FireFenix
Новичок
|
     
помогите решить второе уравнение - y'' - 2y' + 2y = sin(x) * e^x ; y(0) = 1, y'(0) = -1
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 11 мая 2009 17:46 | IP
|
|
RKI 
Долгожитель
|
y'' - 2y' + 2y = (e^x)(sinx)
y'' - 2y' + 2y = 0
(a^2) - 2a + 2 = 0
(a^2) - 2a + 1 + 1 = 0
(a - 1)^2 = - 1
a - 1 = -i; a - 1 = i
a = 1 - i; a = 1 + i
y(общ) = (e^x)(Csinx + Dcosx)
y'' - 2y' + 2y = (e^x)(sinx)
y(частн) = (e^x)x(Asinx + Bcosx) =
= Ax(e^x)(sinx) + Bx(e^x)(cosx)
y'(частн) =
= A(e^x)(sinx) + Ax(e^x)(sinx) + Ax(e^x)(cosx) +
+ B(e^x)(cosx) + Bx(e^x)(cosx) - Bx(e^x)(sinx) =
= (e^x)(sinx)(A + Ax - Bx) + (e^x)(cosx)(Ax + B + Bx)
y''(частн) =
= (e^x)(sinx)(A + Ax - Bx) + (e^x)(cosx)(A + Ax - Bx) +
+ (e^x)(sinx)(A - B) + (e^x)(cosx)(Ax + B + Bx) -
- (e^x)(sinx)(Ax + B + Bx) + (e^x)(cosx)(A + B) =
= (e^x)(sinx)(A + Ax - Bx + A - B - Ax - B - Bx) +
+ (e^x)(cosx)(A + Ax - Bx + Ax + B + Bx + A + B) =
= (e^x)(sinx)(2A - 2Bx - 2B) + (e^x)(cosx)(2A + 2Ax + 2B)
y''(частн) - 2y'(частн) + 2y(частн) = (e^x)(sinx)
(e^x)(sinx)(2A - 2Bx - 2B) + (e^x)(cosx)(2A + 2Ax + 2B) -
- 2(e^x)(sinx)(A + Ax - Bx) - 2(e^x)(cosx)(Ax + B + Bx) +
+ 2Ax(e^x)(sinx) + 2Bx(e^x)(cosx) = (e^x)(sinx)
(sinx)(2A - 2Bx - 2B) + (cosx)(2A + 2Ax + 2B) -
- 2(sinx)(A + Ax - Bx) - 2(cosx)(Ax + B + Bx) +
+ 2Ax(sinx) + 2Bx(cosx) = sinx
(sinx)(2A - 2Bx - 2B - 2A - 2Ax + 2Bx + 2Ax) +
+ (cosx)(2A + 2Ax + 2B - 2Ax - 2B - 2Bx + 2Bx) = sinx
- 2B(sinx) + 2A(cosx) = sinx
при sinx: - 2B = 1
при cosx: 2A = 0
A = 0; B = -1/2
y(частн) = - (1/2)(e^x)x(cosx)
y(x) = y(общ) + y(частн) =
= (e^x)(Csinx + Dcosx) - (1/2)(e^x)x(cosx)
y(x) = (e^x)(Csinx + Dcosx - (x/2)(cosx))
y(0) = 1
D = 1
y(x) = (e^x)(Csinx + cosx - (x/2)(cosx))
y'(x) = (e^x)(Csinx + cosx - (x/2)(cosx)) +
+ (e^x)(Ccosx - sinx - (1/2)(cosx) + (x/2)(sinx))
y'(0) = - 1
1 + C - 1/2 = - 1
C = - 3/2
y(x) = (e^x)(cosx - (3/2)(sinx) - (x/2)(cosx))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 11 мая 2009 18:39 | IP
|
|
Niki
Новичок
|
 
Помогите решить задачу Коши для дифференциального уравнения с разделяющимися переменными
x dy/dx +9y=y' y(1)=9/2
|
Всего сообщений: 2 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 12 мая 2009 15:14 | IP
|
|
FireFenix
Новичок
|
Помогите решить ещё 2 уравнения, пожалуйста
1) y''''-3y'''+3y''-y'=2x+4e^(3x) - Найти общее решение
2) y''+4y'+5y=(x+1)*sin(3x); y(0)=0; y'(0)=0 - Найти решение задачи Коши
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 16 мая 2009 18:23 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: FireFenix написал 16 мая 2009 18:23
1) y''''-3y'''+3y''-y'=2x+4e^(3x) - Найти общее решение
y'''' - 3y''' + 3y'' - y' = 0
(a^4) - 3(a^3) + 3(a^2) - a = 0
a(a^3 - 3a^2 + 3a - 1) = 0
a(a-1)^3 = 0
a = 0 - корень кратности 1
a = 1 - корень кратности 3
y(общ) = A + (B + Cx + D(x^2))(e^x)
y'''' - 3y''' + 3y'' - y' = 2x
y1(частн) = (ax+b)x = a(x^2) + bx
y1'(частн) = 2ax + b
y1''(частн) = 2a
y1'''(частн) = 0
y1''''(частн) = 0
y1''''(частн) - 3y1'''(частн) + 3y1''(частн) - y1'(частн) = 2x
6a - 2ax - b = 2x
при x^1: -2a = 2
при x^0: 6a - b = 0
a = -1; b = -6
y1(частн) = - (x^2) - 6x
y'''' - 3y''' + 3y'' - y' = 4(e^(3x))
y2(частн) = c(e^(3x))
y2'(частн) = 3c(e^(3x))
y2''(частн) = 9c(e^(3x))
y2'''(частн) = 27c(e^(3x))
y2''''(частн) = 81c(e^(3x))
y2''''(частн) - 3y2'''(частн) + 3y2''(частн) - y2'(частн) = 4(e^(3x))
81c(e^(3x)) - 81c(e^(3x)) + 27c(e^(3x)) - 3c(e^(3x)) = 4(e^(3x))
24c(e^(3x)) = 4(e^(3x))
24c = 4
c = 4/24 = 1/6
y2(частн) = (1/6)(e^(3x))
y(x) = y(общ) + y1(частн) + y2(частн)
y(x) = A + (B + Cx + D(x^2))(e^x) - (x^2) - 6x + (1/6)(e^(3x))
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 мая 2009 12:53 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: FireFenix написал 16 мая 2009 18:23
2) y''+4y'+5y=(x+1)*sin(3x); y(0)=0; y'(0)=0 - Найти решение задачи Коши
y'' + 4y' + 5y = 0
(a^2) + 4a + 5 = 0
(a^2) + 4a + 4 + 1 = 0
(a+2)^2 = -1
a+2 = -i; a+2 = i
a = -2-i; a = -2+i
y(общ) = (e^(-2x))(Asinx + Dcosx)
y'' + 4y' + 5y = (x+1)sin3x
y(частн) = (ax+b)sin3x + (cx+d)cos3x
y'(частн) = asin3x + 3(ax+b)cos3x + ccos3x - 3(cx+d)sin3x =
= (a - 3cx - 3d)sin3x + (3ax + 3b + c)cos3x
y''(частн) = - 3csin3x + 3(a - 3cx - 3d)cos3x + 3acos3x -
- 3(3ax + 3b + c)sin3x =
= (- 3c - 9ax - 9b - 3c)sin3x + (3a - 9cx - 9d + 3a)cos3x =
= (- 6c - 9ax - 9b)sin3x + (6a - 9cx - 9d)cos3x
y''(частн) + 4y'(частн) + 5y(частн) = (x+1)sin3x
(- 6c - 9ax - 9b)sin3x + (6a - 9cx - 9d)cos3x +
+ (4a - 12cx - 12d)sin3x + (12ax + 12b + 4c)cos3x +
+ (5ax + 5b)sin3x + (5cx + 5d)cos3x = (x+1)sin3x
(sin3x)(- 6c - 9ax - 9b + 4a - 12cx - 12d + 5ax + 5b) +
+ (cos3x)(6a - 9cx - 9d + 12ax + 12b + 4c + 5cx + 5d) =
= (x+1)sin3x
(sin3x)(- 6c - 4ax - 4b + 4a - 12cx - 12d) +
+ (cos3x)(6a - 4cx - 4d + 12ax + 12b + 4c) =
= (x+1)sin3x
при xsin3x: - 4a - 12c = 1
при sin3x: - 6c - 4b + 4a - 12d = 1
при xcos3x: - 4c + 12a = 0
при cos3x: 6a - 4d+ 12b + 4c = 0
a = 1/32; b = - 5/64; c = 3/32; d = - 3/32
y(частн) = (1/64)(2x-5)sin3x + (3/32)(x-1)cos3x
y(x) = y(общ) + y(частн)
y(x) = (e^(-2x))(Asinx + Dcosx) +
+ (1/64)(2x-5)sin3x + (3/32)(x-1)cos3x
y(0) = 0
0 = D - 3/32
D = 3/32
y(x) = (e^(-2x))(Asinx + (3/32)cosx) +
+ (1/64)(2x-5)sin3x + (3/32)(x-1)cos3x
y'(x) = - 2(e^(2x))(Asinx + (3/32)cosx) +
+ (e^(-2x))(Acosx - (3/32)sinx) +
+ (1/32)sin3x + (3/64)(2x-5)cos3x +
+ (3/32)cos3x - (9/32)(x-1)sin3x
y'(0) = 0
0 = - 6/32 + A - 15/64 + 3/32
0 = A - 21/64
A = 21/64
y(x) = (e^(-2x))((21/64)sinx + (3/32)cosx) +
+ (1/64)(2x-5)sin3x + (3/32)(x-1)cos3x
y(x) = (3/64)(e^(-2x))(7sinx + 2cosx) +
+ (1/64)(2x-5)sin3x + (3/32)(x-1)cos3x
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 17 мая 2009 13:35 | IP
|
|
FireFenix
Новичок
|
Большое спасибо RKI, низкий вам поклон
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: апрель 2009 | Отправлено: 17 мая 2009 22:28 | IP
|
|
disua
Новичок
|
Помогите пожалуйста найти решение задачи Коши:
1) y'+ycosx=1/2*sin2x, y(0)=0
2) y'+2y'+2y=x*sin2x, y(0)=1, y'(0)=1
|
Всего сообщений: 4 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 20 мая 2009 11:04 | IP
|
|
temegve
Новичок
|
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить задачу Коши:
xy'ln(x)=y+ln(x), y(e^2)=2ln2
Заранее спасибо!!!
(Сообщение отредактировал temegve 20 мая 2009 13:22)
|
Всего сообщений: 11 | Присоединился: май 2009 | Отправлено: 20 мая 2009 12:22 | IP
|
|
RKI
Долгожитель
|
Цитата: disua написал 20 мая 2009 11:04
1) y'+ycosx=1/2*sin2x, y(0)=0
2) y'+2y'+2y=x*sin2x, y(0)=1, y'(0)=1
1) y' + ycosx = 0
y' = - ycosx
dy/dx = - ycosx
dy/y = - (cosx)dx
ln|y| = - sinx + const
y = C(e^(-sinx))
y(x) = C(x)(e^(-sinx))
y'(x) = C'(x)(e^(-sinx)) - (cosx)C(x)(e^(-sinx))
y' + y(cosx) = (1/2)(sin2x)
C'(x)(e^(-sinx)) - C(x)(cosx)(e^(-sinx)) + C(x)(cosx)(e^(-sinx)) =
= (1/2)*2(sinx)(cosx)
C'(x)(e^(-sinx)) = (sinx)(cosx)
C'(x) = (sinx)(cosx)(e^(sinx))
**
int (sinx)(cosx)(e^(sinx))dx = [y = sinx; dy = (cosx)dx] =
= int y(e^y)dy = int yd(e^y) = [по частям] =
= y(e^y) - int (e^y)dy = y(e^y) - (e^y) + const =
= (e^y)(y-1) + const = (e^(sinx))(sinx - 1) + const
**
C'(x) = (sinx)(cosx)(e^(sinx))
C(x) = (e^(sinx))(sinx - 1) + D
y(x) = C(x)(e^(-sinx))
y(x) = D(e^(-sinx)) + sinx - 1
y(0) = 0
D - 1 = 0
D = 1
y(x) = (e^(-sinx)) + sinx - 1
|
Всего сообщений: 5184 | Присоединился: октябрь 2008 | Отправлено: 20 мая 2009 12:55 | IP
|
|
Форум
2.3.2 Задачи Коши и краевые задачи для ОДУ
