28, а не на 12.
(Сообщение отредактировал ProstoVasya 5 нояб. 2009 21:39)
|
Всего сообщений: 1268 | Присоединился: июнь 2008 | Отправлено: 5 нояб. 2009 21:33 | IP
|
|
Форум
2.5.1 Теория матриц
