Black and White
Удален
|
   
Подскажите, пожалуйста, как решать 2 задачки. Подруга с физмата уже голову сломала при решении. Я сам не так много в этом понимаю.
1. Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезку [0, i] и по дуге верхней части единичной окружности от exp(i*alpha) до exp(i * (pi - alpha)) на верхнюю полуплоскость.
Здесь я немного почитал книжки и воспользовался функцией Жуковского, а затем разделил на cos(alpha). Получилась, вроде бы, плоскость с разрезами [-1, 1] и (-i * infinity, 0]. Что дальше - я вообще не понимаю.
2. Исследовать на равномерную сходимость ряд n=1..infinity,
cos(n*z)*cos(abs(nz))/(n*cos(i*n))
Здесь я вообще мимо, т.к. у нас рядов вообще не было.
Заранее благодарю за помощь.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 23 мая 2006 14:08 | IP
|
|
undeddy
Долгожитель
|
Скажите, комплексные числа входят в курс высшей математики?
|
Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 мая 2006 19:17 | IP
|
|
KMA 
Долгожитель
|
 
Да, это обязательный предмет для изучения. Я знаю, что они точно входят в курс математического анализа. Но мне, выпускники говорили, что комплексные числа изучают и в курсе линейной алгебры и геометрии.
|
Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 24 мая 2006 11:37 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Комплексные числа разумеется должны изучаться в курсе высшей математики. Но первая вышепредставленная задача относятся не к просто знаниям комплексных чисел, а к разделу "конформных отображений" из курса теории функций комплексного переменного. Для примера можете посмотреть соотв. литературу по этой теме, к примеру
"Методы теории функций комплексного переменного" -М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат;
"Функции комплексного переменного и некоторые их приложения" - Б.А.Фукс, Б.В.Шабат.
Задача не из простых, поэтому сразу ничего определенного пока сказать не могу...
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 мая 2006 13:02 | IP
|
|
miss_graffiti
Долгожитель
|
KMA, да. в алгебре/геометрии дается поверхностно - что за числа, в какой форме можно представить, как складывать/умножать/делить/возводить в степень...
а в курсе матанализа рассматривается подробно.
|
Всего сообщений: 670 | Присоединился: сентябрь 2005 | Отправлено: 24 мая 2006 16:39 | IP
|
|
Black and White
Удален
|
Постараюсь найти эти книги. Сам смотрел в двухтомнике Шабата и задачник Волковыского, однако, в основном, там отображают "разрезы-кресты", задач на Т-образные разрезы я не заметил.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 25 мая 2006 9:45 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Цитата: Black and White написал 23 мая 2006 13:08
1. Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезку [0, i] и по дуге верхней части единичной окружности от exp(i*alpha) до exp(i * (pi - alpha)) на верхнюю полуплоскость.
Здесь я немного почитал книжки и воспользовался функцией Жуковского, а затем разделил на cos(alpha). Получилась, вроде бы, плоскость с разрезами [-1, 1] и (-i * infinity, 0]. Что дальше - я вообще не понимаю.
Вы самое главное сделано: ето отображение дуги в отрезок.
Надеясь на бОльшую наглядность попробовал нарисовать:
Красным - разрезы. после первого изображения (Жуковского), я на косинус не делил, чтобы съекономить место.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 мая 2006 19:31 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Извиняюсь, наврал немного. Забыл отобразить еще и [-00,+00] Жуковским (работаем-то в вверхней полуплоскости).
Много изменений не произойдет в этом случае (придется еще "подвигать" куски на Ох после "квадрата" ).
P.S. привет подруге из физмата
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 мая 2006 1:35 | IP
|
|
Genrih
Удален
|
Цитата: Black and White написал 23 мая 2006 13:08
2. Исследовать на равномерную сходимость ряд n=1..infinity,
cos(n*z)*cos(abs(nz))/(n*cos(i*n))
Неплохо вобщем.
z - комплексное, так что z=x+iy .
Рассмотрим некоторые случаи:
1.у>=0
cos nz= {e^(inz)+e^(-inz)}/2 = {e^(-ny)e^(inx)+e^(ny)e^(-inx) }/2
cos in = {e^n+e^(-n)}/2
=> |cos nz *cos (abs(nz))/(n*cos(i*n)) | <= |cos nz/(n*cos in)|<={e^(-ny)+e^(ny)}/(n*{e^n+e^(-n)})=e^(ny){1+e^(-2ny)}/(e^(n)*n*(1+e^(-2n))) = (1+e^(-2ny))/{n*e^(n*(1-y))*(1+e^(-2n))}<=2/{n*e^(n*(1-y))}.
Этим мы мажорировали общий член по модулю. При 1-у>0 е^(n(1-y)) > n(1-y) , чем окончательно мажорируем членом 1/n^(2-y). Итого ряд сходится при 0<у<1.
2.у<0 . аналогично
В итоге наш ряд сходится при |Im z | < 1.
Случаи |у|>=1 интереснее.
Пусть у>=1.
распишем cos |nz| = {e^(in|z| )+e^(-in|z| )}/2
Теперь общий член ряда распишем и попробуем минорировать ряд:
cos nz *cos (abs(nz))/(n*cos(i*n)) ={e^(-ny)e^(inx)+e^(ny)e^(-inx)} * cos|nz|/(n*(e^n+e^(-n))) >= {e^(-ny)e^(inx)+e^(ny)e^(-inx)} * cos|nz|/(2*n*e^n) = e^(ny)/(2*n*e^n) * e^(-inx)*cos |nz|+ e^(-ny)/(2*n*e^n)*e^(inx)*cos|nz|.
Вот с этим двумя рядами и будем возиться.
//действительные и мнимые множители я записал один к другому
Второй: e^(-ny)/(2*n*e^n)*e^(inx)*cos|nz| сходится при положительных у.
Однако первый: e^(ny)/(2*n*e^n) * e^(-inx)*cos |nz| , при у>=1 должен расходиться. Т.к. е^(n(y-1))>1 при у>=1, а комплексные множители : один из них по модулю равен единицe.
И наша цель должна быть - минорировать наш ряд гармоническим.
Отдаю на растерзание смотрителям.
Полное решение напишу в ТеХ'е позже.
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 2 июня 2006 21:13 | IP
|
|
stardust
Удален
|
Вот такой странный вопрос:
Препод выдал задание без описания, что собственно делать, только какое-то уравнение с 2-мя неиззвестными, вот:
2(3-2Yi)-2iX=(4Xi+5Y)(2-3i)+4
Что с ним делать немного не понимаю... Может кто сталкивался с подобными странностями?
Пытался просто влоб делать преобразования, получилось:
6X(i+2)-Y(11i-10)=2
и что дальше то? Может там в условии ошибка? Странно как-то...
(Сообщение отредактировал stardust 21 сен. 2006 21:13)
|
Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 21 сен. 2006 22:00 | IP
|
|
|
Форум
Комплексный анализ
