RKI 
Долгожитель
|
    
Цитата: disua написал 20 мая 2009 11:04
1) y'+ycosx=1/2*sin2x, y(0)=0
2) y'+2y'+2y=x*sin2x, y(0)=1, y'(0)=1
2) y'' + 2y' + 2y = x(sin2x)
y'' + 2y' + 2y = 0
(a^2) + 2a + 2 = 0
(a^2) + 2a + 1 + 1 = 0
(a+1)^2 = - 1
a+1 = -i; a+1 = i
a = -1-i; a = -1+i
y(общ) = (e^(-x))(Csinx + Dcosx)
y'' + 2y' + 2y = x(sin2x)
y(частн) = (ax+b)(sin2x) + (cx+d)(cos2x)
y'(частн) = a(sin2x) + 2(ax+b)(cos2x) + c(cos2x) - 2(cx+d)(sin2x)
= (a - 2cx - 2d)(sin2x) + (2ax + 2b + c)(cos2x)
y''(частн) = (-2c)(sin2x) + 2(a - 2cx - 2d)(cos2x) + (2a)(cos2x) -
- 2(2ax + 2b + c)(sin2x) =
= (-2c - 4ax - 4b - 2c)(sin2x) + (2a - 4cx - 4d + 2a)(cos2x) =
= (-4c - 4ax - 4b)(sin2x) + (4a - 4cx - 4d)(cos2x)
y''(частн) + 2y'(частн) + 2y(частн) = x(sin2x)
(-4c - 4ax - 4b)(sin2x) + (4a - 4cx - 4d)(cos2x) +
+ 2(a - 2cx - 2d)(sin2x) + 2(2ax + 2b + c)(cos2x) +
+ 2(ax+b)(sin2x) + 2(cx+d)(cos2x) = x(sin2x)
(sin2x)(- 4c - 4ax - 4b + 2a - 4cx - 4d + 2ax + 2b) +
+ (cos2x)(4a - 4cx - 4d + 4ax + 4b + 2c + 2cx + 2d) =
= x(sin2x)
при sin2x: - 4c - 4b + 2a - 4d + 2b = 0
при x(sin2x): - 4a - 4c + 2a = 1
при cos2x: 4a - 4d + 4b + 2c + 2d = 0
при x(cos2x): - 4c + 4a + 2c = 0
a = - 1/10; b = 11/50; c = - 1/5; d = 1/25
y(частн) = (ax+b)(sin2x) + (cx+d)(cos2x)
y(частн) = (1/50)(11-5x)(sin2x) + (1/25)(1-5x)(cos2x)
y(x) = y(общ) + y(частн)
y(x) = (e^(-x))(Csinx + Dcosx) +
+ (1/50)(11-5x)(sin2x) + (1/25)(1-5x)(cos2x)
y(0) = 1
D + 1/25 = 1
D = 1 - 1/25 = 24/25
y(x) = (e^(-x))(Csinx + (24/25)cosx) +
+ (1/50)(11-5x)(sin2x) + (1/25)(1-5x)(cos2x)
y'(x) = - (e^x)(Csinx + (24/25)cosx) +
+ (e^(-x))(Ccosx - (24/25)sinx) -
- (1/10)(sin2x) + (1/25)(11-5x)(cos2x) -
- (1/5)(cos2x) - (2/25)(1-5x)(sin2x)
y'(0) = 1
24/25 + C + 11/25 - 1/5 = 1
30/25 + C = 1
C = 1 - 30/25 = - 5/25 = -1/5
y(x) = (e^(-x))((-1/5)sinx + (24/25)cosx) +
+ (1/50)(11-5x)(sin2x) + (1/25)(1-5x)(cos2x)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 мая 2009 13:20 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: temegve написал 20 мая 2009 12:22
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить задачу Коши:
xy'ln(x)=y+ln(x), y(e^2)=2ln2
xy'(lnx) = y
x(dy/dx)(lnx) = y
dy/y = dx/x(lnx)
**
int dx/x(lnx) = [t = lnx; dt = dx/x] = int dt/t = ln|t| + const =
= ln|lnx| + const
**
dy/y = dx/x(lnx)
ln|y| = ln|lnx| + const
y = C(lnx)
y(x) = C(x)(lnx)
y'(x) = C'(x)(lnx) + C(x)/x
xy'(lnx) = y + lnx
C'(x)x(lnx)^2 + C(x)(lnx) = C(x)(lnx) + lnx
C'(x)x(lnx)^2 = lnx
C'(x)x(lnx) = 1
C'(x) = 1/x(lnx)
C(x) = ln|lnx| + D
y(x) = C(x)(lnx)
y(x) = D(lnx) + (lnx)ln|lnx|
y(e^2) = 2ln2
2D + 2ln2 = 2ln2
D = 0
y(x) = (lnx)ln|lnx|
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 мая 2009 13:30 | IP
|
|
temegve
Новичок
|
Спасибо вам большое!
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 20 мая 2009 14:13 | IP
|
|
Sandra1012
Новичок
|
Здравствуйте) пожалуйста, помогите решить вот эти диф. уравнения:
1) y''+12y'+117y=(x+5)exp(-4x)
2)y''+13y'=30y=exp(4x)((4x+2)cos4x+(4x)sin4x)
|
Всего сообщений: 5 | Присоединился: март 2009 | Отправлено: 21 мая 2009 19:35 | IP
|
|
Light
Новичок
|
В очередной раз здравствуйте, прошу вас помочь с двумя (или одной) задачами. Дохожу до характеристического уравнения и не знаю что дальше. Спасибо!
а) Найти решение задачи Коши методом неопределённых коэффициентов:
y''' - 4y'' = x^2 + 2e^x
y (0) = 2, y' (0) = y'' (0) = 0
б) Найти общее решение методом Лагранжа:
y'' + y = 1/sin(x)
|
Всего сообщений: 23 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 22 мая 2009 18:39 | IP
|
|
tori1106
Новичок
|
Помогите мне, пожалуйста, решить задачу Коши. Я даже не знаю что это и с чем его едят. Последний раз училась 10 лет назад-ничего не помню)))
y''' - 9y' = 0
Заранее благодарна!!!! Вы мне уже один раз помогли)))
|
Всего сообщений: 17 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 23 мая 2009 16:39 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: tori1106 написал 23 мая 2009 16:39
y''' - 9y' = 0
y''' - 9y' = 0
(a^3) - 9a = 0
a(a^2 - 9) = 0
a(a-3)(a+3) = 0
a = 0; a = 3; a = -3
y(x) = A + B(e^(-3x)) + C(e^(3x))
(Сообщение отредактировал RKI 24 мая 2009 14:10)
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 23 мая 2009 17:26 | IP
|
|
tori1106
Новичок
|
Спасибо!!! Правда я только увидела что там в задаче ещё дано:
у (0) =0
y' (0) =3
y''(0) =3
Как теперь решение поменяется?
Спасибо!!!!
|
Всего сообщений: 17 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 23 мая 2009 22:30 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
y''' - 9y' = 0
(a^3) - 9a = 0
a(a^2 - 9) = 0
a(a+3)(a-3) = 0
a=0; a+3=0; a-3=0
a = 0; a = -3; a = 3
y(x) = A + B(e^(-3x)) + C(e^(3x))
y(0) = 0
0 = A + B + C
y'(x) = - 3B(e^(-3x)) + 3C(e^(3x))
y'(0) = 3
- 3B + 3C = 3
y''(x) = 9B(e^(-3x)) + 9C(e^(3x))
9B + 9C = 3
A + B + C = 0; 3C - 3B = 3; 9B + 9C = 3
A = -1/3; B = -1/3; C = 2/3
y(x) = A + B(e^(-3x)) + C(e^(3x))
y(x) = - 1/3 - (1/3)(e^(-3x)) + (2/3)(e^(3x))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 24 мая 2009 14:09 | IP
|
|
disua
Новичок
|
Спасибо большое !
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 25 мая 2009 17:53 | IP
|
|
Форум
2.3.2 Задачи Коши и краевые задачи для ОДУ
