Форум
» Назад на решение задач по физике и термеху
Регистрация | Профиль | Войти | Забытый пароль | Присутствующие | Справка | Поиск

» Добро пожаловать, Гость: Войти | Регистрация
    Форум
    Математика
        1.8 Логарифмические уравнения
Отметить все сообщения как прочитанные   [ Помощь ]
» Добро пожаловать на форум "Математика" «

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 ]
Модераторы: Roman Osipov, RKI, attention, paradise
  

ustam



Долгожитель


Цитата: Stanislav MM написал 1 июля 2012 9:56

                     lg ² x  +  2 lg x  > 3


Обозначайте t=lgx и решайте неравенство
t^2 +2t - 3 >0

Всего сообщений: 420 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 1 июля 2012 10:25 | IP
Stanislav MM


Начинающий

Спасибо за  разъяснение.
Мне надо больше внимания обращать на метод подстановки.  Уже даже неудобно.
526.   решите  неравенство
в)lg x + lg (x + 1) < lg 6

lg [x•(x + 1)] < lg 6
lg (x ² + x) < lg 6
x ² + x < 6
х ² + х – 6 < 0
х ² + х – 6 = 0
корни этого уравнения  х ₁ = - 2                        х ₂ = 3
основание логарифма  а = 10.                a > 1  следовательно  функция  возрастает.
При  Х > 0  логарифмическая функция приобретает  положительное значение, а при  0 < Х < 1  - отрицательное.     6 > 0.

Я хочу понять следующий момент.
Если неравенство будет такое,  х ² + х – 6 < 0,  то решение будет  такое ( - 2: 3) ?  а
если неравенство будет такое,  х ² + х – 6 > 0,  то
решение будет такое ( - ∞: - 2) ( 3: ∞) ?

Так же я хочу понять можно ли определить  по записи равенства или неравенства как будут направленны ветви параболы, вверх или вниз, не строя самого графика.  
Ответ который получен, не совпадает с книжным   ( 1: 3).  
 Допустим , что это опечатка. Решим следующий пример.

526.  г)  log ₂ ( х ² - х – 12) < 3

       х² - х – 20 < 0
       корни  х ₁ = 5                          х ₂ = 4
ответ  в книге  (- 4: - 3) ∪ (4: 5)
как получен этот ответ?

.

 

Всего сообщений: 82 | Присоединился: май 2012 | Отправлено: 1 июля 2012 14:49 | IP
ustam



Долгожитель

Stanislav MM
Я так и не понял, как вы решаете неравенства. Да и корни квадратных уравнений находите неправильно, очень часто ошибаетесь в знаках.
Мы привыкли решать так.
х ² + х – 6 < 0
х ² + х – 6 = 0
Корни: х1 = -3; х2 = 2
Следовательно, (х+3)(х-2) < 0
Решаем системы неравенств:
1) x+3>0
x-2<0
Отсюда:  x>-3 и x<2, т.е. -3<x<2
2) x+3<0
x-2>0
Отсюда: x<-3 и x>2, т.е. эти неравенства несовместны

Всего сообщений: 420 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 1 июля 2012 15:38 | IP
ustam



Долгожитель

Stanislav MM
log ₂ ( х ² - х – 12) < 3
х² - х – 20 < 0
корни  х ₁ = 5,   х ₂ = -4
Следовательно, (х-5)(х+4)<0
Решаем, как я показал выше, и находим -4<x<5
Но здесь нужно учитывать еще одно неравенство:
х ² - х – 12>0, так как логарифм отрицательного числа не существует.
Поэтому и получается такой ответ к задаче, как у вас приведено

Всего сообщений: 420 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 1 июля 2012 15:44 | IP
MEHT



Долгожитель

ustam, методом интервалов решать такие неравенства было бы покороче и понаглядней, дабы каждый раз не прописывать несовместную систему.

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 1 июля 2012 17:34 | IP
Stanislav MM


Начинающий

Скажите пожалуйста, как из условия логарифмического неравенства определить, когда нужно решать одно неравенство, а когда  два.

527.   в)
                      lg ² x + 2 lg x > 3

lg x =t                                                      t ² - 2 t – 3 > 0
t ₁ = - 3           t ₂ = 1
lg x = 1x = 10
lg x = - 3x = 10 ⁻ ³
как определить, что логарифм отрицательный и значит  будет объединение двух  множеств?
какой  будет ответ?

г)log ₃² x – 9 ≤ 0

log ₃ x = 9x = 3 ⁹ = (3 ³) ³ = 27 ³
log ₃² x - log ₃ 27 ³ = log ₃² x – 3 log ₃  27
log ₃ x = t
t ² - 3 t ≤ 0                         t (t – 3) ≤ 0
t = 0                               t – 3 ≤ 0                      t ≤ 3
log ₃ x = 0                       x = 1
log ₃ x = 3x = 3 ³ = 27
мой ответ [ 1 : 27 ]
ответ в книге    [ 1 / 27 :  27 ]
я правильно решил?  В книге опечатка, или нет?

Всего сообщений: 82 | Присоединился: май 2012 | Отправлено: 3 июля 2012 21:25 | IP
MEHT



Долгожитель

Тут определённо нельзя ответить - всё будет зависеть от вида самого неравенства.
Но решать их удобней методом интервалов, он универсален.

Представьте у Вас есть неравенство общего вида

f(x) > 0, где

f(x) - некоторое выражение (непрерывная функция от x).

Как его решаем? Ищем в каких точках f(x) равно нулю, то есть решаем уравнение

f(x) = 0

и находим, например, такие решения (в порядке возрастания значений): a, b, c.

Теперь строим координатный луч - ось OX. Предварительно необходимо указать на нём область, где f(x) существует.
Далее отмечаем на нём точки a,b,c - это те точки, где f(x) равна нулю, следовательно ТОЛЬКО ПРИ ПЕРЕХОДЕ x через одну из этих точек f(x) будет менять знак; в промежутках между этими значениями на оси ОХ функция f(x) будет одного знака.

Отмечаете интервалы, между какими a, b, c функция одного знака, выбираете из них те, которые отвечают положительной  f(x) и записываете результат в виде объединения этих интервалов.

Это общий метод.

---
В первом примере у Вас где-то описка. Исходное неравенство

lg ² x + 2 lg x > 3

и

t ² - 2 t – 3 > 0

отличаются знаком у двойки.
Но в любом случае - прорешиваете квадратное уравнение, находите интервалы, где левая часть положительна (будет объединение двух интервалов).

Во втором аналогично. Вы заменяете log ₃² x на t, должно получится неравенство

t ² - 9 ≤ 0 ;

приравниваете левую сторону к нулю, находите корни

t ² - 9 = 0

t=-3 и t=3, отмечаете их на координатном луче. В интервале
от -∞ до -3 величина t ² - 9 положительна,
от -3 до 3 величина t ² - 9 отрицательна и
от 3 до +∞ снова положительна.

Нас интересуют отрицательные интервалы, такой интервал единственный - это от -3 до 3 (включая сами значения, т.к. неравенство нестрогое). Осталось от t перейти обратно к x.

t=-3 соответствует x = 3^(-3) = 1/27,
t=3 соответствует x = 3^3 = 27,

ответ будет [1/27 ; 27]

Тут был использован тот факт, что логарифм по основанию 3 - монотонно возрастающая функция; для монотонно убывающих функций (например, логарифм с основаниями меньше единицы) следовало бы поменять местами иксы, соответствующие своим t.

(плохо видно основание логарифма - кажется там стоит двойка? Должна стоять тройка, чтобы ответ совпал. Но если всё-таки двойка, то ответ будет [1/8 ; 8] ).

(Сообщение отредактировал MEHT 4 июля 2012 3:19)

-----
В математике нет символов для неясных мыслей. (Анри Пуанкаре)

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 4 июля 2012 3:10 | IP
Stanislav MM


Начинающий

Спасибо за помощь
Ещё раз проверил,  правильно ли  записано условие первого примера.
527.   в)   lg ² x + 2•lg x > 3             Записано  верно.

Понял, что неравенства лучше решать методом интервалов. Данный метод включает в себя, нахождение точек пересечения графика с осью ОХ, через производную находим точки экстремума. Затем находим значение вершины по оси ОУ, строим график и уже непосредственно по графику, визуально находим нужные нам области, положительные или отрицательные. С криволинейными трапециями всегда строю график. Без графика непонятно какую площадь нужно найти.

Что касается второго примера. Опять моя элементарная невнимательность.
   log ₃ x = t,          a      3 log ₃ 27   принял за «3t»
разумеется дальше всё пошло не так.
А также выбрал не правильный алгоритм решения.
В основании логарифма стоит тройка.


Всего сообщений: 82 | Присоединился: май 2012 | Отправлено: 4 июля 2012 16:26 | IP
Stanislav MM


Начинающий

498.      докажите
  в)     log ₃ 7 + log ₇ 3 > 2

применяю формулу перехода от одного основания логарифма к другому
log ₃ 7 = log ₇ 7 / log ₇ 3 = 1 / log ₇ 3
log ₃ х = 2             х = 3 ² = 9
log ₃ 9 = 2
log ₃ 7 + 1 / log ₇ 3 – 2 > 0
дальше следует книжный ответ.
Как его получили непонятно?
log ₃² 7 - 2 log ₃ 7 +1  /  log ₇ 3 =
= (1 - log ₃ 7) ²  /  log ₇ 3
Как получили данный  числитель?
log ₃² 7 - 2 log ₃ 7 +1  


Всего сообщений: 82 | Присоединился: май 2012 | Отправлено: 4 июля 2012 21:07 | IP
MEHT



Долгожитель

Его свернули в квадрат по формуле

(a-b)² = a² - 2ab + b², где

под a фигурирует логарифм, под b - единица.

Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 5 июля 2012 2:48 | IP

Отправка ответа:
Имя пользователя   Вы зарегистрировались?
Пароль   Забыли пароль?
Сообщение

Использование HTML запрещено

Использование IkonCode разрешено

Смайлики разрешены

Опции отправки

Добавить подпись?
Получать ответы по e-mail?
Разрешить смайлики в этом сообщении?
Просмотреть сообщение перед отправкой? Да   Нет
 

Переход к теме
<< Назад Вперед >>
Несколько страниц [ 1 2 3 4 5 6 ]

Форум работает на скрипте © Ikonboard.com