Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        Комплексный анализ
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

Black and White


Удален

Подскажите, пожалуйста, как решать 2 задачки. Подруга с физмата уже голову сломала при решении. Я сам не так много в этом понимаю.

1. Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезку [0, i] и по дуге верхней части единичной окружности от exp(i*alpha) до exp(i * (pi - alpha)) на верхнюю полуплоскость.

Здесь я немного почитал книжки и воспользовался функцией Жуковского, а затем разделил на cos(alpha). Получилась, вроде бы, плоскость с разрезами [-1, 1] и (-i * infinity, 0]. Что дальше - я вообще не понимаю.

2. Исследовать на равномерную сходимость ряд n=1..infinity,
cos(n*z)*cos(abs(nz))/(n*cos(i*n))

Здесь я вообще мимо, т.к. у нас рядов вообще не было.

Заранее благодарю за помощь.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 23 мая 2006 14:08 | IP
undeddy



Долгожитель

Скажите, комплексные числа входят в курс высшей математики?

Всего сообщений: 253 | Присоединился: март 2006 | Отправлено: 23 мая 2006 19:17 | IP
KMA



Долгожитель

Да,  это обязательный предмет для изучения. Я знаю, что они точно входят в курс математического анализа. Но мне, выпускники говорили, что комплексные числа изучают и в курсе линейной алгебры и геометрии.

-----
Gentoo, FreeBSD 7.2, PHP, JavaScript (jQuery), Python, Shell
Помогаю с задачами только на форуме.
Все мои действия четко согласуются с правилами раздела. Поэтому никаких претензий и обид.

Всего сообщений: 940 | Присоединился: декабрь 2005 | Отправлено: 24 мая 2006 11:37 | IP
MEHT



Долгожитель

Комплексные числа разумеется должны изучаться в курсе высшей математики. Но первая вышепредставленная задача относятся не к просто знаниям комплексных чисел, а к разделу "конформных отображений" из курса теории функций комплексного переменного.  Для примера можете посмотреть соотв. литературу по этой теме, к примеру
"Методы теории функций комплексного переменного" -М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат;
"Функции комплексного переменного и некоторые их приложения" - Б.А.Фукс, Б.В.Шабат.
Задача не из простых, поэтому сразу ничего определенного пока сказать не могу...

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 24 мая 2006 13:02 | IP
miss_graffiti


Долгожитель

KMA, да. в алгебре/геометрии дается поверхностно - что за числа, в какой форме можно представить, как складывать/умножать/делить/возводить в степень...
а в курсе матанализа рассматривается подробно.

Всего сообщений: 670 | Присоединился: сентябрь 2005 | Отправлено: 24 мая 2006 16:39 | IP
Black and White


Удален

Постараюсь найти эти книги. Сам смотрел в двухтомнике Шабата и задачник Волковыского, однако, в основном, там отображают "разрезы-кресты", задач на Т-образные разрезы я не заметил.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 25 мая 2006 9:45 | IP
Genrih


Удален


Цитата: Black and White написал 23 мая 2006 13:08

1. Отобразить верхнюю полуплоскость с разрезами по отрезку [0, i] и по дуге верхней части единичной окружности от exp(i*alpha) до exp(i * (pi - alpha)) на верхнюю полуплоскость.

Здесь я немного почитал книжки и воспользовался функцией Жуковского, а затем разделил на cos(alpha). Получилась, вроде бы, плоскость с разрезами [-1, 1] и (-i * infinity, 0]. Что дальше - я вообще не понимаю.


Вы самое главное сделано: ето отображение дуги в отрезок.
Надеясь на бОльшую наглядность попробовал нарисовать:

Красным - разрезы. после первого изображения (Жуковского), я на косинус не делил, чтобы съекономить место.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 30 мая 2006 19:31 | IP
Genrih


Удален

Извиняюсь, наврал немного. Забыл отобразить еще и [-00,+00]  Жуковским (работаем-то в вверхней полуплоскости).
Много изменений не произойдет в этом случае (придется еще "подвигать" куски на Ох после "квадрата" ).

P.S. привет подруге из физмата

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 31 мая 2006 1:35 | IP
Genrih


Удален


Цитата: Black and White написал 23 мая 2006 13:08

2. Исследовать на равномерную сходимость ряд n=1..infinity,
cos(n*z)*cos(abs(nz))/(n*cos(i*n))


Неплохо вобщем.
z - комплексное, так что z=x+iy .
Рассмотрим некоторые случаи:
1.у>=0
cos nz= {e^(inz)+e^(-inz)}/2 = {e^(-ny)e^(inx)+e^(ny)e^(-inx) }/2
cos in = {e^n+e^(-n)}/2
=> |cos nz *cos (abs(nz))/(n*cos(i*n)) | <= |cos nz/(n*cos in)|<={e^(-ny)+e^(ny)}/(n*{e^n+e^(-n)})=e^(ny){1+e^(-2ny)}/(e^(n)*n*(1+e^(-2n))) = (1+e^(-2ny))/{n*e^(n*(1-y))*(1+e^(-2n))}<=2/{n*e^(n*(1-y))}.
Этим мы мажорировали общий член по модулю. При 1-у>0 е^(n(1-y)) > n(1-y) , чем окончательно мажорируем  членом 1/n^(2-y). Итого ряд сходится при 0<у<1.

2.у<0 . аналогично

В итоге наш ряд сходится при |Im z | < 1.


Случаи |у|>=1 интереснее.
Пусть у>=1.
распишем cos |nz| = {e^(in|z| )+e^(-in|z| )}/2
Теперь общий член ряда распишем и попробуем минорировать ряд:

cos nz *cos (abs(nz))/(n*cos(i*n)) ={e^(-ny)e^(inx)+e^(ny)e^(-inx)} * cos|nz|/(n*(e^n+e^(-n))) >= {e^(-ny)e^(inx)+e^(ny)e^(-inx)} * cos|nz|/(2*n*e^n) = e^(ny)/(2*n*e^n) * e^(-inx)*cos |nz|+ e^(-ny)/(2*n*e^n)*e^(inx)*cos|nz|.
Вот с этим двумя рядами и будем возиться.

//действительные и мнимые множители я записал один к другому

Второй: e^(-ny)/(2*n*e^n)*e^(inx)*cos|nz| сходится при положительных у.
Однако первый: e^(ny)/(2*n*e^n) * e^(-inx)*cos |nz| , при у>=1 должен расходиться. Т.к. е^(n(y-1))>1 при у>=1, а комплексные множители : один из них по модулю равен единицe.
И наша цель должна быть - минорировать наш ряд гармоническим.

Отдаю на растерзание смотрителям.

Полное решение напишу в ТеХ'е позже.

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 2 июня 2006 21:13 | IP
stardust


Удален

Вот такой странный вопрос:
Препод выдал задание без описания, что собственно делать, только какое-то уравнение с 2-мя неиззвестными, вот:
2(3-2Yi)-2iX=(4Xi+5Y)(2-3i)+4
Что с ним делать немного не понимаю... Может кто сталкивался с подобными странностями?
Пытался просто влоб делать преобразования, получилось:
6X(i+2)-Y(11i-10)=2
и что дальше то? Может там в условии ошибка? Странно как-то...

(Сообщение отредактировал stardust 21 сен. 2006 21:13)

Всего сообщений: N/A | Присоединился: N/A | Отправлено: 21 сен. 2006 22:00 | IP

Эта тема закрыта, новые ответы не принимаются

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 7 8 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com