ustam
Долгожитель
|
     
Цитата: Stanislav MM написал 1 июля 2012 9:56
lg ² x + 2 lg x > 3
Обозначайте t=lgx и решайте неравенство
t^2 +2t - 3 >0
|
Всего сообщений: 420 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 1 июля 2012 10:25 | IP
|
|
Stanislav MM
Начинающий
|
Спасибо за разъяснение.
Мне надо больше внимания обращать на метод подстановки. Уже даже неудобно.
526. решите неравенство
в)lg x + lg (x + 1) < lg 6
lg [x•(x + 1)] < lg 6
lg (x ² + x) < lg 6
x ² + x < 6
х ² + х – 6 < 0
х ² + х – 6 = 0
корни этого уравнения х ₁ = - 2 х ₂ = 3
основание логарифма а = 10. a > 1 следовательно функция возрастает.
При Х > 0 логарифмическая функция приобретает положительное значение, а при 0 < Х < 1 - отрицательное. 6 > 0.
Я хочу понять следующий момент.
Если неравенство будет такое, х ² + х – 6 < 0, то решение будет такое ( - 2: 3) ? а
если неравенство будет такое, х ² + х – 6 > 0, то
решение будет такое ( - ∞: - 2) ( 3: ∞) ?
Так же я хочу понять можно ли определить по записи равенства или неравенства как будут направленны ветви параболы, вверх или вниз, не строя самого графика.
Ответ который получен, не совпадает с книжным ( 1: 3).
Допустим , что это опечатка. Решим следующий пример.
526. г) log ₂ ( х ² - х – 12) < 3
х² - х – 20 < 0
корни х ₁ = 5 х ₂ = 4
ответ в книге (- 4: - 3) ∪ (4: 5)
как получен этот ответ?
.
|
Всего сообщений: 82 | Присоединился: май 2012 | Отправлено: 1 июля 2012 14:49 | IP
|
|
ustam
Долгожитель
|
Stanislav MM
Я так и не понял, как вы решаете неравенства. Да и корни квадратных уравнений находите неправильно, очень часто ошибаетесь в знаках.
Мы привыкли решать так.
х ² + х – 6 < 0
х ² + х – 6 = 0
Корни: х1 = -3; х2 = 2
Следовательно, (х+3)(х-2) < 0
Решаем системы неравенств:
1) x+3>0
x-2<0
Отсюда: x>-3 и x<2, т.е. -3<x<2
2) x+3<0
x-2>0
Отсюда: x<-3 и x>2, т.е. эти неравенства несовместны
|
Всего сообщений: 420 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 1 июля 2012 15:38 | IP
|
|
ustam
Долгожитель
|
Stanislav MM
log ₂ ( х ² - х – 12) < 3
х² - х – 20 < 0
корни х ₁ = 5, х ₂ = -4
Следовательно, (х-5)(х+4)<0
Решаем, как я показал выше, и находим -4<x<5
Но здесь нужно учитывать еще одно неравенство:
х ² - х – 12>0, так как логарифм отрицательного числа не существует.
Поэтому и получается такой ответ к задаче, как у вас приведено
|
Всего сообщений: 420 | Присоединился: декабрь 2008 | Отправлено: 1 июля 2012 15:44 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
ustam, методом интервалов решать такие неравенства было бы покороче и понаглядней, дабы каждый раз не прописывать несовместную систему.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 1 июля 2012 17:34 | IP
|
|
Stanislav MM
Начинающий
|
Скажите пожалуйста, как из условия логарифмического неравенства определить, когда нужно решать одно неравенство, а когда два.
527. в)
lg ² x + 2 lg x > 3
lg x =t t ² - 2 t – 3 > 0
t ₁ = - 3 t ₂ = 1
lg x = 1x = 10
lg x = - 3x = 10 ⁻ ³
как определить, что логарифм отрицательный и значит будет объединение двух множеств?
какой будет ответ?
г)log ₃² x – 9 ≤ 0
log ₃ x = 9x = 3 ⁹ = (3 ³) ³ = 27 ³
log ₃² x - log ₃ 27 ³ = log ₃² x – 3 log ₃ 27
log ₃ x = t
t ² - 3 t ≤ 0 t (t – 3) ≤ 0
t = 0 t – 3 ≤ 0 t ≤ 3
log ₃ x = 0 x = 1
log ₃ x = 3x = 3 ³ = 27
мой ответ [ 1 : 27 ]
ответ в книге [ 1 / 27 : 27 ]
я правильно решил? В книге опечатка, или нет?
|
Всего сообщений: 82 | Присоединился: май 2012 | Отправлено: 3 июля 2012 21:25 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Тут определённо нельзя ответить - всё будет зависеть от вида самого неравенства.
Но решать их удобней методом интервалов, он универсален.
Представьте у Вас есть неравенство общего вида
f(x) > 0, где
f(x) - некоторое выражение (непрерывная функция от x).
Как его решаем? Ищем в каких точках f(x) равно нулю, то есть решаем уравнение
f(x) = 0
и находим, например, такие решения (в порядке возрастания значений): a, b, c.
Теперь строим координатный луч - ось OX. Предварительно необходимо указать на нём область, где f(x) существует.
Далее отмечаем на нём точки a,b,c - это те точки, где f(x) равна нулю, следовательно ТОЛЬКО ПРИ ПЕРЕХОДЕ x через одну из этих точек f(x) будет менять знак; в промежутках между этими значениями на оси ОХ функция f(x) будет одного знака.
Отмечаете интервалы, между какими a, b, c функция одного знака, выбираете из них те, которые отвечают положительной f(x) и записываете результат в виде объединения этих интервалов.
Это общий метод.
---
В первом примере у Вас где-то описка. Исходное неравенство
lg ² x + 2 lg x > 3
и
t ² - 2 t – 3 > 0
отличаются знаком у двойки.
Но в любом случае - прорешиваете квадратное уравнение, находите интервалы, где левая часть положительна (будет объединение двух интервалов).
Во втором аналогично. Вы заменяете log ₃² x на t, должно получится неравенство
t ² - 9 ≤ 0 ;
приравниваете левую сторону к нулю, находите корни
t ² - 9 = 0
t=-3 и t=3, отмечаете их на координатном луче. В интервале
от -∞ до -3 величина t ² - 9 положительна,
от -3 до 3 величина t ² - 9 отрицательна и
от 3 до +∞ снова положительна.
Нас интересуют отрицательные интервалы, такой интервал единственный - это от -3 до 3 (включая сами значения, т.к. неравенство нестрогое). Осталось от t перейти обратно к x.
t=-3 соответствует x = 3^(-3) = 1/27,
t=3 соответствует x = 3^3 = 27,
ответ будет [1/27 ; 27]
Тут был использован тот факт, что логарифм по основанию 3 - монотонно возрастающая функция; для монотонно убывающих функций (например, логарифм с основаниями меньше единицы) следовало бы поменять местами иксы, соответствующие своим t.
(плохо видно основание логарифма - кажется там стоит двойка? Должна стоять тройка, чтобы ответ совпал. Но если всё-таки двойка, то ответ будет [1/8 ; 8] ).
(Сообщение отредактировал MEHT 4 июля 2012 3:19)
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 4 июля 2012 3:10 | IP
|
|
Stanislav MM
Начинающий
|
Спасибо за помощь
Ещё раз проверил, правильно ли записано условие первого примера.
527. в) lg ² x + 2•lg x > 3 Записано верно.
Понял, что неравенства лучше решать методом интервалов. Данный метод включает в себя, нахождение точек пересечения графика с осью ОХ, через производную находим точки экстремума. Затем находим значение вершины по оси ОУ, строим график и уже непосредственно по графику, визуально находим нужные нам области, положительные или отрицательные. С криволинейными трапециями всегда строю график. Без графика непонятно какую площадь нужно найти.
Что касается второго примера. Опять моя элементарная невнимательность.
log ₃ x = t, a 3 log ₃ 27 принял за «3t»
разумеется дальше всё пошло не так.
А также выбрал не правильный алгоритм решения.
В основании логарифма стоит тройка.
|
Всего сообщений: 82 | Присоединился: май 2012 | Отправлено: 4 июля 2012 16:26 | IP
|
|
Stanislav MM
Начинающий
|
498. докажите
в) log ₃ 7 + log ₇ 3 > 2
применяю формулу перехода от одного основания логарифма к другому
log ₃ 7 = log ₇ 7 / log ₇ 3 = 1 / log ₇ 3
log ₃ х = 2 х = 3 ² = 9
log ₃ 9 = 2
log ₃ 7 + 1 / log ₇ 3 – 2 > 0
дальше следует книжный ответ.
Как его получили непонятно?
log ₃² 7 - 2 log ₃ 7 +1 / log ₇ 3 =
= (1 - log ₃ 7) ² / log ₇ 3
Как получили данный числитель?
log ₃² 7 - 2 log ₃ 7 +1
|
Всего сообщений: 82 | Присоединился: май 2012 | Отправлено: 4 июля 2012 21:07 | IP
|
|
MEHT
Долгожитель
|
Его свернули в квадрат по формуле
(a-b)² = a² - 2ab + b², где
под a фигурирует логарифм, под b - единица.
|
Всего сообщений: 1548 | Присоединился: июнь 2005 | Отправлено: 5 июля 2012 2:48 | IP
|
|
|
Форум
1.8 Логарифмические уравнения
